Second degré

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Chapitre 1

Second degré

Classe : 1

^ère

- Cours

Professeur : Mme Ladeira

Lycée français Charles Lepierre- 2020 / 2021

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Chapitre1_cours_C. Ladeira_2020-2021_Lycée français Charles Lepierre 1

Les capacités ci-dessous énumérées doivent être acquises afin que le chapitre puisse être considéré comme étant assimilé.

Les exercices élémentaires partie cours doivent donc être pleinement maîtrisés…ne pas hésiter à les refaire et solliciter le professeur si ceux-ci ne semblent pas correctement compris.

Ils seront assez régulièrement repris au niveau des interrogations de cours. (Exercices du même type)

Contenus du programme concernant le « Second degré » :

_Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe,expression de la somme et du produit des racines _ex.4 du cours_

_ Forme canonique d’une fonction polynôme du second degré _ ex.1 + 2 du cours_ Discriminant.

_ Factorisation éventuelle. Résolution d'une équation du second degré. Signe.

_ Parabole représentative d’une fonction polynôme du second degré. Axe de symétrie, sommet.

Capacités attendues Exercices

( partie cours + …) 1.1 Étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Fiche réactivation,

7 1.2 Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts. 7 1.3 Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection

des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.

Fiche réactivation 5 1.4 Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second

degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations)

3, 6, 7 1.5 Déterminer l’axe de symétrie et le sommet d’une parabole d’équation 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 7

Démonstrations à connaître

Résolution de l'équation du second degré. Dém. &2

Approfondissements possibles

Factorisation d'un polynôme du troisième degré admettant une racine et résolution de l'équation associée.

Factorisation de 𝑥^𝑛 − 1 par 𝑥 − 1, de 𝑥^𝑛 − 𝑎^𝑛 par 𝑥 − 𝑎.

Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme s et leur produit p commeracines de la fonction polynôme 𝑥² ⟼ 𝑥² − 𝑠𝑥 + 𝑝.

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Chapitre 1 SECOND DEGRÉ 1

^ère

0. Introduction

La résolution d’équations du premier et du second degré remonte à la plus Haute Antiquité. On retrouve dans chaque civilisation des techniques – recettes – pour trouver les solutions. Ces équations sont liées à des problèmes concrets ou issus de la géométrie posés en langage courant.

On doit au mathématicien arabe Al-Khwarizmi (considéré comme le créateur de l’algèbre, 780 - 850) l’étude systématique des équations du second degré. Mais il faudra attendre les travaux de Viète (1540- 1603), qui permettent une avancée considérable pour l’algèbre.

De façon à peu près contemporaine des travaux de Viète, les mathématiciens italiens se passionnèrent pour la résolution des équations du troisième et du quatrième degré (Scipione del Ferro, Nicolo Tartaglia, Cardan Girolamo) : des méthodes générales de résolution seront trouvées. Le problème qui consiste à chercher des formules générales permettant d’exprimer les solutions des équations de degré supérieur ou égale à 5 en fonction des coefficients de ces équations trouvera son épilogue grâce aux travaux simultanés et indépendants de deux

mathématiciens du XIX^èsiècle aux destins tragiques, Évariste Galois (1811-1832) et Niels Abel (1802-1829) : il n’existe pas de formule générale permettant d’exprimer les solutions d’une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 5.

1. Fonctions polynômes du second degré Définition :

On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐

où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec 𝑎 ≠ 0.

Exemples et contre-exemples :

Parmi les fonctions polynômes ci-dessous :

_ entourer en rouge celles qui sont des fonctions de degré 2 _ entourer en noir celles qui sont des fonctions affines _ pour les autres, mentionner de quel degré il s’agit

𝑓(𝑥) = 3𝑥²− 7𝑥 + 3; 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 3; ℎ(𝑥) = 4 − 2𝑥²; 𝑚(𝑥) = 5𝑥⁴− 3𝑥³+ 6𝑥 − 8; 𝑛(𝑥) = (𝑥 − 4)(5 − 2𝑥);

Fonction de degré 4 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥²− 4) fonction de degré 3

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1.1. Forme canonique

Définition :

La forme canonique d’une fonction polynôme de degré 2, est une expression de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 Avec 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝛼 des nombres réels et 𝑎 ≠ 0.

