Chapitre 3 Première ES Fonctions et second degré

(1)

-3 -2 -1 0 1 2 3 9

8 7 6 5 4 3 2 1 24 3

22 22 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 10 10

Chapitre 3 Première ES

Fonctions et second degré Introduction : Les notions d'ensemble de définition, sens de variations, tableau de variations, courbe représentative ont été vues en seconde. Le vocabulaire spécifique des fonctions (image, antécédent, ... ) a été travaillé et ne doit pas être un obstacle aux nouvelles notions de la classe de première ES.

Ensemble de définition et conventions graphiques

Quels sont les ensembles de définition des fonctions représentées ?

I. Fonctions usuelles Fonction carré : x _x

²

Fonction inverse : x 1 x

Ensemble de définition Sens de variation

Fonction racine carrée : x  ^x Fonction valeur absolue : x ∣  x  ∣

Ensemble de définition Sens de variation

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(2)

Résolutions graphiques utilisant les fonctions de référence

Résoudre 1. ⁴

x =8

2. 1 x 2

Résoudre 1. 2 x

²

=8

2. – 4 x

²

10

II. Fonctions associées

Soit u une fonction et ^C

u

sa représentation graphique dans un repère orthogonal O ;  i ;  j  Fonction : x u x

La courbe ^C

f

de la fonction f définie par : f x =u  x

est obtenue par translation de la courbe ^C

u

de vecteur –   i

La courbe ^C

u

est déplacée à l'horizontale de – unités

Sens de variation Sens de variation u est définie sur un intervalle ^[ a ; b ] .

La fonction f a le même sens de variation sur l'intervalle [ a –  ; b –  ] que u sur [ a ; b ] Exemple :

Exemple :

f x =u  x1  dresser le tableau de variations de f .

x –3 4 5

u(x) 3

0

1 Fonction : ^x u x  +

La courbe C

_g

de la fonction g définie par : g  x=u x

est obtenue par translation de la courbe ^C

u

de vecteur   j

La courbe ^C

u

est déplacée à la verticale de  unités

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(3)

Sens de variation Sens de variation u est définie sur un intervalle [ a ; b ] .

La fonction g a le même sens de variation sur l'intervalle ^[ a ;b] que u sur ^[ a ; b ] Exemple :

Exemple :

g  x=u x2 dresser le tableau de variations de g .

x –3 4 5

u(x) 3

0

1 Exercices:

Exercices: Soit f et g les deux fonctions définies par f  x = 1

x – 2 et g  x= x

²

– 4 . Construire leurs courbes représentatives et leurs tableaux de variations.

Étudier et représenter la fonction h définie sur ℝ par : h x = x – 4

²

1 III.Opérations sur les fonctions

u fonction définie sur un intervalle I et fonction définie sur un intervalle I et k un réel. un réel.

Fonction

Fonction x k × u  x

La fonction f donnée par f  x =k× u  x a le même ensemble de définition que la fonction u . Pour obtenir sa courbe ^C

f

: à chaque abscisse, on multiplie par k l'ordonnée du point de ^C

u

. Si k  0 , les fonctions u et ku ont le même sens de variation sur I .

Si k  0 , les fonctions u et ku ont des sens de variation contraires sur I . exemple :

exemple : u et – u ont des sens de variation contraires sur I . 1

2

(4)

Fonction

Fonction x ∣ u x ∣ (à travers un exemple)

f x = ∣  x – 1

²

– 2 ∣

Fonction

Fonction x u x v  x ( u et v définies toutes les deux sur un intervalle I ) La fonction u v est définie sur I par uv  x =u  x v  x .

Pour obtenir sa courbe ^C

uv

: à chaque abscisse x de I , on ajoute les ordonnées des points de C

_u

et de ^C

v

de même abscisse.

Si u et v sont deux fonctions croissantes sur I , la somme uv est croissante sur I . Si u et v sont deux fonctions décroissantes sur I , la somme uv est décroissante sur I . Exemple : Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur [ 0 ;∞[ par : f  x = x

2 – 1 – 4 x

Si u est croissante sur I et v décroissante sur I alors ...

