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Lycée militaire de Saint-Cyr DS n°8 1
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Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation des copies. Tous les résultats devront être soulignés.
Exercice 1
Soit la fonction définie sur ℝ\{−1} par 𝑓(𝑥) =−𝑥²+𝑥−2
𝑥+1 . Soit 𝒞 sa courbe représentative dans un repère (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗) .
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout réel x ≠ −1, on ait 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐
𝑥+1. 2. Montrer que pour tout réel 𝑥 ≠ −1, 𝑓′(𝑥) = −1 + 4
(𝑥+1)2. 3. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
4. Déterminer l’équation réduite de la tangente 𝑇 à 𝒞 au point A d’abscisse 0.
5. Etudier la position de 𝒞 par rapport à la droite Δ d’équation 𝑦 = −𝑥 + 2
6. Sur l’annexe (page 3), tracer la droite d d’équation 𝑥 = −1; Δ ; 𝑇 la tangente et la courbe 𝒞.
Exercice 2
Soit 𝑓 la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 − 𝑥 − 1.
1. Etudier le sens de variation de 𝑓.
2. En déduire que pour tout 𝑥 ∈ [0 ; +∞[ , 2√𝑥 ≤ 𝑥 + 1. Justifier soigneusement.
Exercice 3
Avec une même ficelle de longueur 1 m, on forme un triangle équilatéral de côté 𝑥 et un carré de côté a.
On note s la somme des aires du triangle et du carré.
1. Montrer que 𝑠(𝑥) =√3
4 𝑥2+ 1
16(1 − 3𝑥)2
2. Pour quelle valeur de 𝑥, 𝑠 est-elle minimale ? Justifier soigneusement
Exercice 4
ABCD est un trapèze rectangle ci-dessous tel que : AB=8, CD=3 et AD=6.
O est le point d’intersection de ses diagonales.
2 1. Calculer 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
2. En déduire que 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12.
3. Calculer, au degré près, la mesure de l’angle 𝐴𝑂𝐵̂. Exercice 5
Exercice 6
Barème probable /25 : Ex 1 : 6 ; Ex 2 : 3 ; Ex 3 : 4 ; Ex 4 : 4 ; Ex 5 : 3.5 ; Ex6 : 4.5 BONUS !
Existe-t-il une fonction polynôme de degré 3 dont la courbe représentative passe par les points de coordonnées (0 ; 0) et (1 ; 1) et admette en ces points des tangentes parallèles à l’axe des abscisses ?
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ANNEXE
NOM : PRENOM :
0 1 1
x y