Détermination dans les cas simples à l’aide de la méthode de complétion du carré Méthode à partir de l’exemple de la fonction 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ 2𝑥 − 3

→Considérons la partie 𝑥²+ 2𝑥, on reconnait le début de la 1^ère identité remarquable 𝑥²+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)² On a donc : 𝑥²+ 2𝑥 = (𝑥 + 1)²− 1

→Et maintenant : 𝑔(𝑥) =𝑥²+ 2𝑥− 3 = ((𝑥 + 1)²− 1)− 3 = (𝑥 + 1)²− 4

EXERCICE 1 :

Donner la forme canonique de l’expression 𝑥²+ 10𝑥 + 29

𝑥²+ 10𝑥 on reconnait le début de la 1^ère identité remarquable 𝑥²+ 10𝑥 + 25 = (𝑥 + 5)² On a donc 𝑥²+ 10𝑥 = (𝑥 + 5)²− 25

Donc 𝑥²+ 10𝑥 + 29 = (𝑥 + 5)²− 25 + 29 = (𝑥 + 5)²+ 4

Détermination dans un cadre plus générale (hors programme) Méthode :

Soit la fonction f définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥²− 20𝑥 + 10.

On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽

( )

2 2 2

2

( ) 2 20 10

2 10 10

2 25 10

2 25 1

1 5 0

0 25 x

x f x

x x

x

x x

− +

−

= − +

 

=  −  +

 

=  −  +

 

=  −  +

( )

2

2 5 50 10

2 5 40

x x

= − − +

= − −

𝑓(𝑥) = 2(𝑥 − 5)²− 40 est la forme canonique de f.

Propriété :

Toute fonction polynôme 𝑓 de degré 2 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥)𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 peut s'écrire sous la forme : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 où 𝛼 et 𝛽 sont deux nombres réels.

car 𝑥²− 10𝑥 est le début du développement de (𝑥 − 5)² et (𝑥 − 5)²= 𝑥²− 10𝑥 + 25

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Démonstration :

Idée de la démonstration :

➢ factoriser par 𝑎 car 𝑎 ≠ 0

➢ partir du développement de (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)² et compenser pour faire apparaître la réelle expression.

Détails de la démonstration :

1.2. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 −1)²+3 Alors : 𝑓(𝑥) ≥3 𝑐𝑎𝑟 2(𝑥 − 1)² est positif.

Or 𝑓(1) =3 donc pour tout 𝑥, 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(1)

𝑓 admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 ≠ 0 - Si 𝑎 > 0, 𝑓 admet un minimum pour 𝑥 = 𝛼 Ce minimum est égal à 𝛽.

- Si 𝑎 < 0, f admet un maximum pour 𝑥 = 𝛼 Ce maximum est égal à 𝛽.

Démonstration :

On en déduit donc les caractéristiques de la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré 2.

Propriété :

1. Soit la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 , on a alors

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• Si 𝑎 > 0 :

x

−

− b

2a

+

f

𝑓 (−^𝑏

2𝑎)

• Si 𝑎 < 0 :

x

−

− b

2a

+

f

𝑓 (−^𝑏

2𝑎)

2. La courbe représentative de la fonction 𝑓 est une parabole de sommet S de coordonnées 𝑆(𝛼; 𝛽) avec 𝛼 = −^𝑏

2𝑎 et 𝛽 = 𝑓(𝛼) 3. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation 𝒙 = − ^𝒃

𝟐𝒂.

2. Équations du second degré Définition :

Une équation du second degré à coefficients réels est une équation de la forme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, avec 𝑎, 𝑏 et 𝑐 trois réels tels que 𝑎 ≠ 0.

