Devoir de Synthèse n°1 Hichem Khazri 3
eMaths
DEVOIR DE SYNTHESE 1
Exercice n°1(7pts)
Soit la fonction f définie par :
2 ² 1
( ) si 1
2
( ) ² 3 si 1
x x
f x x
x
f x x x
+ +
= < −
+
= + ≥ −
et Cf sa courbe représentative 1) Déterminer le domaine de définition de f
2) Calculer
( 2 )lim f−
− et
( 2 )lim f+
− . Interpréter graphiquement 3) Etudier la continuité de f en -1
4) a) Calculer lim f
−∞
b) Montrer que ∀ ∈ −∞ −x
]
, 1[
: ( ) 2 3 7f x x 2
= − + x +
c) Montrer que la droite ∆:y =2x−3est une asymptote oblique à Cf au voi de −∞
d) Etudier la position relative de Cf et ∆ 5) a) Calculer lim f
+∞
b) Montrer que x∀ ∈IR : 2 3 3
² 3
x x
x x
+ − =
+ +
c) En déduire que la droite ∆' : y =x est une asymptote oblique à Cf au voi de +∞
Exercice n°2(4pts)
Soit la fonction f définie sur IR\{2} par :
3 8
si 2
( ) 2
1 1 23
+ si 2
2 2
x x
f x x
x x
x
− <
−
=
− −
>
−
1) Calculer
2
lim ( )
x
− f x
→ et
2
lim ( )
x
+ f x
→
2) f admet elle une limite en 2
3) f est elle prolongeable par continuité en 2 si oui donner se prolongement
Exercice n°3(6pts)
Le plan est orienté dans le sens direct
1) Déterminer la mesure principale de
(
u, v)
47[ ]
2≡ − 6 π
r r .
2) Soit ABC un triangle rectangle en A de sens direct tel que
(
BC, BAuur uuur)
≡ 6π[ ]
2π .On construit à l’extérieure de ABC deux triangles équilatéraux de sens direct CBF et ACG a) Calculer la mesure principale de l’angle
(
CA, CBuuur uur)
b) En déduire que les points G, C et F sont alignés
3) Soit P le point du segment
[ ]
CF tel que CA=CP.Déterminer la mesure principal de(
AP, ACuur uur)
Exercice n°4(3pts)
1) Déterminer les entiers naturels n tels que (2n+4) divise 15
2) Déterminer les couples des entiers naturels
( )
a, b tels que a b 40a b 8
+ =
∧ =
Bon Travail
