Nom :
Classe : TMATHS2 DS n°3
Géométrie dans l'espace Le : 08/01/2021 Durée : 2h Note : … / 20
Avis du professeur
Capacités évaluées : Non acquis Acquis
Déterminer si une droite est perpendiculaire à un plan.
Déterminer si deux droites de l'espace sont coplanaires.
Déterminer si une équation cartésienne correspond à celle du plan passant par 3 points donnés.
Déterminer si une droite est parallèle à un plan.
Déterminer si deux droites de l'espace sont orthogonales.
Déterminer si un point appartient à une droite.
Déterminer une autre représentation paramétrique de droite.
Déterminer si trois vecteurs sont colinéaires / coplanaires.
Calculer un produit scalaire.
Démontrer que deux vecteurs sont orthogonaux.
Justifier si une base de l'espace est orthonormée ou non.
Donner les coordonnées des sommets d'un cube dans un repère donné.
Déterminer une équation cartésienne de plan / Une représentation paramétrique de droite Justifier les coordonnées du point d'intersection d'une droite et d'un plan.
Déterminer la nature d'un triangle.
Calculer la distance d'un point à un plan.
Calculer une aire / un volume.
Exercice 1 : … / 7
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points : A( ; ; ), B( ; ; ) et C( ; ; )
On note p le plan passant par A, B et C et (∆) la droite ayant pour représentation paramétrique : , avec ∈ R.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vrai ou fausse, en justifiant la réponse.
◦ Affirmation 1 : (∆) est perpendiculaire au plan p.
◦ Affirmation 2 : Les droites (∆) et (AB) sont coplanaires.
◦ Affirmation 3 : Le plan p a pour équation cartésienne = On note (d) la droite passant par l'origine du repère et de vecteur directeur .
◦ Affirmation 4 : (d) est strictement parallèle au plan d'équation = . On note (d') la droite passant par A et de vecteur directeur .
◦ Affirmation 5 : (d') est orthogonale à (d) et perpendiculaire au plan d'équation x+ 3y¡2z+ 5 = . 8<
:
x =t y = 3t¡1 z = 8¡2t
t
x+ 3y¡2z+ 5
~ u
0
@ 11
-1 4
1 A
x+ 3y¡2z+ 5
~v 0
@2 2 -5
1 A
0 -1 1 4 -3 0 -1 -2 -1
0
0
0
Exercice 2 : … / 3 Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule des quatre propositions de réponse est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué 1 point par bonne réponse.
Une mauvaise réponse n'enlèvera aucun point. Une réponse multiple ne rapportera aucun point.
On se place dans l'espace muni du repère orthonormé ( O ; ; ; ).
1. La droite ( ) de représentation paramétrique où ∈ R passe par : a) A( ; ; ) b) B( ; ; ) c) C( ; ; ) d) D( ; ; ) 2. On considère la droite (d') de représentation paramétrique où ∈ R.
Une autre représentation paramétrique de (d') est :
a) où ∈ R b) où ∈ R
c) où ∈ R d) où ∈ R.
3. On considère les vecteurs , et . Alors , et sont :
a) colinéaires b) coplanaires c) non coplanaires d) les réponses précédentes sont fausses
Exercice 3 : … / 10
On considère un cube ABCDEFGH de côté 2 cm.
1. a) Calculer . .
Indication : Décomposer en utilisant la relation de Chasles.
b) Montrer que et sont orthogonaux.
c) Que peut-on en déduire pour la droite (AG) et le plan (BDE) ? Justifier.
2. a) ( ; ; ) est-elle une base orthonormée de l'espace ?
b) On se place dans le repère (D; ; ; ). Donner les coordonnées des sommets du cube.
c) Déterminer une équation cartésienne du plan (BDE) et une représentation paramétrique de (AG).
d) Justifier que K( ; ; ) est le point d'intersection du plan (BDE) avec la droite (AG).
3. a) Déterminer la nature du triangle BDE puis calculer son aire.
b) Déterminer la distance entre le point G et le plan (BDE).
c) En déduire le calcul du volume de la pyramide BDEG.
¡!AG ¡!BE
¡!DA ¡!
DC ¡!