Définition :

Les solutions de l’équation du second degré 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 sont appelées les racines du trinôme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

Définition :

Le discriminant d’un trinôme 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 est le nombre Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐

Propriété :

Toute fonction polynôme 𝑓 de degré deux définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) admet une écriture sous forme canonique, telle que pour tout réel 𝑥 : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 avec 𝛼 = −^𝑏

2𝑎 et 𝛽 = − ^Δ

4𝑎

Reprise de la démonstration de la page 4, nous avons obtenu le résultat :

(7)

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)²+ 𝛽 = [… ] = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 2𝑎)

2

−𝑏²− 4𝑎𝑐 4𝑎

Avec la notation Δ = 𝑏²− 4𝑎𝑐, on a donc bien : 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 − (−^𝑏

2𝑎))

2

− ^Δ

4𝑎

EXERCICE 2 :

À l’aide de la précédente propriété, déterminer la forme canonique de la fonction trinôme 𝑓(𝑥) = 3𝑥²+ 9𝑥 − 12.

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²− ^Δ

4𝑎 avec 𝑎 = 3;^𝑏

2𝑎=⁹

6=³

2; Δ = 81 − 4 × 3 × (−12) = 225 d’où ^Δ

4𝑎=²²⁵

12

𝑓(𝑥) = 3 (𝑥 +3 2)

2

−225 12

Propriété : Résolution dans 𝑹

Considérons l’équation du 2^nd degré : 𝒂𝒙^𝟐+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 avec 𝒂 ≠ 𝟎 _ si ∆< 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 n’admet aucune solution réelle.

_ si ∆= 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 admet une solution double 𝑥₀= −^𝑏

2𝑎

_ si ∆> 𝟎 l'équation 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 admet deux solutions distinctes 𝑥₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 et 𝑥₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎

En utilisant la forme canonique, on résout donc : 𝒂 [(𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐− ^∆

𝟒𝒂^𝟐] = 𝟎 Puisque 𝑎 ≠ 0, cela revient à résoudre (𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐− ^∆

𝟒𝒂^𝟐= 0 soit (𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐= ^∆

𝟒𝒂^𝟐.

• cas 1 : si Δ < 0, puisque 4𝑎²> 0 alors ^Δ

4𝑎²< 0 or (𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐≥ 0 par conséquent c’est impossible d’où pas de solution réelle.

• cas 2 : si Δ = 0 alors (𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐= 0 ⇔ 𝑥 = −^𝑏

2𝑎

• cas 3 : si Δ > 0 alors (𝒙 + ^𝒃

𝟐𝒂)^𝟐= ^∆

𝟒𝒂^𝟐 avec ^Δ

4𝑎²> 0 d’où : 𝑥 + ^𝑏

2𝑎=^√Δ

2𝑎 soit 𝑥 =^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 ou 𝑥 + ^𝑏

2𝑎=^−√Δ

2𝑎 soit 𝑥 =^{−𝑏−√Δ}

2𝑎

EXERCICE 3 :

Reprise du problème vue dans « l’atelier second degré » :

Nous avons vu que ce problème se ramenait à résoudre l’équation : 𝑛²− 𝑛 − 210 = 0

À l’aide des connaissances acquises avec ce chapitre, résolvez finalement le problème soulevé en début de chapitre : Δ = (−1)²− 4 × 1 × (−210) = 841

Puisque Δ > 0, l’équation admet deux solutions réelles distinctes : 𝑛₁=^{−(−1)−√841}

2×1 = −14; 𝑛₂=^{−(−1)+√841}

2×1 = 15.

Compte tenu du problème, 𝑛 > 0 donc 𝑛 = 15.

conclusion : il y avait 15 personnes.

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3. Propriétés d’un trinôme 3.1. Somme et produit de racines Propriété :

Si le trinôme 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 admet 2 racines réelles distinctes ou confondues, alors leur somme S et leur produit P vérifient : 𝑆 = −^𝑏

𝑎 et 𝑃 =^𝑐

𝑎 .

