III. Continuité d’une fonction de deux variables

I. Premiers exemples

Définition 1.

Unefonction de deux variablesest une application de la forme f : R² −→ R (x;y) 7−→ f(x;y)

Définition 2.

Unefonction polynomialede deux variables réelles est une combinaison linéaire de fonctions de la forme : (x;y)7−→x^myⁿ, où(m;n)∈N²

Exemple 1.

Les applications oufonctions coordonnéessont (x;y)7−→x et (x;y)7−→y

Exemple 2.

Les fonctions constantes sont celles de la forme (x;y)7−→k, oùk∈Rest fixé.

Exemple 3.

f(x, y) =x²+y²

II. Représentation graphique

Définition 3.

On appellegraphedefl’ensemble des points(x;y;z)∈R³vérifiantz=f(x;y).

Le graphe def est unesurface(ounappe) de l’espaceR³, d’équationz=f(x;y).

Définition 4.

Soitλ∈R.

On définit laligne de niveauλdef l’ensemble des points(x;y;z)∈R³vérifiantf(x;y) =λ.

Remarque.

Un ligne de niveau donnée est une courbe.

La ligne de niveauλest une courbe du plan horizontal d’équationz=λ.

Exemple 4.

Le programme suivant permet de tracer la surface du paraboloïde elliptique, d’équationz=x²+y². On voit par ailleurs que les lignes de niveaux sont des cercles :

function z=f(x,y) z=x∧2+y∧2 endfunction

x=-5 :0.25 :5 y=x

fplot3d(x,y,f) contour(x,y,f,10)

Exemple 5.

Et maintenant au tour du paraboloïde hyperbolique, d’équationz=x²−y², encore appelé selle de cheval.

Les lignes de niveaux sont des branches d’hyperboles :

function z=f(x,y) z=x∧2-y∧2 endfunction

x=-3 :0.01 :3 y=x

fplot3d(x,y,f) contour(x,y,f,20)

III. Continuité d’une fonction de deux variables

Définition 5.

SoitA= (xA;yA)etB = (xB;yB)deux points du planR². On définit ladistance euclidiennedeAàBpar :

d(A, B) =d (x_A;y_A),(x_B;y_B)

=p

(x_B−x_A)²+ (y_B−y_A)²

Remarque.

Il s’agit en fait du théorème de Pythagore appliqué entre deux points du plan.

Définition 6.

Soitf une fonction définie surR².

1. On dit quef estcontinue en(x0;y0)∈R²si :

∀ε >0, ∃r >0 / ∀(x;y)∈R², d (x0;y0),(x;y)

≤r ⇒ |f(x0;y0)−f(x;y)| ≤ε 2. On dit quef estcontinue surR²si elle est continue en tout point(x₀;y₀)∈R².

Théorème 1.

Sous réserve d’existence, la somme, le produit, le quotient de fonctions continues surR²est une fonction continue sur R².

Exemple 6.

Les fonctions constantes, les fonctions coordonnées sont continues surR². Plus généralement les fonctions polynômes sont continues surR².

Théorème 2.

Sif est continue surR²à valeurs dans un intervalleI ⊂R, etgest une fonction continue surI, alorsg◦f est continue surR².

Exemple 7.

(x;y)7−→e^xest continue surR², comme composée de la fonction première coordonnée par l’exponentielle.

Remarque.

Les fonctions étudiées ne présenteront normalement pas de problème de régularité.

Exemple 8.

Aussi, voici un exemple graphique d’une fonction présentant une discontinuité visible : f(x, y) = 1/x, si x 6= 0, et n’importe quelle valeur six= 0. Le graphe a bien l’allure attendue :

IV. Dérivées partielles premières

Définition 7.

1. Soity∈Rfixé.

On définit lapremière application partiellef_xsurRparf_x:x7−→f(x, y). 2. Soitx∈Rfixé.

On définit ladeuxième application partiellefysurRparfy :y7−→f(x, y).

Définition 8.

1. Soity∈Rfixé.

Lorsqu’elle existe, on appelledérivée partielle première(ou d’ordre1) def par rapport àxla dérivée defx. On la note∂₁f.

2. Soitx∈Rfixé.

Lorsqu’elle existe, on appelledérivée partielle première(ou d’ordre1) def par rapport àyla dérivée defy. On la note∂₂f.

Remarque.

Les notations de l’ancien programme étaient les suivantes : ∂f

∂x et ∂f

∂y.

Exemple 9.

polynômes, quotients et composées (ln , exp)

Définition 9.

Lorsqu’il existe, on appellegradientdef en(x, y)le vecteur ∇(f)(x, y) = ∂1f(x, y)

∂2f(x, y)

!

∈ M2,1(R).

Remarque.

Définition 10.

On dit quefestde classeC¹surR²si les dérivées partielles d’ordre1existent et sont continues surR².

