3 Second degré

Formulaire sur les complexes

1 Définition

La forme algébrique d’un nombre com- plexezest de la forme :

z=^a+^ib avec (^a;b)∈^R2 La partie réelle dez: Re(^z) =^a La partie imaginaire dez: Im(^z) =^b Le module dez: |^z|=√

a²+^{b2 O}

θ

( z)

a b

r

bM

b

~u

~_v

2 Conjugué

Le conjugué d’un nombre complexezest noté z =^a−^ib,.

Pour toutzcomplexe, on a : zz=|^z|²

z+^z′ =^z+^z′ , z×^z′ =^z×^{z′ ,} _z^z_′= ^z

z^′ , zⁿ = (^z)ⁿ z+^z=2Re(^z) , z−^z=2iIm(^z)

zréel alors : z=^z , zimaginaire pur alors : z+^z=0

3 Second degré

Équation du second degré à coefficients réels dansC

az²+^bz+^c=0 on a : ∆=^b2−^4ac

∆>0 2 racines réelles : −^b±√

∆ 2a

∆=0 1 racine double : −^b 2a

∆<0 2 racines complexes conjuguées : −^b±ⁱ√

−^∆ 2a

4 Forme trigonométrique

La forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexez (z 6= 0) est de la forme :

z=^r(cosθ) +ⁱsinθ) et z=^reiθ

avec r=|^z|=^pa2+^b2 et arg(^z) =^θ [2π] cosθ = ^a

r et sinθ = ^b r

On a les relations : i=^eiπ2 et −¹= ^eiπ

|^{z z′}|=|^z| |^z′| ^{et arg}(^{z z′}) =arg(^z) +arg(^z′) [2π]

|^zn|= |^z|^{n et arg}(^zn) =ⁿ arg(^z) [2π]

z z^′ = |^z|

|^z′| ^{et arg} z

z^′

=arg(^z)−^arg(^z′) [2π]

formule de Moivre : zⁿ =^rn(cosnθ+ⁱsinnθ) =^{rnei nθ} formule d’Euler : cosθ = ^e

iθ+^e−iθ

2 et sinθ = ^e

iθ−^e−iθ 2i Si z=^{r eiθ} alors z=^{r e−iθ}, 1

z = ¹ r e^−iθ

5 Vecteur, alignement et orthogonalité

Soit les point A, B, C et D, on a :

• z−→

AB =^z_B−^zA alors AB=|^zB−^zA| ^et (−→ u ,−→_AB

) =arg(^z_B−^zA)

• (−→_{AB ,}−−→_CD

) =arg

z_D−^zC

z_B−^zA

• −→_{AB et}CD sont colinéaires−−→ ⇔ ^zD−^zC

z_B−^zA ∈^R

• −→_{AB et}CD orthogonaux−−→ ⇔ ^zD−^zC

z_B−^zA imaginaire pur.

PAULMILAN DERNIÈRE IMPRESSION LE 22 janvier 2014 à 19:26 TERMINALES