Si 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 admet deux racines réelles, on a vu que 𝑥₁=^{−𝑏−√Δ}

2𝑎 𝑒𝑡 𝑥₂=^{−𝑏+√Δ}

2𝑎 . Par conséquent on a :

𝑆 = 𝑥₁+ 𝑥₂=−𝑏 − √Δ

2𝑎 +−𝑏 + √Δ 2𝑎 =−2𝑏

2𝑎 = −𝑏 𝑎

𝑃 = 𝑥₁× 𝑥₂=−𝑏 − √Δ

2𝑎 ×−𝑏 + √Δ

2𝑎 =(−𝑏)²− (√Δ)²

4𝑎² =𝑏²− (𝑏²− 4𝑎𝑐) 4𝑎² =4𝑎𝑐

4𝑎²=𝑐 𝑎

Propriété :

Deux réels ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ils sont solution de l’équation 𝑥²− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0.

Définition :

On appelle racine évidente d’un polynôme une valeur simple (par exemple un nombre entier entre -3 et 3) qui annule ce polynôme.

Si l’on trouve cette racine évidente, la formule de la somme ou du produit permet de calculer l’autre.

EXERCICE 4 :

Soit 𝑓 la fonction définie sur R par 𝑓(𝑥) = 2,5𝑥²− 2𝑥 − 0,5.

a. Vérifier que 1 est une racine de 𝑓.

𝑓(1) = 2,5 × 1²− 2 × 1 − 0,5 = 2,5 − 2 − 0,5 = 0 par conséquent 1 est racine de 𝑓.

b. Déterminer la valeur de l’autre racine en utilisant la somme ou le produit des racines.

Soit 𝑥₂ la deuxième racine de ce polynôme, alors 1 + 𝑥₂= −^𝑏

𝑎=⁴

5⇔ 𝑥₂= −¹

5

3.2. Factorisation Propriété :

Soit 𝑓 un trinôme du second degré défini par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

(9)

• Si Δ > 0, alors 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) avec 𝑥₁ et 𝑥₂les deux racines de 𝑓.

• Si Δ = 0, alors 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₀)² avec 𝑥₀ la racine double de 𝑓.

• Si Δ < 0 l’expression 𝑓(𝑥) n’est pas factorisable.

EXERCICE 5 :

Reprendre l’ex.4 et en déduire la forme factorisée de 𝑓.

𝑓(𝑥) = 2,5(𝑥 − 1) (𝑥 +1 5)

3.3. Signe d’un trinôme

Propriété :

On considère le trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 .

1^er cas : si ∆< 𝟎 la fonction 𝑓 est toujours du signe de 𝑎.

2^ème cas : si ∆= 𝟎 𝟎 la fonction 𝑓 s’annule en −^𝑏

𝑎 et est toujours du signe de 𝑎 en dehors de cette valeur.

3^ème cas : si ∆> 𝟎 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) (en posant 𝑥₁< 𝑥₂ )

En conclusion :

Le trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 est, pour tout réel 𝑥, du signe de 𝒂, sauf pour les valeurs de 𝒙 situées entre les racines, lorsqu’il y en a.

Démonstration

1^er cas : il faudra utiliser la forme canonique pour la démonstration 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²− ^Δ

4𝑎=𝑎 ((𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²− ^Δ

4𝑎²) Puisque Δ < 0, − ^Δ

4𝑎²> 0 ; or (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²≥ 0 par conséquent >0 d’où 𝑓(𝑥) est du signe de 𝑎.

2^ème cas : il faudra utiliser la forme factorisée 𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)² 0 Puisque (𝑥 + ^𝑏

2𝑎)²≥ 0 𝑓(𝑥) est du signe de 𝑎 en dehors de la valeur où elle s’annule en −^𝑏

𝑎. 3^ème cas : il faudra utiliser la forme factorisée 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) et un tableau de signes :

𝒙 -∞ 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 +∞

𝒙 − 𝒙_𝟏 - + +

𝒙 − 𝒙_𝟐 - - +

(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟐) + - +

𝒙 -∞ 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 +∞

Signe de 𝒇(𝒙) signe de 𝒂 ⁰ opposé signe 𝒂 signe de 𝒂 ⁰

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𝒂(𝒙 − 𝒙_𝟏)(𝒙 − 𝒙_𝟐) signe 𝒂 opposé signe 𝒂 signe 𝒂