Théorème 3.

Sous réserve d’existence, la somme, le produit, le quotient de fonctions de classeC¹surR²est une fonction de classeC¹ surR².

Exemple 10.

Les fonctions constantes, les fonctions coordonnées sont de classeC¹surR². Plus généralement les fonctions polynômes sont de classeC¹surR².

Théorème 4.

Sif est de classeC¹surR²à valeurs dans un intervalleI ⊂R, etgest une fonction de classeC¹surI, alorsg◦f est de classeC¹surR².

Théorème 5.

Sif est de classeC¹surR², alorsf est continue surR².

Théorème 6.

Soitf une fonction de classeC¹surR². Soit(x, y)∈R².

∀(h, k)∈R², f(x+h, y+k) =f(x, y) +h∂1f(x, y) +k∂2f(x, y) +√

h²+k²ε(h, k), où lim

h,k→0ε(h, k) = 0.

Définition 11.

L’écriture précédente s’appelle ledéveloppement limité à l’ordre1def en(x, y). On peut également écrire :

f(x+h, y+k) =f(x, y) +^t∇(f)(x, y) h

k

+p

h²+k²ε(h, k)

Théorème 7.

Le développement limité à l’ordre1defen un point est unique.

Exemple 11.

f(1.1,2.1)

V. Dérivées partielles secondes

Définition 12.

Lorsquef admet des dérivées partielles d’ordre1, alors les fonctions∂₁f et∂₂f sont elles aussi des fonctions de deux variables, pouvant donc elles-mêmes admettre des dérivées partielles d’ordre1et2.

Lorsque ces dernières existent, on les appelle alorsdérivées partielles secondes(ou d’ordre2).

On les note :

1. ∂_1,1² (f) =∂1(∂1(f)) 2. ∂_2,1² (f) =∂2(∂1(f))

3. ∂_1,2² (f) =∂1(∂2(f)) 4. ∂_2,2² (f) =∂2(∂2(f))

Remarque.

Les notations de l’ancien programme étaient les suivantes : ∂²f

∂x², ∂²f

∂y∂x, ∂²f

∂x∂y et ∂²f

∂y².

Exemple 12.

polynômes, quotients et composées (ln , exp)

Remarque.

On a souvent∂2,1² f(x, y) =∂1,2² f(x, y), mais ce n’est pas automatique.

Une condition suffisante est donnée par le théorème de Schwarz.

Définition 13.

Lorsqu’elle existe, on appellematrice hessiennedef en(x, y)la matrice :

∇²(f)(x, y) = ∂_1,1² f(x, y) ∂_1,2² f(x, y)

∂2f(x, y) ∂_2,1² f(x, y)

!

∈ M2(R).

Remarque.

∇²se lit "nabla deux".

Définition 14.

On dit quefestde classeC²surR²si les dérivées partielles d’ordre2existent et sont continues surR².

Théorème 8.

Sous réserve d’existence, la somme, le produit, le quotient de fonctions de classeC²surR²est une fonction de classeC² surR².

Exemple 13.

Les fonctions constantes, les fonctions coordonnées sont de classeC²surR². Plus généralement les fonctions polynômes sont de classeC²surR².

Théorème 9.

Sif est de classeC²surR²à valeurs dans un intervalleI ⊂R, etgest une fonction de classeC²surI, alorsg◦f est de classeC²surR².

Théorème 10.

Sif est de classeC²surR², alorsf est de classeC¹surR².

Théorème 11. de Schwarz

Sif est de classeC²surR², alors∀(x, y)∈R², ∂_2,1² f(x, y) =∂²_1,2f(x, y).

Conséquence.

Sif est de classeC²surR², alors la matrice hessienne def en tout point(x, y)est symétrique.

Définition 15.

Ledéveloppement limité à l’ordre2def en(x, y)est donné par : f(x+h, y+k) =f(x, y) +^t∇(f)(x, y).

h k

+1

2(h k).∇²(f)(x, y).

h k

+ (h²+k²)ε(h, k)

Théorème 12.

Le développement limité à l’ordre2defen un point est unique.

Exemple 14.

f(1.1,2.1)

VI. Extrema

Définition 16.

SoitA= (x₀, y₀)∈R²etr >0.

1. On définit laboule ouvertede centreAet de rayonrpar : B(A, r) =

M ∈R²

d(A, M)< r B(A, r) =n

(x, y)∈R²

p(x−x0)²+ (y−y0)²< ro

2. On définit laboule ferméede centreAet de rayonrpar : B_f(A, r) =

M ∈R²

d(A, M)≤r B_f(A, r) =n

(x, y)∈R²

p(x−x₀)²+ (y−y₀)²≤ro

Définition 17.

