Exo 2 : (05 pts) Soitf une fonction holomorphe surC

Universit´e A/MIRA de B´ejaia 2011/2012 Facult´e de la Technologie

D´epartement ST 2 Maths 5

Examen de remplacement Exo 1 : (05 pts)

En utilisant la param´etrisation ad´equate calculer,H

C(z+i)¯zdz o`uC est la courbe ci-contre.

– Peut-on utiliser le th´eor`eme fondamentale de Cauchy ? Justifier votre r´eponse.

Exo 2 : (05 pts)

Soitf une fonction holomorphe surC. Posons

f(z) =u(x, y) +iv(x, y), o`uz=x+iy, u(x, y) =Ref etv(x, y) =Imf. On donne

v(x, y) =x²−y²−℮^xsiny

1. D´etermineru(x, y).

2. Ecriref en fonction dez.

Exo 3 : (03 pts)

D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Laurent de la fonction f(z) = z+ 1

z²+ 4z−5 dans le domaine 1<|z|<2.

Exo 4 : (07 pts)

Soitf une fonction complexe d’une variable complexe, d´efinie par f(z) = cosz

z⁴−1 1. D´eterminer le domaine d’holomorphie def.

2. Donner les points singuliers def, et pr´eciser la nature de chacun d’entre eux.

3. SoitC le cercle d´efini par|z−(1 +i)|=3

2. Calculer I

C

f(z)dz

Bon travail.