Fonction

Fonction « u suivie de suivie de v » ( ( u et et v étant deux fonctions ) étant deux fonctions )

La fonction composée « u suivie de v » est résumée par le schéma fonctionnel suivant : u v

x u  x =t v t =v  u x= f  x  L'image par u de x devient l'antécédent pour la fonction v

Ce schéma fonctionnel ne peut « fonctionner » que si t =u  x  ∈ ^D

v

. Décomposer la fonction k définie par k  x=  ⁹ ^{– x}

²

et donner l'ensemble de définition de k  D

_k

 . Sens de variation: Sens de variation:

La composée d'une fonction croissante suivie d'une fonction croissante est croissante.

La composée d'une fonction croissante suivie d'une fonction décroissante est décroissante.

La composée d'une fonction décroissante suivie d'une fonction croissante est décroissante.

La composée d'une fonction décroissante suivie d'une fonction décroissante est croissante.

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(5)

Exercice

Exercice : Soit g la fonction définie sur ℝ par g  x= 1

x

²

– 4 . Déterminer ^D

g

puis le sens de variation de g sur ^D

g

.

IV. IV. Trinôme du second degré Trinôme du second degré

Forme d'un polynôme du second degré:

Un polynôme du second degré (ou trinôme) peut s'écrire, pour tout réel x : sous forme réduite : P  x =ax

²

bxc , avec a ≠ 0 ;

sous forme canonique : P x =a  x – 

²

 . Exemples:

Exemples: P  x =2 x

²

– 8 x 9 ; Q  x=– 2 x  x – 23 ; R x=3 x

²

92x 3

Représentation graphique Représentation graphique

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré P : x _ax

²

_bxc , avec a ≠ 0 est une parabole de sommet S – b

2 a ; P  – b 2 a 

Si a 0 la parabole est tournée vers le bas Si a 0 la parabole est tournée vers le haut

Exercice :

Exercice :Représenter les courbes ^C

P

, ^C

Q

et ^C

R

des exemples précédents.

Sens de variation Sens de variation

Suivant le signe de a , on obtient le sens de variation de la fonction polynôme du second degré P : x ax

²

bxc avec a ≠ 0 .

a 0 a0

Equation

Equation ax

²

bxc=0 ( solutions suivant le signe du discriminant  ) ( solutions suivant le signe du discriminant

L'existence des solutions de l'équation P  x =ax

²

bxc= 0 E  dépend du signe du discriminant =b

²

– 4 ac , on admet les résultats suivants :

Si 0 alors  E  n'a pas de solution réelle ;

Si =0 alors  E  admet une unique solution =– b 2 a ;

Si 0 alors  E  admet deux solutions distinctes x

₁

= – b  ^

2 a et x

₂

= – b−  ^

2 a . Remarque :

Remarque : Les solutions de  E sont les abscisses des points d'intersection de ^C

P

Chapitre 3 Première ES Fonctions et second degré

-3 -2 -1 0 1 2 3 9

8 7 6 5 4 3 2 1 24 3

Chapitre 3 Première ES

Ensemble de définition et conventions graphiques

Quels sont les ensembles de définition des fonctions représentées ?

I. Fonctions usuelles Fonction carré : x x

Fonction inverse : x 1 x

Ensemble de définition Sens de variation

Ensemble de définition Sens de variation

Fonction racine carrée : x  x Fonction valeur absolue : x ∣  x  ∣

Ensemble de définition Sens de variation

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Résolutions graphiques utilisant les fonctions de référence

Résoudre 1. 4

x =8

2. 1 x 2

Résoudre 1. 2 x

=8

2. – 4 x

10

II. Fonctions associées

Soit u une fonction et C

sa représentation graphique dans un repère orthogonal O ;  i ;  j  Fonction : x u x

La courbe C

de la fonction f définie par : f x =u  x

est obtenue par translation de la courbe C

de vecteur –   i

La courbe C

est déplacée à l'horizontale de – unités

Sens de variation Sens de variation u est définie sur un intervalle [ a ; b ] .