1. Une partie deR²est diteouverteou est unouvertsi pour tout(x, y)∈U, il existe une boule ouverte de centre(x, y) incluse dansU, et contenant(x, y).

2. Une partie deR²est diteferméeou est unfermési son complémentaire dansR²est un ouvert.

Remarque.

La condition "il existe une boule ouverte incluse dansU, et contenant(x, y)" peut être remplacée par l’une des conditions équivalentes suivantes :

— "il existe une boule ouverte incluse dansU, et contenant(x, y)"

— "il existe une boule fermée de centre(x, y)incluse dansU, et contenant(x, y)"

— "il existe une boule fermée incluse dansU, et contenant(x, y)"

Réfléchissez-y ! Exemple 15.

Définition 18.

Une partieUdeR²est ditebornéesi elle est incluse dans une boule.

Remarque.

Comme pour la définition précédente, diverses situation peuvent convenir : une boule fermée, ouverte, centrée en l’ori- gine ou non.

Exemple 16.

Remarque.

Les définitions de continuité, classeC¹et classeC² surR² vues dans les sections précédentes s’étendent au cas d’une fonction définie sur une partieUdeR², autre queR².

Définition 19.

Soitf une fonction définie sur une partieU deR².

1. On dit quef admet / atteint unmaximum globalen(x0, y0)∈U si ∀(x, y)∈U, f(x, y)≤f(x0, y0). 2. On dit quef admet / atteint unminimum globalen(x0, y0)∈Usi ∀(x, y)∈U, f(x, y)≥f(x0, y0).

Définition 20.

Soitf une fonction définie sur une partieU deR².

1. On dit quef admet / atteint unmaximum localen(x0, y0)∈U s’il existe une boule ouverteBcentrée en(x0, y0) telle que ∀(x, y)∈U∩ B, f(x, y)≤f(x₀, y₀).

2. On dit quef admet / atteint unminimum localen(x₀, y₀)∈U s’il existe une boule ouverteBcentrée en(x₀, y₀) telle que ∀(x, y)∈U∩ B, f(x, y)≥f(x0, y0).

Exemple 17.

f(x, y) =x²+y², etf(x, y) =x²−y²: étude complète avec les dérivées partielles d’ordre 1 et 2.

Théorème 13.

Soitf une fonction continue sur une partie ferméeF deR².

Alors,f est bornée surFet atteint ses bornes, ie elle y atteint un maximum et un minimum.

Définition 21.

Soitf une fonction admettant des dérivées partielles d’ordre 1 surU. On dit que(x0, y0)∈U est unpoint critiquedefsi ∇(f)(x0, y0) = (0,0).

Remarque.

Il s’agit donc d’un point où les dérivées partielles defs’annulent.

Théorème 14. condition nécessaire d’extremum Soitf une fonction de classeC¹sur un ouvertUdeR².

Sif admet un extremum en un point(x0, y0)∈U, alors(x0, y0)est un point critique def.

Remarque.

Les extrema defsont donc à rechercher au niveau des points critiques def.

Attention cependant, car la réciproque est fausse :fn’admet pas nécessairement d’extremum en tous ses points critiques.

Remarque.

Si l’ensembleUn’est pas ouvert,fpeut très bien admettre un extremum sur le bord deU, sans que le point en question ne soit nécessairement un point critique.

Théorème 15. condition suffisante d’extremum

Soitf une fonction de classeC²sur un ouvertUdeR², et(x0, y0)un point critique def.

1. Si les valeurs propres de∇²(f)(x0, y0)sont strictement positives, alorsf admet un minimum local en(x0, y0). 2. Si les valeurs propres de∇²(f)(x0, y0)sont strictement négatives, alorsfadmet un maximum local en(x0, y0). 3. Si les valeurs propres de∇²(f)(x₀, y₀)sont non nulles et de signe opposé, alorsfn’admet pas d’extremum local en

(x0, y0), et ce point est appelépoint coloupoint selle.

Remarque.

Si (au moins) une des valeurs propres defest nulle, alors on ne peut rien dire de la nature du point critique.

Un étude approfondie est nécessaire.

Remarque.

Le théorème permet de repérer un extremum local, mais il ne suffit pas pour dire si celui-ci est également global.

Une étude annexe de la fonctionfest nécessaire.

Exemple 18.

f(x, y) =x²+y²etf(x, y) =x²−y²: étude complète avec les dérivées partielles d’ordre 1 et 2.

Remarque.

Les lignes de niveaux au voisinage d’un extremum sont des courbes fermées (proches de cercles) alors qu’elles res- semblent plus à des branches d’hyperboles au niveau d’un point col.

Exemple 19.

f(x, y) =x²+y²−x³.

Les lignes de niveau semblent annoncer un extremum (minimum en regardant les valeurs) au point(0,0), valant0, et un col au point(2/3,0), valant0.

Le calcul peut le confirmer.