Lycée militaire de saint-Cyr DS n°2 de mathématiques 1

Lycée militaire de saint-Cyr DS n°2 de mathématiques 1

S

Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation de la copie. Tous les résultats devront être soulignés. Mettre les formules du discriminant et des racines une fois au moins sur votre copie.

Exercice 1

Résoudre dans ℝ les équations et les inéquations suivantes.

1. 2𝑥²− 2𝑥√5 + 3 = 0 ;

2. 3𝑥⁴+ 2𝑥²√6 − 1 = 0 (penser à un changement de variable) ; 3. 3𝑥²− 12 > 0 ;

4. (𝑥 + 3)(7𝑥 − 1) ≤ 𝑥 + 3 5. _𝑥−2¹ +_𝑥+2¹ ≥⁶₅

Exercice 2

Soit la parabole P d’équation 𝑦 = 2𝑥²+¹

2 et la droite D d’équation 𝑦 = 2𝑥.

1. Déterminer les coordonnées du sommet de P.

2. Déterminer le ou les points d’intersection de P et de D.

3. Déterminer la position relative de P et de D.

Exercice 3

Résoudre le système suivant : {−3𝑥²+ 5𝑥 − 2 > 0

𝑥−4 𝑥+3< 0

Exercice 4

On désigne par 𝒞 la courbe représentative de la fonction racine carrée dans un reprère orthonormé.

Soit 𝐴 le point de coordonnées (2 ; 0).

1. Démontrer que la distance entre le point A et le point 𝑀(𝑥 ; √𝑥) de la courbe 𝒞 (avec 𝑥 ≥ 0) est donnée par 𝑑(𝑥) = √𝑥²− 3𝑥 + 4.

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ 𝑥²− 3𝑥 + 4 puis celui de la fonction 𝑑 sur ℝ⁺.

3. Déduire de ce qui précède les coordonnées du point de la courbe 𝒞 le plus proche du point A.

Exercice 5

1. Montrer que pour tout 𝑦 ≥ 0, √𝑦²+ 4 > 𝑦.

2. En déduire que pour tout 𝑦 ≥ 0, 𝑥²− 𝑦𝑥 − 1 = 0 possède une unique solution positive.

Exercice 6

Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions définies sur ℝ − {1} par: 𝑓(𝑥) = ^𝑥

1−𝑥 et 𝑔(𝑥) = 𝑥²+ ^𝑥

1−𝑥. 1. Démontrer que pour tout 𝑥 ∈ ℝ − {1}, 𝑓(𝑥) = −1 + ¹

1−𝑥.

2. Donner le sens de variation de 𝑓 en justifiant bien les étapes du raisonnement.

3. Montrer que pour tout 𝑥 < 1, 𝑓(𝑥) > −1. Que peut-on en déduire graphiquement ? 4. Donner le sens de variation de 𝑔 sur l’intervalle ]1 ; +∞[ en justifiant bien les étapes du

raisonnement.

Exercice 7

1. On considère le trinôme : 𝑥²− (2𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚², où 𝑚 est un nombre réel.

a) Pour quelle valeur de 𝑚 le trinôme a-t-il une racine double ? b) Calculer alors la valeur de cette racine.

2. On considère l’équation 2𝑥²− (𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 2 = 0.

a) Calculer 𝑚 pour que l’une des solutions soit égale à 3.

b) En déduire alors l’autre solution.

Barème indicatif /45 : Ex 1 : 15 Ex 2 : 7 Ex 3 : 5 Ex 4 : 5 Ex 5 : 3 Ex 6 : 6.5 Ex 7 : 3.5 BONUS !

Soit 𝑃 la parabole d’équation 𝑦 = 𝑥²− 4𝑥 + 3.

Donner la représentation graphique de la courbe d’équation 𝑦 = |𝑥²− 4𝑥 + 3|.