La fonction f a le même sens de variation sur l'intervalle [ a –  ; b –  ] que u sur [ a ; b ] Exemple :

Exemple :

f x =u  x1  dresser le tableau de variations de f .

x –3 4 5

u(x) 3

0

1

Fonction : x u x  +

La courbe C

de la fonction g définie par : g  x=u x

est obtenue par translation de la courbe C

de vecteur   j

La courbe C

est déplacée à la verticale de  unités

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Sens de variation Sens de variation u est définie sur un intervalle [ a ; b ] .

La fonction g a le même sens de variation sur l'intervalle [ a ;b] que u sur [ a ; b ] Exemple :

Exemple :

g  x=u x2 dresser le tableau de variations de g .

x –3 4 5

u(x) 3

0

1

Exercices:

Exercices: Soit f et g les deux fonctions définies par f  x = 1

x – 2 et g  x= x

– 4 . Construire leurs courbes représentatives et leurs tableaux de variations.

Étudier et représenter la fonction h définie sur ℝ par : h x = x – 4

1 III.Opérations sur les fonctions

u fonction définie sur un intervalle I et fonction définie sur un intervalle I et k un réel. un réel.

Fonction

Fonction x k × u  x

La fonction f donnée par f  x =k× u  x a le même ensemble de définition que la fonction u . Pour obtenir sa courbe C

: à chaque abscisse, on multiplie par k l'ordonnée du point de C

. Si k  0 , les fonctions u et ku ont le même sens de variation sur I .

Si k  0 , les fonctions u et ku ont des sens de variation contraires sur I . exemple :

exemple : u et – u ont des sens de variation contraires sur I . 1

2

Fonction

Fonction x ∣ u x ∣ (à travers un exemple)

f x = ∣  x – 1

– 2 ∣

Fonction

Fonction x u x v  x ( u et v définies toutes les deux sur un intervalle I ) La fonction u v est définie sur I par uv  x =u  x v  x .

Pour obtenir sa courbe C

: à chaque abscisse x de I , on ajoute les ordonnées des points de C

et de C

de même abscisse.

Si u et v sont deux fonctions croissantes sur I , la somme uv est croissante sur I . Si u et v sont deux fonctions décroissantes sur I , la somme uv est décroissante sur I . Exemple : Étudier le sens de variation de la fonction f définie sur [ 0 ;∞[ par : f  x = x

I. Fonctions usuelles Fonction carré : x _x

Fonction racine carrée : x  ^x Fonction valeur absolue : x ∣  x  ∣

Résoudre 1. ⁴

Soit u une fonction et ^C

La courbe ^C

est obtenue par translation de la courbe ^C

La courbe ^C

Sens de variation Sens de variation u est définie sur un intervalle ^[ a ; b ] .

Fonction : ^x u x  +

est obtenue par translation de la courbe ^C

La courbe ^C

La fonction g a le même sens de variation sur l'intervalle ^[ a ;b] que u sur ^[ a ; b ] Exemple :

La fonction f donnée par f  x =k× u  x a le même ensemble de définition que la fonction u . Pour obtenir sa courbe ^C

: à chaque abscisse, on multiplie par k l'ordonnée du point de ^C

Pour obtenir sa courbe ^C

et de ^C

Ce schéma fonctionnel ne peut « fonctionner » que si t =u  x  ∈ ^D

. Décomposer la fonction k définie par k  x=  ⁹ ^{– x}

– 4 . Déterminer ^D

puis le sens de variation de g sur ^D

La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré P : x _ax

_bxc , avec a ≠ 0 est une parabole de sommet S – b

Exercice :Représenter les courbes ^C

, ^C

et ^C

= – b  ^

= – b−  ^

Remarque : Les solutions de  E sont les abscisses des points d'intersection de ^C