Lycée militaire de saint-Cyr DS n°3 de mathématiques 1
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Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’appréciation de la copie. Tous les résultats devront être soulignés
Exercice 1
[AB] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment.
On note 𝐴𝑀 = 𝑥 avec 0 < 𝑥 < 8.
𝑓 est la fonction définie sur ]0 ; 8[ par :
𝑓(𝑥) = 1 𝑀𝐴+ 1
𝑀𝐵
1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre réel 𝑥 de l’intervalle ]0 ; 8[, 𝑓(𝑥) = − 8
𝑥2−8𝑥. 2. Etudier le sens de variation de 𝑓 en justifiant bien les étapes.
3. En déduire la position de M pour laquelle 𝑓(𝑥) est minimal.
Exercice 2
Soit 𝑓 la fonction polynôme définie par : 𝑓(𝑥) = −4𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois réels.µ On sait que -1 et 2 sont des racines de 𝑓(𝑥) et que la courbe représentative de 𝑓 passe par le point 𝐴(0 ; 4).
1. a) Montrer que déterminer 𝑎, 𝑏 et 𝑐 revient à résoudre le système suivant : {
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 4 = 0 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 − 32 = 0
𝑓(0) = 4 b) Résoudre le système précédent.
2. a) Montrer que 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 1)(−2𝑥2+ 3𝑥 + 2).
b) Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 0 puis l’inéquation 𝑓(𝑥) < 0.
Exercice 3
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) =1
2𝑥2− 2𝑥 − 2,5. On désigne par 𝐶𝑓 la courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗)
1. Construire 𝐶𝑓.
2. 𝐷 est la droite passant par le point 𝐴(2; 3) et 𝐵(−2; −1).
a) Tracer 𝐷. Déterminer l’intersection de 𝐶𝑓 et de 𝐷.
b) Résoudre graphiquement puis par le calcul l’inéquation 𝑓(𝑥) > 𝑥 + 1.
3. 𝐷′ est la droite d’équation 7𝑥 − 2𝑦 − 35 = 0.
a) Tracer 𝐷′. Etudier l’intersection de 𝐶𝑓 et de 𝐷′.
b) Etudier la position relative de 𝐶𝑓 par rapport à 𝐷′.
c) Etudier l’intersection des droites 𝐷 et de 𝐷′.
Exercice 4
On considère, dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖⃗, 𝑗⃗), les points 𝐴(1; −2), 𝐵(4; −1) et 𝐶(4; 4).
1. a) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice 𝐷1 du segment [AB].
b) Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice 𝐷2 du segment [BC].
2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection I des droites 𝐷1 et 𝐷2. Que peut-on dire du point I ?
Exercice 5
Soit 𝑚 un réel, on considère la famille de droites 𝐷𝑚 d’équations : (𝑚 + 1)𝑥 − 𝑚𝑦 − 𝑚 − 2 = 0 1. Tracer dans un repère les droites 𝐷1 et 𝐷−2.
2. Peut-on trouver 𝑚 tel que 𝐷𝑚 soit parallèle à l’axe des abscisses ? 3. Peut-on trouver 𝑚 tel que 𝐷𝑚 soit parallèle à l’axe des ordonnées ?
4. Déterminer, en fonction de 𝑚, les coordonnées des éventuels points d’intersection de 𝐷𝑚 avec les axes du repère.
Barème indicatif /35 : Ex 1 : 5 Ex 2 : 8 Ex 3 : 11.5 Ex 4 : 5 Ex 5 : 5.5 BONUS !
Dans un cercle de rayon 4 cm, peut-on inscrire un triangle AMB isocèle, de sommet principal M, tel que MA soit le double de AB ?
