TD 9 : Fonction &agrave deux variables

ECE2 TD n ^◦ 9 : Fonction de deux variables

Exercice 1. Recherche d’extremums locaux

D´eterminer les extremums locaux ´eventuels des fonctions suivantes sur l’ensembleD: 1. f : (x, y)7−→xy(x+y−1) D=R²

2. f : (x, y)7−→ −x³ 4 +xy²

3 +9x

4 + 2y D=R² 3. f : (x, y)7−→x (lnx)²+y²

D=R^∗+×R 4. f : (x, y)7−→ −2(x−y)²+x⁴+y⁴ D=R² 5. f : (x, y)7−→√

y−xlnx D=

(x, y)∈R²tels que 0< x < y On admettra dans chaque cas queD est un ouvert deR².

Exercice 2. Ecricome 2007

1. Pour toutt >0, on posef(t) = 1 2

t+1

t

. Montrer que pour toutt >0,f(t)>1.

2. On consid`ere, surR^∗+×R^∗+, la fonctiong d´efinie par : g(x, y) = 1 2

1 x+1

y

(1 +x)(1 +y) (a) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 et 2 deg surR^∗+×R^∗+.

(b) Montrer queg admet un extremum local surR^∗+×R^∗+ dont on pr´ecisera la nature.

(c) V´erifier que : ∀(x, y)∈R^∗+×R^∗+, g(x, y) = 1 +f(x) +f(y) +f x

y

(d) En d´eduire que l’extremum local est un extremum global de gsurR^∗+×R^∗+. Exercice 3. ESC 2007

On consid`ere deux fonctions not´eesg eth.

La fonctiong est d´efinie surR² par : g(x, y) = 2e^−x+ 3x²−2xy+y² La fonctionhest d´efinie surRpar : h(x) = 2e^−x+ 2x²

1. (a) Justifier queg est de classeC² surR². (b) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 deg.

(c) Montrer queg admet un unique point critiqueM sur R².

On montrera que M est de la forme (α, α), o`uαest un r´eel que l’on ne cherchera pas `a expliciter.

(d) Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 deg.

Montrer queg pr´esente en M un minimum local de valeur 2α(2 +α).

2. (a) Montrer que pour tout (x, y)∈R² : g(x, y)>h(x) (b) ´Etudier les variations de h.

(c) En d´eduire que le minimum local pr´esent´e enM est aussi un minimum global pourg.

Exercice 4. Edhec 2005

Soitf la fonction d´efinie surR²par : ∀(x, y)∈R², f(x, y) =xe^x(y2+1) 1. Justifier quef est de classeC² surR².

2. (a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles premi`eres def.

(b) En d´eduire que le seul point en lequelf est susceptible de pr´esenter un extremum local est A= (−1,0).

3. (a) D´eterminer les d´eriv´ees partielles secondes def.

(b) Montrer qu’effectivement,f pr´esente un extremum local enA. En pr´eciser la nature et la valeur.

4. (a) Montrer que : ∀(x, y)∈R², f(x, y)>xe^x

(b) En ´etudiant la fonctiong d´efinie surRparg(x) =xe^x, conclure que l’extremum trouv´e `a la question 3.(b) est un extremum global de f sur R².

Exercice 5. EM Lyon 2007

1. Pour toutx >0, on poseg(x) =x²+ lnx.

Montrer que l’´equationg(x) = 0 admet une unique solution αsur ]0,+∞[, et que 1

2 < α <1.

2. On consid`ere l’application : F :R^∗+×R−→R, (x, y)7−→F(x, y) =xe^y+ylnx

(a) Montrer queF est de classeC¹ surR^∗+×Ret calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres deF en tout point (x, y) deR^∗+×R.

(b) Montrer queF admet un point critique et un seul que l’on exprimera `a l’aide du nombre r´eel α.

(c) Est-ce queF admet un extremum local ?

Exercice 6. Edhec 2006

Soitf la fonction d´efinie pour tout couple (x, y) deR² par : f(x, y) = 2x²+ 2y²+ 2xy−x−y 1. (a) Calculer les d´eriv´ees partielles premi`eres def.

(b) En d´eduire que le seul point critique def estA= 1

6,1 6

. 2. (a) Calculer les d´eriv´ees partielles secondes def.

(b) Montrer quef pr´esente un minimum local enAet donner la valeurmde ce minimum.

3. (a) D´evelopper 2

x+y 2 −1

4 ²

+3 2

y−1

6 ²

.

(b) En d´eduire quemest le minimum global def surR².

4. On consid`ere la fonction g d´efinie pour tout couple (x, y) deR² par : g(x, y) = 2e^2x+ 2e^2y+ 2e^x+y−e^x−e^y (a) Utiliser la question 3. pour ´etablir que : ∀(x, y)∈R², g(x, y)>−1

6

(b) En d´eduire queg poss`ede un minimum global surR² et pr´eciser en quel point ce minimum est atteint.