Méthode :

Pour résoudre une inéquation du second degré, il faut : _ tout mettre dans un même membre

_ calculer Δ et appliquer la précédente propriété

EXERCICE 6 :

Résoudre l’inéquation −3𝑥²+ 2𝑥 < 2𝑥²− 𝑥 − 2

−5𝑥²+ 3𝑥 + 2 < 0

Δ = 3²− 4 × (−5) × 2 = 49 𝑥₁=−3 − √49

2 × (−5) = − 10

−10= 1 𝑥₂=−3 + √49

2 × (−5) = 4

−10= −2 5

𝑥 −∞ −²

5 1 +∞

−5𝑥²+ 3𝑥 + 2 - 0 + 0 -

𝑆 =] − ∞; −2

5[∪]1; +∞[

3.4. Interprétation graphique

(11)

Eléments que l´on peut retrouver sur un graphique :

➔

Placer

𝛼, 𝛽, 𝑐, 𝑥1 , 𝑥2 (cf graphe ci-dessus).

EXERCICE 7 :

1. Soit 𝑓 une fonction polynôme du second degré telle que 𝑓 s’annule en -2 et 5.

a. Sachant que cette fonction 𝑓 peut s’écrire sous la forme 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂), en déduire toutes les fonctions polynômes du second degré qui vérifient cette condition.

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 2)(𝑥 − 5)

b. En déduire l’expression de la fonction qui vérifie également la condition 𝑓(1) = 12.

On a 𝑓(1) = 𝑎 × 3 × (−4) soit 𝑓(1) = −12𝑎 or 𝑓(1) = 12 donc −12𝑎 = 12 ⇔ 𝑎 = −1.

On a alors : 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) = −𝑥²+ 3𝑥 + 10.

2. En admettant que l’expression de 𝑓 soit 𝑓(𝑥) = −𝑥²+ 3𝑥 + 10, déterminer la forme canonique de 𝑓.

𝑓(𝑥) = −(𝑥²− 3𝑥) + 10 = − ((𝑥 −3 2)

2

−9

4) + 10 = − (𝑥 −3 2)

2

+9 4+40

4 = − (𝑥 −3 2)

2

+49 4

3. En déduire le tableau de variation de la fonction 𝑓 ainsi que ses éléments caractéristiques (sommet, axe de symétrie) 𝑎 < 0, la parabole admet donc un maximum et le tableau de variation associé est :

𝑥 −∞ −2 ³

2 5 +∞

variations de 𝑓 ⁴⁹

0 0 4 La courbe 𝐶_𝑓 admet un sommet de coordonnées (³ 2;⁴⁹ 4), elle possède un axe de symétrie d’équation 𝑥 =³ 2.4. En utilisant la forme la mieux adaptée de 𝑓, résoudre𝑓(𝑥) ≥ 0. À l’aide du tableau de variations complet ci-dessus on en déduit de suite que 𝑓(𝑥) ≥ 0 ⇔ 𝑥 ∈ [−2; 5]. O peut aussi utiliser le tableau de signes déduit du &3.3 : 𝑥 −∞ -2 5 +∞

signe de 𝑓(𝑥) signe de 𝑎 0 opposé signe 0 signe de 𝑎 de 𝑎 − 0 + 0 −

On en déduit la même réponse que précédemment. On pourrait aussi faire un tableau de signes à partir de la forme factorisée : 𝑥 −∞ -2 5 +∞

−𝑥 − 2 + 0 - -

𝑥 − 5 - - 0 +

𝑓(𝑥) - 0 + 0 - 𝑆 = [−2; 5]

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 MON BILAN ☺

Répondre aux questions du QCM de la page 55 du manuel lelivrescolaire, et entourer la ou les réponses.

Réponses :

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Répondre aux questions du QCM de la page 83 du manuel lelivrescolaire, et entourer la ou les réponses.

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