DH
~i ~j ~k
d
8<
:
x= 1 +t y = -1 + 3t z= 2¡t
t
1 3 -1 1 -1 0 0 -4 -3 4 8 -1
8<
:
x= 2¡t y= 3 + 2t z= -1 +t
t
8<
:
x= 2¡2k y= 3 + 4t z= -1 +k
k
8<
:
x = -1¡2k y = 9 + 4k z = 2 + 2k
k 8<
:
x= -2¡k y= -3 + 2k z = 1 +k
k
8<
:
x = 4¡2k y = 6 + 4k z = -2 + 2k
k
~ u
0
@ 1 2 -1
1 A~v
0
@ 2 -1
1 1 A w~
0
@ -1
8 -4
1
A ~u ~v w~
¡!AG ¡!
BD ¡!AG
1 2
¡!DA 1 2
¡!DC 1 2
¡!DH
4 3
2 3
2 3
Correction du DS n°3
Exercice 1 : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les trois points : A( ; ; ), B( ; ; ) et C( ; ; )
On note p le plan passant par A, B et C et (∆) la droite ayant pour représentation paramétrique : , avec ∈ R.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vrai ou fausse, en justifiant la réponse.
◦ Affirmation 1 : (∆) est perpendiculaire au plan p.
Le plan p est dirigé par les vecteurs et , non colinéaires car ≠ .
La droite (∆) est dirigée par
On a : . = 4 – 6 + 2 = 0 Et : . = -1 – 3 + 4 = 0
Donc (∆) est orthogonale aux droites (AB) et (AC) qui sont sécantes dans le plan p.
On en déduit que (∆) est perpendiculaire à p. Ainsi, l'affirmation 1 est VRAIE.
◦ Affirmation 2 : Les droites (∆) et (AB) sont coplanaires.
Les droites (∆) et (AB) sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.
On rappelle : et .
Or ≠ . Donc et ne sont pas colinéaires. On en déduit que (∆) et (AB) ne sont pas parallèles.
Pour déterminer si (∆) et (AB) sont sécantes, on recherche leur point d'intersection éventuel :
(∆) : , avec ∈ R (AB) : , avec ∈ R.
M( ; ; ) ∈ (∆) ∩ (AB) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Ce système n'ayant pas de solution, il n'existe aucun point d'intersection entre (∆) et (AB).
Autrement dit, ces droites ne sont pas sécantes. On en déduit que l'affirmation 2 est FAUSSE.
◦ Affirmation 3 : Le plan p a pour équation cartésienne =
Le plan p est défini par les points A, B et C, non alignés. Notons p' le plan d'équation = . Pour démontrer que les plans p et p' sont confondus, on vérifie que A, B et C appartiennent à p' :
• = = donc A( ; ; ) ∈ p'
• = = donc B( ; ; ) ∈ p'
• = = donc C( ; ; ) ∈ p'
On en déduit que les points A, B et C appartiennent à la fois à p et au plan d'équation = . Ainsi, le plan p a pour équation cartésienne = et l'affirmation 3 est VRAIE.
8<
:
x =t y = 3t¡1 z = 8¡2t
t
x+ 3y¡2z+ 5 0 0 -1 1 4 -3 0 -1 -2 -1
¡!AB 0
@4 -2 -1
1 A ¡!AC
0
@-1 -1 -2
1 A 0
@ 1 3 -2
1 A
~± ¡!AB ~± ¡!AC
~±
-1 4
-1 -2
¡!AB 0
@ 4 -2 -1
1 A ~±
0
@ 1 3 -2
1 A
¡!AB ~±
8<
:
x =t y = 3t¡1 z = 8¡2t
t
8<
:
x= 4t0 y= -1¡2t0 z = 1¡t0
t0
x y z
8<
:
t= 4t0
3t¡1 = -1¡2t0 8¡2t= 1¡t0
8<
:
t= 4t0
12t0¡1 = -1¡2t0 8¡8t0 = 1¡t0
8<
:
t= 4t0 14t0 = 0 7 = 7t0
8<
:
t= 4t0 t0 = 0 t0 = 1 4
1 -2
3
0 + 3£(-1)¡2£1 + 5 0¡3¡2 + 5 0 4 + 3£(-3)¡2£0 + 5 4¡9 + 0 + 5 0 -1 + 3£(-2)¡2£(-1) + 5 -1¡6 + 2 + 5 0
x+ 3y¡2z+ 5 0 x+ 3y¡2z+ 5 0 0 -1 1
4 -3 0 -1 -2 -1 x+ 3y¡2z+ 5 0
Autre méthode :
En remarquant que, puisque (∆) est perpendiculaire à p, alors est un vecteur normal au plan p.
p passe par A( ; ; ) donc M( ; ; ) ∈ p ⇔ . = avec .
