Fonctions polynômes du second degré
1. Définitions Définition 1
On appelle fonctionpolynôme du second degrétoute fonctionPdéfinie surRde la forme P(x)=ax2+bx+c
oùa(a6=0),betcsont des réels appelés coefficients.
Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas !
fonctions polynôme de degré 2 coefficients autres fonctions
P(x)=2x2−5x+3 a=2,b= −5,c=3 P(x)=x3+2x2−5x+3 P(x)= −x2+3 a= −1,b=0,c=3 P(x)=x−5
P(x)= −7x2+3x a= −7,b=3,c=0 f(x)=x2−5x+1 x Définition 2
Une expression de la formea(x−α)2+βaveca6=0 s’appelle laforme canoniqued’un polynôme de degré 2.
Toute fonction polynôme admet une forme canonique.
Exemple : l’expressionP(x)=2(x−1)2+3 est la forme canonique du polynômeP(x)=2x2−4x+5.
En effet : 2(x−1)2+3=2(x2−2x+1)+3=2x2−4x+5=P(x).
Définition 3
Sous certaines conditions suraetβ, une fonction polynôme peut admettre une troisième forme du typea(x−x1)(x−x2) appeléeforme factorisée.
Exemple : La forme factorisée du polynômeP(x)=x2−3x−4 estP(x)=(x−4)(x+1).
En effet, (x−4)(x+1)=x2+x−4x−x=x2−3x−4=P(x).
2. Variations et représentation graphique Propriété
La fonction polynôme de degré 2 définie sur ]− ∞; +∞[ est :
♦ strictement décroissante puis strictement croissantesia>0,
♦ strictement croissante puis strictement décroissantesia<0,
Tableau de variations et représentation graphique : a>0
x −∞ −2ab +∞
+∞ +∞
f ց ր
min x= −2ab
b
minimum
a<0
x −∞ −2ab +∞
Max
f ր ց
−∞ −∞
x= −2ab
b
Maximum
Dans un repère (O;−→ i ;→−
j ), la courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est unepara- bole,
cette parabole admet unaxe de symétrieparallèle à l’axe des ordonnées.
Le point d’intersection de la parabole et de son axe de symétrie est lesommetde la parabole.
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Méthodes pratiques pour déterminer les variations deP – Utilisation de la forme canoniquea(x−α)2+β.
Sia>0, alorsa(x−α)2≥0 donc,a(x−α)2+β≥β
le minimumβest atteint lorsquea(x−α)2=0, c’est-à-dire pourx=α.
Exemple
SoitP(x)=2(x−2)2−1, on obtient : Pest décroissante sur ]− ∞; 2 ], croissante sur [ 2 + ∞[.
Son minimum atteint en 2 vaut−1.
x −∞ 2 +∞
+∞ +∞
f ց ր
−1
1 2 3 4 5 6
−1
−2
1 2 3 4
−1
b
Sia<0, alorsa(x−α)2≤0 donc,a(x−α)2+β≤β
le Maximumβest atteint lorsquea(x−α)2=0, c’est-à-dire pourx=α.
Exemple SoitP(x)= −1
2(x−2)2−1, on obtient : P est croissante sur ]− ∞; 2 ],
décroissante sur [ 2 + ∞[.
Son Maximum atteint en 2 vaut−1.
x −∞ 2 +∞
-1
f ր ց
−∞ −∞
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3 4 5
−1
−2
b
3
– Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.
Puisque la courbe est symétrique, si l’on trouve deux points A etB de cette courbe de même or- donnée, on en déduit que leur milieuIest situé sur l’axe de symétrie.
L’abscisse deI est donc l’abscisse de l’extremum.
Exemple
SoitP(x)=x2−4x+3 :
On recherche par exemple les 2 points A et B qui ont pour abscissey=3.
Pour cela, on résoutP(x)=3 : x2−4x+3=3⇐⇒x2−4x=0
⇐⇒x(x−4)=0
⇐⇒x=0 oux=4
L’abscisse du minimum est doncx=0+4 2 =2.
L’ordonnée vautP(2)=22−4×2+3= −1.
Pest décroissante sur ]− ∞; 2 ], croissante sur [ 2 + ∞[.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4
−1
b
b bb
× ×
IA B– Utilisation dex= − b 2a. Exemple
SoitP(x)= −x2−2x+3.
a= −1 est négatif etb= −2 donc,− b
2a = − −2
2×(−1)= −1.
La fonctionP est donc croissante sur ]− ∞; −1 ] et décroissante sur [−1 + ∞[.
Son maximum est atteint pourx−1 et vautP(−1)=4.
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