Fonctions du second degré
Dossier N
◦1
Première
S1
Pour bien démarrer
Intro 1 : Où retombe le ballon ?
Une personne lance une balle d’une hauteur de 1,50 mètre.
La balle suit une trajectoire parabolique dont le sommet est atteint 4 mètres plus loin avec une hauteur maximale de 2,50 mètres.
1 Déterminer avec une précision au mm près un encadre-
ment de la distance parcourue par la balle lorsqu’elle retombe au sol.
2 Représenter la trajectoire de la balle sur votre calcula- trice, avec Géogebra où à l’aide d’un logiciel traceur de courbe.
Boîte à outils mathématiques
Définition
On appelle fonction trinôme du second degré toute fonctionf définie surRpar une expression qui peut s’écrire sous la forme : f(x) = ax2+bx+c
où a , b et c sont des nombres réels (a6= 0 )
Propriété 1
La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole . 8 Si a <0
Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas La fonction admet donc un maximum
Ce maximum est l’ordonnée du sommet de la parabole 8 Si a >0
Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas La fonction admet donc un minimum
Ce minimum est l’ordonnée du sommet de la parabole
Propriété 2
Toute fonction du second degré peut s’écrire sous la forme : f(x) =a(x−xS)2+ySoùxS etyS sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du sommet de la parabole.
Cette forme d’écriture est appelée Forme canonique
Par exemple :f(x) =−x2−2x+ 8 peut s’écrire : f(x) =−(x+ 1)2+ 9
Propriété 3
Les fonctions du second degré pour lesquelles 0 admet au moins un antécédent peuvent s’écrire sous une forme factorisée de la forme : f(x) =a(x−u)(x−v) oùuetv sont les antécédents de 0. (upouvant être égal àv) Par exemple :f(x) =−x2−2x+ 8 peut s’écrire :
f(x) =−(x−2)(x+ 4) ( en effetf(2) = 0 etf(−4) = 0 )
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Entraînement et apprentissage
Exercice 1 : Un peu de calcul
1 Pour toutxdeR,x2−4x+ 4 est égal à : r (x−4)2
r (x−2)2 r (x−2)(x+ 2)
2 Pour toutxdeR(3x−6)2−9 est égal à : r (3x−9)2
r 9x2−36x+ 27 r (3x−9)(3x+ 9)
3 Les nombres réels 2 et 3 sont solutions de : r (x+ 2)(x−3) = 0
r x2−5x+ 6 = 0 r x2+x−6 = 0
Exercice 2 : Déterminer une forme canonique
Mettre sous forme canonique les trinômes du second degré suivants.
1 P(x) =x2+ 4x+ 1
2 Q(x) = 4x2−3 3 R(x) =−2x2+ 3x−6 4 S(x) =x2+ 6x
Exercice 3 : Choisir la bonne forme
On considère la fonction du second degréf définie surR par :
f(x) =2
3x2+16 3 x+17
3 .
Marina, Hicham, Sophie et Joël, quatre élèves de 1re S proposent leur réponse.
Marina :f(x) =2
3(x−4)2−5
Hicham :f(x) = 2
3(x+ 4)2−5 Sophie : f(x) = 2
3(x−4)−5 Joël : f(x) = 2(x+ 4)2−5
Leur professeur dit « Je peux éliminer trois réponses sans faire de calculs ».
Quelles réponses peuvent être éliminées sans faire de cal- cul ?
Exercice 4 : Changer de registre
On considère une fonctionf donnée parsesdifférentes ex- pressions algébriques et sa représentation graphique(donnée sans unité et sans quadrillage)
x y
y=f(x)
u•
•v S•
8 f(x) =−x2−2x+ 8
8 f(x) =−(x+ 1)2+ 9
8 f(x) = (−x+ 2)(x+ 4)
1 Quelles sont les valeurs de uet v?
2 Quelles sont les coordonnées du sommet S de la para- bole ?
2
Exercice 5 :
On considère une fonctionf donnée parsesdifférentes ex- pressions algébriques et sa représentation graphique(donnée sans unité et sans quadrillage)
x y
y=f(x)
S•
8 f(x) =x2−20x+ 120
8 f(x) = (x−10)2+ 20
8 f(x) =?????????????????
1 Pourquoi ne peut-il pas exister de forme factorisée ? 2 Quelles sont les coordonnées du sommet S de la para-
bole ?
Exercice 6 :
On considère une fonctionf donnée parsesdifférentes ex- pressions algébriques et sa représentation graphique(donnée sans unité et sans quadrillage)
x
y y=f(x)
•u v•
S•
8 f(x) =x2−2x−1
8 f(x) = (x−1)2−2
8 f(x) = (x−1−√2)(x−1 +√2)
1 Quelles ont les valeurs deuet v?
2 Quelles sont les coordonnées du sommet S de la para- bole ?
Approfondissement
Exercice 1 :
On considère la fonctionf définie pour tout xdeRpar : f(x) =x2−6x+ 5
Déterminer les éléments caractéristiques de la parabole représentative def (u,v ,xS ,yS,h).
x y
u• •v
S•
xS
yS h•
3
Exercice 2 :
Soitf une fonction du second degré dont la courbe repré- sentative est donnée ci-dessous.
−4−3 −2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1 1 2 3 4
1 Expliquer pourquoi la forme canonique de f peut s’écrire :
f(x) =a(x+ 2)2+ 3.
2 En utilisant l’image de 0, détermineraet en déduire la forme canonique def.
Exercice 3 :
La parabole ci-dessous est la courbe représentative d’une fonctionf.
Déterminer la forme canonique def.
−1 1 2 3 4
−2
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
Exercice 4 :
On considère une fonction du second degré qui a pour minimumy= 4, atteint pour x= 1.
On sait également que f(−1) = 2.
Que vaut f(3) ?
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