Espaces Vectoriels.

(1)

Espaces Vectoriels.

1 - Définitions :

Corps commutatif.

Espace vectoriel sur le corps K.

Exemples.

Sous espaces vectoriels.

2 - Bases :

Base canonique.

Familles de vecteurs.

Matrice d’une famille de vecteurs.

Bases.

3 - Application linéaires :

Définition.

Matrice d’une application linéaire.

(2)

1 a - Corps commutatif (

champ de scalaires )

.

K est un corps commutatif ssi les opérations addition (x,y) x+y

multiplication (x,y) x . y vérifient

(x + y) + z = x + (y + z) associativité x + y = y + x commutativité x + 0 = x = 0 + x 0 élément neutre x + (-x) = 0 = (-x) + x -x est l’opposé de x (x . y) . z = x . (y . z ) associativité

x . y = y . x commutativité x . 1 = x = 1 . x 1 élément neutre x . 1/x = 1 = 1/x . x 1/x est l’inverse de x x . (y + z) = x . y + x . z distributivité

→→













(3)

Exemple

Q : ensemble des nombres rationnels.

R : ensemble des nombres réels.

C : ensemble des nombres complexes.

(4)

Espaces vectoriels 4

1 b - Espace vectoriel sur un corps K.

E est un K-espace vectoriel ssi les opérations

addition (interne)

multiplication (externe)

vérifient

v

u v u

( , ) + u

(a , ) a u

opposé

associativité distributivité distributivité élément neutre élément neutre commutativité associativité v +

+ ( w

u ) = ( u + v ) + w

v +

u = v + u

0 +

u = u = 0 + u

u 0 = ( -u ) + u + (-

u ) =

u a ( b ) = ( a b )u

u

( a + b ) = a + b u u u

a ( + ) = a + a u v v 1 = u u



 



 



 



 

(5)

Exemple 1 :

V :

vecteurs du plan ou de l’espace.

P

u

v

u v+

u

a u

Exemple

(6)

Exemple 2 : F

F (X,Y) :

applications de X dans Y

( f + g ) (x) = f(x) + g(x) (a f ) (x) = a f(x)

Exemple

(7)

n

Exemple 3 :

K :

n-uple ou n-liste d’éléments de K

n

n n

n

n 1

1 1

1

( a , ... , a ) + ( b , ... , b ) = ( a + b , ... , a + b ) k ( a , ... , a ) = ( k a , ... , k a )

1 1

n

Exemple fondamental en raison de l’analogie de certains e.v. et de

Ces e.v. sont dits isomorphes.

K

ⁿ

Exemple

(8)

n

Exemple 4 :

K [x]:

polynômes à coéfficients dans K de dégré inférieur ou égal à n

a0

a i i x

p(x) = + ... + + ... + a ⁿ

n x

0

b i i x b

q(x) = + ... + + ... + b ⁿ

n x

i

i n n

i 0

(p+q)(x) = a + b + ... + (a + b )x + ... + (a + b ) x n 0

(k p)(x) = k a + ... + k a x + ... + k a x

0 i

i

n n





K [x]

_n est isomorphe à

K

ⁿ⁺¹

Exemple

(9)

Exemple 5 : M

M (n,p) :

matrices à coefficients dans K ayant n lignes et p colonnesK

M M

... a

_ij

+ b

_ij

...





 





 

+

M M

... a

_ij

...





 





 

M M

... b

_ij

...





 





 

⁼

k a

_ij

M M

... ...





 





 

M M

... k a

_ij

...





 





 

=

i = 1..n indice ligne j = 1..p indice colonne

M

M (n,p)

est isomorphe à

K

np

Exemple

(10)

1 c - Sous espace vectoriel.

F

F sous e.v. de EE ssi * F F est non vide

* FF est stable par combinaisons linéaires

∀ ( , r r ∈ et ( , ∀ ∈ alors r + r ∈ u v ) F

²

λ µ ) K

²

λ u µ v F

R

³

Exemples :

1 - Les fonctions paires et impaires dans F(X,Y).

2 - Dans les 3-uples vérifiant

3 - Dans les matrices de trace nulle.

4 - L’intersection de deux sous e.v. est un sous e.v.

5 - La réunion de deux sous e.v. n’est pas un sous e.v.

6 - A A non vide inclus dans EE, VectVect(A)(A) est un sous e.v.

α x + β y + γ z = 0.