On en déduit une équation cartésienne de p : =
= =
On note (d) la droite passant par l'origine du repère et de vecteur directeur .
◦ Affirmation 4 : (d) est strictement parallèle au plan d'équation = 0.
est un vecteur directeur de (d) et est un vecteur normal à p.
. = 11 – 3 – 8 = . Donc (d) est parallèle à p.
Le point O( ; ; ) appartient à (d) mais pas à p car = 5 ≠ 0.
On en déduit que la droite (d) n'est pas incluse dans le plan p et que l'affirmation 4 est VRAIE.
On note (d') la droite passant par A et de vecteur directeur .
◦ Affirmation 5 : (d') est orthogonale à (d) et perpendiculaire au plan d'équation = 0.
est un vecteur directeur de (d') et est un vecteur directeur de (d).
. = 22 – 2 – 20 = . Donc (d) est orthogonale à (d').
est un vecteur normal à p.
≠ donc et ne sont pas colinéaires. On en déduit que (d') et p ne sont pas perpendiculaires.
Ainsi l'affirmation 5 est FAUSSE.
~ u
0
@ 11
-1 4
1 A
x+ 3y¡2z+ 5
~v 0
@2 2 -5
1 A
x+ 3y¡2z+ 5
~ u
0
@11 -1 4
1
A ~n
0
@1 3 -2
1 A
~ u ~n
0 + 3£0¡2£0 + 5 0
0 0 0
~v 0
@ 2 2 -5
1
A ~u
0
@ 11 -1 4
1 A
~ u ~v
~n 0
@1 3 -2
1 A
~v ~n 0
2 1
2 3
~± 0
@1 3 -2
1 A
x y z ¡¡!AM ~± 0 ¡¡!AM 0
@x¡0 y+ 1 z¡1
1 A 0 -1 1
0 1x+ 3(y+ 1)¡2(z¡1)
0 x+ 3y+ 3¡2z+ 2
0 x+ 3y¡2z+ 5
Exercice 2 : On se place dans l'espace, muni d'un repère orthonormé (O; , , ).
1. La droite ( ) de représentation paramétrique où ∈ R passe par : a) A( ; ; ) b) B( ; ; ) c) C( ; ; ) d) D( ; ; )
⇔ ⇔ =
Donc D est le point de (d) de paramètre = . La bonne réponse est d)
2. On considère la droite (d') de représentation paramétrique où ∈ R.
Une autre représentation paramétrique de (d') est :
a) où ∈ R b) où ∈ R
c) où ∈ R d) où ∈ R.
(d') a pour représentation paramétrique où ∈ R.
On en déduit qu'elle passe par A( ; ; ) et qu'elle est dirigée par .
Le vecteur = est un autre vecteur directeur de (d').
De plus, en vérifiant si les coordonnées de A permettent de résoudre le système proposé en b) on a : ⇔ ⇔ =
Ainsi, une autre représentation paramétrique de (d') est où ∈ R. La bonne réponse est b)
3. On considère les vecteurs , et . Alors , et sont :
a) colinéaires b) coplanaires c) non coplanaires d) les réponses précédentes sont fausses Les vecteurs et ne sont pas colinéaires car ≠ .
Ainsi, les vecteurs , et sont coplanaires si et seulement s'il existe un couple de réels ( ; ) ≠ ( ; ) tels que = + . On résout le système suivant :
⇔ ⇔
Or ≠ donc le système n'a pas de solution. On en déduit que , et ne sont pas coplanaires.
