Déterminants Feuille 27

Déterminants Feuille 27

Exercice27.1

Soit K un corps de caractéristique différente de 2 etn un entier naturel impair. Montrer que toute matrice antisymétrique deM_n(K)est de déterminant nul.

Exercice27.2

Soientα, βetγtrois réels. Montrer que :

1 1 1 1

1 1 cosγ cosβ 1 cosγ 1 cosα 1 cosβ cosα 1

=−16 sin² α 2 sin²β

2 sin² γ 2.

Exercice27.3

SoitD_n(R)l’ensemble des matrices diagonales de taillenà coefficients réels et soitD ∈ D_n(R) telle que les coefficients diagonaux deDsont deux à deux distincts.

1. Déterminer l’ensemble des matrices qui commutent avecD.

2. Montrer que(I_n, D, . . . , Dⁿ⁻¹)forme une base deD_n(R).

Exercice27.4

SoientA etB deux matrices inversibles deM_n(R), à coefficients dansZ. On suppose quedet(A) etdet(B) sont premiers entreeux. Montrer qu’il existe deux matrices U et V deM_n(R), à coefficients dans Z, telles que U A+V B=In.

Exercice27.5

Soitnun entier supérieur ou égal à 2. Calculer le déterminant de la matrice de taillendont le(i, j)^`emecoefficient vaut|i−j|.

Exercice27.6

Soientnun entier supérieur ou égal à 3 etxun réel non nul.

1. Calculer le déterminant de la matrice deM_n(R)dont les coefficients diagonaux sont nuls et dont les autres coefficients sont tous égaux àx.

2. Calculer le déterminant de la matrice A = (a_i,j) ∈ M_n(R) définie par les relations suivantes : pour tout i∈ {1, . . . , n}, a_i,i= 0, pour toutk∈ {2, . . . , n}, a_1,k =a_k,1 = 1,et tous les autres coefficients deAsont égaux àx.

Exercice27.7

1. Diagonaliser la matriceM =

Ñ 0 −2 0

1 0 −1

0 2 0

é

2. Calculer les puissances deM.

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FEUILLE XXVII - DÉTERMINANTS

Exercice27.8

On poseM =

Ñ 2 −3 −1 1 −2 −1

−2 6 3 é

DéterminerQ∈GL3(R)telle queM =Q

Ñ 1 0 0 0 1 1 0 0 1

é Q⁻¹.

Exercice27.9

SoitEunC-espace vectoriel de dimensionnetu∈L(E). 1. Montrer queE est unR-espace vectoriel de dimension2n.

2. Montrer quedet_R(u) =|det_C(u)|².

Exercice27.10

Soientn∈N^∗et(a₀, . . . , a_n)∈Rⁿ⁺¹

Calculer le déterminant

1 a0 a²₀ · · · aⁿ⁻¹₀ aⁿ⁺¹₀ 1 a₁ a²₁ · · · aⁿ⁻¹₁ aⁿ⁺¹₁

..

. ... ... ... ... 1 an a²_n · · · aⁿ⁻¹_n aⁿ⁺¹_n

Exercice27.11

Soitpun entier strictement positif. Les éléments deZ^psont notés sous la forme de vecteurs colonnes àplignes.

Montrer queϕest un automorphisme du groupe(Z^p,+)si et seulement s’il existe une matriceA ∈ M_p(R)telle que

— pour toutX∈Z^p, ϕ(X) =AX,

— les coefficients deAsont des entiers relatifs,

— etdet(A) =±1.

Exercice27.12

Déterminez le rang de^tcom(A)en fonction de celui deA.

Exercice27.13

Soitn∈N^∗. SiMest une matrice deM_n(R), on notecom(M)la matrice deM_n(R)dont le(i, j)^`emecoefficient est le cofacteur deM de position(i, j).

SoitAune matrice inversible deM_n(R).

Déterminer l’ensemble des matricesX ∈ M_n(R)telles quecom(X) =A.

