Correction du DS 1
èreSTI. A : chapitre 1 – polynômes - le 23/10/2007 Exercice 1 :
a. 2 x² + 3 – x = 2 x² - x + 3 = 0
∆ = (-1)² - 4 x 2 x 3 = 1 – 24 = - 23 < 0 donc l’équation n’admet aucune racine.
b. 2 ( x – 3 )² est un polynôme du second degré, de terme constant : positif et s’annule en 3 donc S = IR – {3}
c. 9x² -12x + 4 = 0 : ∆ = 12² - 4 x 9 x 4 = 144 –144 = 0 . Donc l’équation admet une unique solution : - b 2a = 12
18 = 2 3 d. x ² – 10 x + 21 <0
∆ = 10² - 4 x1 x 21 = 100 – 84 = 16 . ∆ = 4. x1 = 10 – 4
2 = 3 et x2 = 10 + 4 2 = 7 a = 1 > 0 donc on connaît le tableau de signe :
x −∞ x1 x2
+∞
x ² – 10 x + 21 + 0 - 0 +
S = ] 3 ; 7 [
Exercice 2 : - 3 x² + x – 1
12 : ∆ = 1² - 4 x (-3) x ( - 1
12 ) =1 – 1 = 0 ; il y a une seule racine : - b
2a = - 1 2 x 3 = - 1
6 donc - 3 x² + x – 1
12 = -3 ( x + 1 6 )² Exercice 3 :
3 x² - 4 x + 16 : ∆ = 4² - 4 x 3 x 16 = 16 –192 = - 176 < 0
donc 3 x² - 4 x + 16 est de signe constant : celui de a = 3 positif. – b 2a = 4
6 = 2 3
x −∞ 2
3 +∞
3 x² - 4 x + 16 + 0 +
Exercice 4 :
1. on peut factoriser f par (x - 4) 2.
∆ est positif3. f(x) = x2 + 5x + 10,75 4.
Exercice 5 : 1 + x +1
x ² - 1 ≥ 0 Soit x ² - 1
x ² - 1 + x +1 x ² - 1 ≤ 0 x ² - 1 + x + 1
x ² - 1 ≤ 0 x ² + x
x ² -1 ≤ 0 x ( x + 1)
x² -1
x −∞ -1 0 1 +∞
x - - 0 + +
x + 1 - 0 + + +
x2
- 1 + 0 – – 0 +
P(x) +
+ 0 – +
S = ] – ∞ ; -1 [ ∪ ] –1 0 ] ∪ ] 1 ; + ∞ [
x −∞ − 2
+-3
+ ∞
Correction du DS 1
èreSTI. B : chapitre 1 – polynômes - le 23/10/2007 Exercice 1 : Résous les équations suivantes ( écrire les calculs intermédiaires ) :
a.
– 4x +5x2 + 1 = 5x2 – 4x + 1 = 0 : ∆ = (-4)² - 4 x5x 1 = 16 - 20 = -4 ;( ∆<0) donc l’équation n’a pas de solution.b.
Le polynôme -3 ( x – 3 ) ² est de signe constant : négatif donc l’inéquation -3 ( x – 3 ) ² ≥ 0 admet une unique solution 3.c.
4 x ²- 12 x + 9 = 0 : ∆ = (-12) ² - 4 x 4 x 9 = 144 – 144 = 0 donc l’équation admet une unique solution : - b 2a = 128 = 4 3
d.
4x2 + 5x + 1 > 0∆
∆∆
∆ = 5² - 4 x4x1 = 9 = 3² >0 donc le polynôme ax² + bx+c = 4x2 + 5x + 1 a deux racines : x1 = -5-3
2x4 = -1 et x2 = -5+3 2x4 = - 1
4 et il est du signe de a : 4 soit positif, à l’extérieur des racines. Donc S = ] - ∞ ; -1 [ ∪ ]-1
4 ; + ∞ [
Exercice 2 : - 3 x
2+ 4 x - 1
∆ = 4² - 4 x(-3)x(-1) = 16-12 = 4 ; ∆ =2
∆ >0 donc le polynôme ax² + bx+c = -3x2 + 4x - 1 a deux racines : x1 = -4-2
2x(-3) = 1 et x2 = -4+2 2x(-3) = 1
3 Sa forme factorisée est –3 ( x – 1) ( x - 1
3 )
Exercice 3 : x ² – 10 x + 21
∆ = 10² - 4 x1 x 21 = 100 – 84 = 16 . ∆ = 4. x1 = 10 – 4
2 = 3 et x2 = 10 + 4 2 = 7 a = 1 > 0 donc on connaît le tableau de signe :
x −∞ x1 x2
+∞
x ² – 10 x + 21 + 0 - 0 +
Exercice 4 : QCM
1. On sait que f(3) = 0,f est un polynôme de degré 3, on peut en déduire que f possède au moins une racine.
2. On sait que pour tout réel x : f(x) = (-5) (x - 2,5)2 f est donc un trinôme de la forme a x2 + b x + c On peut dire que son discriminant ∆ est nul.
3. – b
2a = -3 et a >0 donc f(x) = 3x2 + 18 x + k
4. – b 2a = - 8
4 = -2 et a < 0 donc le tableau de variation est :
Exercice 5 : 1 + x +1 x ² - 1 ≤ 0 Soit x ² - 1
x ² - 1 + x +1 x ² - 1 ≤ 0 x ² - 1 + x + 1
x ² - 1 ≤ 0 x ² + x
x ² -1 ≤ 0 x ( x + 1)
x² -1
x −∞ -1 0 1 +∞
x - - 0 + +
x + 1 - 0 + + +
x2 - 1 + 0 – – 0 +
P(x) +
+ 0 – +
