Fonctions du second degré
Dossier N
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Première
S2
Objectif du dossier
Ce dossier de travail va nous permettre d’automatiser la recherche du sommet d’une parabole en interaction avec la détermination de la forme canonique
Pour bien démarrer
Intro 1 : Une factorisation simple mais efficace
1 On considère l’expressionA(x) = 2x2−6x A(x) se factorise sous la forme :
r (2x−3)(x+ 2) r x(2x−6) r 2x(x−3)
2 Factoriser l’expression : B(x) =x2+ 7x 3 Factoriser l’expression : C(x) = 5x2−125x 4 Factoriser l’expression : C(x) = 5x2−12x
Intro 2 : Un premier exemple
On considère la fonctionf définie surRpar : f(x) =x2−4x+ 7.
L’objectif de cet exercice est de déterminer les coordonnées du sommetS1de la paraboleP1représentative de la fonction f.
1 Résoudre l’équationf(x) = 7.
2 En déduire en utilisant les propriétés de symétrie des paraboles l’abscissexS1 du sommet deP1
3 En déduire l’ordonnéeyS1 du sommetS1 4 En déduire la forme canonique de f(x)
5 Vérifier ( en développant la forme canonique) la cohé- rence du résultat obtenu
Entraînement et apprentissage
Exercice 1 : Avez vous bien compris ?
On considère la fonctionf définie surRpar : f(x) =−2x2+ 3x−1.
L’objectif de cet exercice est de déterminer les coordonnées du sommetS2de la paraboleP2représentative de la fonction f.
1 Résoudre l’équationf(x) =−1.
2 En déduire en utilisant les propriétés de symétrie des paraboles l’abscissexS2 du sommet deP2
3 En déduire l’ordonnéeyS2 du sommetS2
4 En déduire la forme canonique de f(x)
5 Vérifier ( en développant la forme canonique) la cohé- rence du résultat obtenu
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Exercice 2 : Déterminer une forme canonique
On considère la fonctionf définie surRpar : f(x) =x2−6x−5
1 Déterminer comme précédemment les coordonnées du
sommet de la parabole représentative de f 2 En déduire la forme canonique de f.
Exercice 3 : Et le cas général ?
On considère la fonctionf définie surRpar :
f(x) = ax2+bx+c où a , b , c sont trois nombres réels.
(a6= 0).
L’objectif de cet exercice est de déterminer les coordonnées du sommetS de la paraboleP représentative de la fonction f.
1 Résoudre l’équationf(x) =c.
2 En déduire en utilisant les propriétés de symétrie des paraboles l’abscissexSdu sommet deP en fonction des paramètres a,bet c
3 En déduire l’ordonnéeyS du sommetS en fonction des paramètres a,bet c
4 Donner l’écriture générale de la forme canonique
Un calcul plus direct
Il est possible de déterminer avec un calcul plus direct la forme canonique.
Cette technique de calcul est en général prisée des profs de math.
Elle utilise les identités remarquables . Consultez la vidéo ci-contre :VIDEO
Exercice 4 : Déterminer une forme canonique
Déterminer la forme canonique des expressions du second degré ci-dessous :
1 A(x) =x2+ 2x−10 2 B(x) =x2−6x+ 1 3 C(x) =x2+ 100x
4 D(x) = 3x2+ 18x−7 5 E(x) = 2x2+ 6x+ 5
6 F(x) =x2+3 2x+ 1
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Approfondissement
Exercice 1 : La passe au volley
Après plusieurs relevés, un scientifique a modélisé une passe de volley-ball, la passe de Mathy à son coéquipier Thaly.
La hauteur du ballonh(t) en fonction du tempst est : h(t) =−0,525t2+ 2,1t+ 1,9 où h(t) est exprimée en mètres etten secondes.
1 À quelle hauteur Mathy commence-t-il sa passe ?
2 Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ? 3 Thaly ne réussit pas à toucher le ballon que Mathy
lui passe. Combien de temps après la passe de Mathy le ballon tombe-t-il au sol ?
Les réponses sont à justifier.
Outil informatique - Programmation
Activité 1 : Le baby-boom
Travail en groupe
Les données de la page 4 donnent le nombre de naissances au Canada par année entre 1950 et 2009.
Consignes :
1 Modéliser l’évolution des naissances lors de la période du baby-boom au Canada par une fonction trinôme du second degré.
2 Mesurer l’intérêt de cette modélisation par l’estimation du nombre de naissances en 1970.
3 Rédiger uncompte-rendu par groupe de cette activité présentant conclusions et démarches.
4 Pour aller plus loin : ( en collaboration avec le professeur d’Histoire-Géographie )
(a) Établir une étude statistique permettant de com- parer les naissances au Canada et dans les pays d’Europe entre 1950 et 1968.
S’appuyer sur le site de l’INED :Site INED (b) Des phénomènes de baby-boom se retrouvent-ils
sur le vieux continent ?
(c) Existe-t-il des périodes de l’histoire de France où l’on a pu constater des phénomènes comparables, où la courbe des naissances est modélisable par une parabole ?
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