Exercice27.14

Introduction aux résultants

SoientP etQdeux polynômes deC[X], dont les degrés, notésm etn, sont strictement positifs. On noteraP =

m

X

k=0

a_kX^ketQ=

n

X

k=0

b_kX^k

Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i. P etQadmettent une racine commune.

ii. Le degré deP∧Qest strictement positif.

iii. Il existe deux polynômesAetBdeC[X], non nuls, tels quedeg(A)≤n−1,deg(B)≤m−1etAP+BQ= 0.

iv. La famille(P, XP, . . . , Xⁿ⁻¹P, Q, XQ, . . . , X^m−1Q)est liée.

v. det(M) = 0, oùM = (α_i,j)∈ M_n+m(C)est définie par les relations suivantes :

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FEUILLE XXVII - DÉTERMINANTS

• Sik∈Z\ {0, . . . , m}, on convient quea_k= 0.

• De même, sik∈Z\ {0, . . . , n}, on convient quebk= 0.

• Pour toutj∈J1, nKeti∈J1, n+mK, α_i,j =ai−j.

• Pour toutj∈ {n+ 1, . . . , n+m}eti∈Nn+m, α_i,j =bi−j+n.

Exercice27.15

SoientAetBdeux matrices deM_n(R). Montrer que siAetBsont semblables dansM_n(C), elles le sont dans M_n(R).

Indication: Il existeP ∈GLn(C)telle queP A=BP...

Exercice27.16

Déterminant de Cauchy

Soientn ∈N^∗,(α1, . . . , αn) ∈Cⁿet(β1, . . . , βn) ∈Cⁿ. On suppose que, pour tout(i, j) ∈ N²n, αi+βj 6= 0. Calculer le déterminant de la matriceÅ 1

α_i+β_j ã

1≤i≤n 1≤j≤n

selon les deux méthodes suivantes :

1. Effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes, en commençant par multiplier lai^`eme ligne parα_i+β₁, pour touti∈ {1, . . . , n}.

2. Déterminerλ∈Ctel queλ Qn−1

j=1(X−αj) Qn

j=1(X−βj) se mette sous la forme 1 X+βn

+

n−1

X

j=1

a_j

X+βj puis poursuivre...

Exercice27.17

Soientn∈N^∗etp∈ {1, . . . , n}. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn, muni d’une basee= (e1, . . . , en). On notee^∗= (e^∗₁, . . . , e^∗_n)la base duale dee.

1. Soit(k1, . . . , kp)∈ {1, . . . , n}^ptel quek1 <· · ·< kp. Pour tout(x1, . . . , xp)∈E^p,posonsϕ(x1, . . . , xp) = X

σ∈S_p

ε(σ)

p

Y

i=1

x_i,kσ(i), oùS_pest l’ensemble des permutations de{1, . . . , p}, oùε(σ)désigne la signature de la permutationσet oùxi,jdésigne laj-ème coordonnée dexidans la basee.

Montrer queϕest une formep-linéaire alternée surE.

Pour la suite, on noteraϕ=e^∗_k

1 ∧ · · · ∧e^∗_k

p etA_p(E)désignera l’ensemble des formesp-linéaires alternées deE.

2. Montrer que la famille(e^∗_k

1∧ · · · ∧e^∗_kp)1≤k1<···<kp≤nest une base deAp(E). Calculer la dimension deAp(E).

Exercice27.18

Calculer la limite en+∞deA= 1 3

Ñ1 0 2 2 1 0 0 2 1

é .

Exercice27.19

Soitn ∈ N^∗ et A ∈ M_n(C). On suppose que la suite(A^p)p∈N est bornée. Pour toutp ∈ N^∗, on pose B_p = 1

p

p−1

X

k=0

A^k.

1. Montrer que la suite(B_p)p∈N^∗ admet une valeur d’adhérence, notéeB. 2. Montrer queB(I−A) = 0, oùIdésigne la matrice identité.

3. En déduire queBest idempotent, i.e.B² =B.

4. Montrer queB est le projecteur surKer(A−I)parallèlement àIm(A−I).

5. Montrer que la suite(Bp)p∈N^∗ converge versB.

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