La bonne réponse est c)
~i ~j ~k d
8<
:
x= 1 +t y = -1 + 3t z= 2¡t
t
1 3 -1 1 -1 0 0 -4 -3 4 8 -1
8<
:
4 = 1 +t 8 = -1 + 3t -1 = 2¡t
8<
: t= 3 3t= 9 t= 3
t 3 t 3
8<
:
x= 2¡t y= 3 + 2t z= -1 +t
t 8<
:
x= 2¡2k y= 3 + 4t z= -1 +k
k
8<
:
x = -1¡2k y = 9 + 4k z = 2 + 2k
k 8<
:
x= -2¡k y= -3 + 2k z = 1 +k
k
8<
:
x = 4¡2k y = 6 + 4k z = -2 + 2k
k 8<
:
x= 2¡t y= 3 + 2t z= -1 +t
t
2 3 -1 ~u
0
@-1 2 1
1 A
~v 2~u 0
@ -2
4 2
1 A
8<
:
2 = -1¡2k 3 = 9 + 4k -1 = 2 + 2k
8<
:
2k= -3 4k= -6 2k= -3
k -32
8<
:
x= -1¡2k y= 9 + 4k z= 2 + 2k
k
~ u
0
@ 1 2 -1
1 A~v
0
@ 2 -1
1 1 A w~
0
@ -1
8 -4
1
A ~u ~v w~
~ u ~v
~
w ® ¯ 0 0
®~u ¯~v L1
L2
L3
~
u ~v w~ 2
1 -1
2
~ u ~v
~ w 8<
:
-1 = 1®+ 2¯
8 = 2®¡1¯
-4 = -1®+ 1¯
L1 ÃL1+L3
L2 ÃL2+L3
L3
8<
:
-5 = 3¯
4 =®
¯ = -4 +®
8>
<
>:
¯ = -5
®= 43
¯ = -4 + 4 = 0 -5
3 0
Exercice 3 :
On considère un cube ABCDEFGH de côté 2 cm.
1. a) Calculer .
Indication : Décomposer en utilisant la relation de Chasles.
D'après la relation de Chasles, = + .
On en déduit : . = ( + ) . = . + .
Or, dans le carré ABCD, les diagonales (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
On en déduit . =
De plus, l'arête [CG] est perpendiculaire à la face ABCD. On en déduit que la droite (CG) est orthogonale à toute droite du plan (ABC), en particulier (BD).
On en déduit . = Finalement, . = .
b) Montrer que et sont orthogonaux.
De même :
. = ( + + ) . ( + )
. = . + . + . + . + . + .
Les couples de vecteurs et , et , et , et sont orthogonaux.
Donc . = . = . = . = . De plus, = .
Ainsi . = - + = =
Donc et sont orthogonaux.
c) Que peut-on en déduire pour la droite (AG) et le plan (BDE) ? Justifier.
Le vecteur est orthogonal à la fois à et à , qui sont non colinéaires dans le plan (BDE).
On en déduit que la droite (AG) est orthogonale aux droites (BE) et (BD), sécantes dans le plan (BDE).
Ainsi, (AG) est orthogonale au plan (BDE).
2. a) ( ; ; ) est-elle une base orthonormée de l'espace ?
Les vecteurs , et sont deux à deux orthogonaux mais ne sont pas unitaires, puisqu'ils sont de norme 2 et non pas 1. On en déduit que ( ; ; ) n'est pas une base orthonormée de l'espace.
b) On se place dans le repère (D; ; ; ). Donner les coordonnées des sommets du cube.
Dans l'espace, muni du repère orthonormé (D; ; ; ) on a :
D( ; ; ) A( ; ; ) C( ; ; ) H( ; ; ) B( ; ; ) E( ; ; ) F( ; ; ) G( ; ; ) c) Déterminer une équation cartésienne du plan (BDE) et une représentation paramétrique de (AG).
On sait que (AG) est perpendiculaire au plan (BDE) donc est un vecteur normal à ce plan.
(BDE) passe par D( ; ; ) donc M( ; ; ) ∈ (BDE) ⇔ . = avec et . On en déduit une équation cartésienne de (BDE) : = ⇔ =
De plus, la droite (AG), passant par A( ; ; ) et dirigée par , a pour représentation paramétrique : où ∈ R
¡!AG ¡!
BD ¡!AG
1 2
¡!DA 1 2
¡!DC 1 2
¡!DH
¡!AG ¡!AC ¡!CG
¡!AG ¡!
BD ¡!
AC ¡!
CG ¡!
BD ¡!
AC ¡!
BD ¡!
CG ¡!
BD
¡!AC ¡!
BD 0
¡!CG ¡!
