Lycée militaire de Saint-Cyr DS n°6 1

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Lycée militaire de Saint-Cyr DS n°6 1

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S Durée : 3h00

Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation des copies. Tous les résultats devront être soulignés.

Exercice 1

On supposera que 𝐵𝐴𝐶̂ ∈ [0;^𝜋

2].

Exercice 2

Soient ABCD un carré de côté a et BEFG un carré de côté b.

Exercice 3

(2)

2 Exercice 4

1. Etudier le sens de variation de la fonction 𝑓 définie sur [0; 9] par : 𝑓(𝑥) = √𝑥 − (1 +¹₄𝑥).

2. Calculer 𝑓(4) et en déduire le signe de 𝑓(𝑥) sur [0; 9].

3. a) Tracer dans un repère orthonormé, sur [0; 9], la représentation graphique 𝐶 de la fonction 𝑔 définie par 𝑔(𝑥) = √𝑥.

b) Déterminer l’équation de la tangente T à la courbe représentative de 𝐶 au point d’abscisse 4 puis tracer cette tangente dans le repère.

c) A l’aide du graphique, conjecturer la position de 𝐶 par rapport à la droite T.

d) Démontrer cette conjecture.

Exercice 5

3. On considère la fonction 𝑓: 𝑥 ⟼ −𝑥³+ 4𝑥

Exercice 6

(3)

3 Exercice 7

Les questions sont indépendantes et peuvent être faites dans l’ordre que vous voulez.

1. On a placé sur le cercle trigonométrique 𝒞 ci-dessous le point 𝑀 tel que (𝑖⃗, 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) a pour mesure ^𝜋

5.

Placer sur ce cercle les points N ,P, Q, R et S tels que (𝑖⃗, 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = −^𝜋

5, (𝑖⃗, 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =^4𝜋

5, (𝑖⃗, 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = −^4𝜋

5 , (𝑖⃗, 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =^7𝜋

10 𝑒𝑡 (𝑖⃗, 𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = −^3𝜋

10. 2. On donne cos^𝜋

5=^√5+1

4 . Justifier que sin^𝜋

5=^√5−√5

2√2 . 3. Calculer les sommes suivantes :

a) cos (^𝜋₅) + sin (^4𝜋₅) + cos (−^4𝜋₅) + sin (−^𝜋₅) b) cos (^7𝜋₁₀) + sin (^𝜋₅) + sin (−^3𝜋₁₀) + cos (−^𝜋₅) 4. Résoudre dans ℝ l’équation d’inconnue 𝑥 :

4 sin²𝑥 + 2(1 + √3) sin 𝑥 + √3 = 0 . Indication : On pourra poser 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥.

5. Dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant :

« Etant donné des points A, B, C, D , E et F, si (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =^3𝜋

4 (2𝜋) et (𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =^5𝜋

4 (2𝜋), alors les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires.

Barème probable /40 : Ex 1 : 5 ; Ex 2 : 3 ; Ex 3 : 5 ; Ex 4 : 8 ; Ex 5 : 6 ; Ex 6 : 5 ; Ex 7 : 8 BONUS !

Déterminer lim

ℎ→0

(−1+ℎ)²⁰¹⁶−1 ℎ