UNIVERSIT´E JOSEPH FOURIER Ann´ee 2005/2006
Licence de math´ematiques MAT 242
Groupe INMA 03
Feuille d’exercices 7
Exercice 1S´eries enti`eres `a coefficients positifs.
Soit X+∞
n=0
anxn une s´erie enti`ere ayant un rayon de convergence ´egal `a 1 et des coefficients an tous positifs. La somme de la s´erie pour −1 < x <1 est not´ee f(x).
1. Etudier la monotonie de l’applicationf sur [0,1[. En d´eduire quels sont les comportements possibles de la fonction f(x) quandx→1−.
2. On suppose maintenant que f(x) a une limite r´eelleλquand x→1−. a) Pour toutN∈N, et toutx∈R, on noteSN(x) =PN
n=0anxn. (Le polynˆome SN est une fonction d´efinie et continue surR.) ComparerSN(x) etf(x) lorsque 0< x <1 et en d´eduire queSN(1)≤λ.
b) En d´eduire que la s´erie P
an converge, puis que la s´erie enti`ere P anxn converge normalement sur [−1,1].
c) Montrer pr´ecis´ement que P+∞
n=0an =λ.
3. On suppose maintenant que f(x) tend vers +∞ quand quand x → 1−. Montrer qu’alors, la s´erie P
an diverge.
Exercice 2
Donner le rayon de convergence et la somme des s´eries enti`eres suivantes:
X
n≥2
xn n(n−1)
X
n≥1
xn (n−1)!
X
n≥0
3n
n+ 2xn X
n≥0
n2+n−1 n! xn X
n≥1
2n+ 2
n(n+ 2)xn X
n≥1
(−1)n
(2n−1)(2n+ 1)xn X
n≥1
x3n (3n)!
X
n≥0
n(n+ 1)xn
1