BD 0
¡!AG ¡!BD 0
¡!AG ¡!BE
¡!DA ¡!DC ¡!DH
¡!AG ¡!BE ¡!AB ¡!BC ¡!CG ¡!BA ¡!AE
¡!AG ¡!BE ¡!AB ¡!BA ¡!AB ¡!AE ¡!BC ¡!BA ¡!BC ¡!AE ¡!CG ¡!BA ¡!CG ¡!AE
¡!AB ¡!
AE ¡!
BC ¡!
BA ¡!
BC ¡!
AE ¡!
CG ¡!
¡! BA
AB ¡!AE ¡!BC ¡!BA ¡!BC ¡!AE ¡!CG ¡!BA 0
¡!AG ¡!
BE ¡!
AB2 ¡!
CG
¡!CG ¡!AE
2 -22+ 22 0
¡!AG ¡!BE
¡!AG ¡!BE ¡!BD
¡!DA ¡!DC ¡!DH
¡!DA ¡!
DC ¡!
DH
1 2
¡!DA 1 2
¡!DC 1 2
¡!DH
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
¡!AG
0 0 0 x y z 0
0 0
¡¡!DM ¡!AG ¡¡!DM 0
@ x y z
1 A ¡!AG -x+y+z
0 0 ¡!AG
t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
@ -2
2 2
1 A
-2x+ 2y+ 2z 2 8
<
:
x = 2¡2t y = 2t z = 2t
d) Justifier que K( ; ; ) est le point d'intersection du plan (BDE) avec la droite (AG).
On vérifie que K( ; ; ) appartient au plan (BDE) d'équation = : - + + = donc K ∈ (BDE).
On vérifie que K( ; ; ) appartient à la droite (AG) :
⇔ ⇔ ⇔
Le système a une unique solution, donc K est le point de (AG) de paramètre . Ainsi, K est bien le point d'intersection de (AG) avec le plan (BDE).
3. a) Déterminer la nature du triangle BDE puis calculer son aire.
On en déduit : DB = DE = BE = = = Le triangle BDE est donc équilatéral.
Pour calculer son aire on utilise la formule a = en prenant = BD =
Le triangle BDE étant équilatéral, la hauteur issue de E passe par le milieu O de [BD].
O( ; ; )
O( ; ; )
On en déduit = EO = || || avec . = =
Finalement, a = = = = cm
b) Déterminer la distance entre le point G et le plan (BDE).
(AG) est perpendiculaire à (BDE) et K est le point d'intersection de (AG) avec (BDE).
On en déduit que K est le projeté orthogonal de G sur (BDE).
La distance de G à (BDE) est donc égale à :
GK = || || avec . GK = = =
c) En déduire le calcul du volume de la pyramide BDEG.
Pour calculer le volume de la pyramide BDEG on utilise la formule v =
où = a est l'aire de la base (BDE) et = GK est la hauteur de la pyramide. v = = cm 4
3 2 3
2 3 4
3 2 3
2
3 -x+y+z 0
4 3
2 3
2 3 0
4 3
2 3
2 8 3
>>
>>
>>
>>
<
>>
>>
>>
>>
: 4
3 = 2¡2t 2
3 = 2t 2 3 = 2t
8>
>>
>>
>>
><
>>
>>
>>
>>
:
2t= 2¡ 4 3 t= 1
3 t= 1 3
8>
>>
>>
>>
><
>>
>>
>>
>>
:
2t= 2 3 t= 1
3 t= 1 3
8>
>>
>>
>>
><
>>
>>
>>
>>
:
t= 1 3 t= 1 3 t= 1
3 1
3
0
@2 2 0
1
¡! A
DB ¡!DE 0
@2 0 2
1 A ¡!BE
0
@0 -2
2 1 A
p22 + 22 p
8 2p 2
xB+xD
2
yB+yD
2
zB+zD
2 1 1 0
b£h
2 b
h ¡!EO ¡!EO
0
@-1 1 -2
1
Ah p
(-1)2+ 12+ (-2)2 p 6 b£h
2
2p 2
2p 2£p
6
2 2p
p 3
12 2
¡¡!GK ¡¡!GK 0 BB BB BB BB
@ 4 3 -4
3 -4
3 1 CC CC CC CC A
r (4
3)2+ (-4
3)2+ (-4 3)2
r48 9
4p 3 3
B£H 3
B H 1
3 £2p
3£ 4p 3 3
8 3
3