M

_R

( , ) 3 3

à faire

(11)

>

restart : with(linalg) :

>

A := matrix( [ [a, b,c],[d,e,f],[g,h,-a-e] ] ) ;

A

a b c

d e f

g h a e

= − −













>

B := matrix( [ [l, m,n],[o,p,q],[r,s,-l-p] ] ) ;

B

l m n

o p q

r s l p

= − −













MAPLE

(12)

>

evalm( lambda * A + mu * B ) ;

λ µ λ µ λ µ

λ µ λ µ λ µ λ µ

a l b m c n

d o e p f q

g r h s a l e p

+ + +

+ + − − − −













>

trace( ‘‘ ) : simplify( ‘‘ ) ;

0

MAPLE

(13)

1 d - Sous espaces vectoriels supplémentaires.

i

Dans ces conditions nous notons F

F et GG sous e.v. de EE sont supplémentaires ssi

∀ ∈r alors ∃ r ∈ et ∃ r ∈ tel que r = +r r

u E ! v F ! w G u v w

De manière générale (F F ) , k sous e.v. de EE sont supplémentaires de EE ssi ^{i =1..k}

E

E == F F ⊕GG

E

E = = F F

₁

⊕ ⊕ ⊕ F F

₂

L F F

_k

Remarque : Il est évident que F

F GG ^{F G}^F ^I^{G =}^{= 00}

{ }

^v est une conditionEE

(14)

F et G sont-ils deux sous e.v. supplémentaires de E ? (Discuter en fonction du paramètre m)

Soit l’e.v. E = R et les sous espaces3

F F G G

:

2 0

0 0 x y z x y

x mz

− + =

− =

+ =

 

Exercice

(15)

Par la définition

∀ = ∈

∃ = ∈ ∃ = ∈

= +

alors et tel que

r

r r

r r r

u x y z

v a b c w

u v w

( , , )

! ( , , ) ! ( , , )

E

F α β γ G

Ce qui exprime que le système

2 0

0 0 a - b + c

-

m

a x

b y

c z

= =

+ =





 



 

α β

α γ

α β

γ

admet une et une seule solution.

Exercice

(16)

> restart : with(linalg) :

> Syst := matrix( [ [2,-1,1,0,0,0,0]

[0,0,0,1,-1,0,0], [0,0,0,1,0,m,0], [1,0,0,1,0,0,x], [0,1,0,0,1,0,y], [0,0,1,0,0,1,z]] ) ;

Syst m

x y z : =

− −





 

 





 

 

2 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

MAPLE

(17)

> swaprow(‘‘,1,4) : pivot(‘‘,1,1) : etc ...

Syst

m x

m y

m x y

m m

m x y z

: =

− −

− +

− + − +





 







 

 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 2

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 2

> # F F et G G sont supplémentaires de E E ssi m est différent de 1.

MAPLE

(18)

> with(plots) :

> implicitplot3d( {2*x-y+z=0, x=y, x=-z }, x=0..3, y=0..5, z=-5..5);

Intersection des trois surfaces MAPLE

(19)

2 a - Base canonique d’un e.v.

( )

e e e

1

i

n

r L

L L r L

L

=











1 0 0 0 0

0 1 0

0 0 0 0 1 , , , , ,

, , , , , , , , ,

ième élément

( )

E E

E.

=

R n l' espace vectoriel des n - uples.

L' écriture est exprimée

dans la base canonique de

r L

u x x ,_{1 ,} ₂ , x_n

En effet les vecteurs

forment la base canonique par existence et unité de l’écriture

r r

u x e_i _i

i

= n

∑

= 1

. ( )

Nous notons B₀ = r ₌ la base canonique.

e_i _i _{1 ..}_n

(20)

2 b - Familles de vecteurs d’un e.v.

(

^r¹^,^r^u ^u

)

^{rs de} ^v^r

= r

2,K,

F u _p p vecteu E,E, un vecteur donné.

Problème posé :

Déterminer dans K tels que (Equ)

j=1 p

x x x

x u x u x u v

p

j j p p

1 2

1 1

, , K

r r

L r r

∑ = + + =

Réponses :

* Si pour la seule solution est alors la famille est libre, sinon liée.

* Si il existe des solutions

alors la famille est génératrice, sinon non génératrice

* Si il existe une et une seule solution alors la famille est une nouvelle base.

r r

L r

r

v x x

v v

= = p =

∀

0 ₁ 0

(21)

2 c - Matrice associée à une famille de vecteurs.

(Equ)

j=1 p

x u

_j

r

_j

x u r x u

_p _p

v

L r r

∑ =

₁ ₁

+ + =

r r r r

L L

M M M M

L L

M M M M

L L

u u u v

Mat

a a a b

j p

F B

j p

i ij ip i

n nj np n

1

11 1 1 1

1

1 , 0

=





 

 





 

 

e r

₁

e r

_j

er_n La famille F

La base canonique B

(22)

4

Déterminer le sous e.v. VectVect(F), donner le nombre maximum de vecteurs de F linéairement indépendants.

Discuter selon les valeurs du paramètre m.

Etudier dans l’ e.v. E = R la famille F

F

u = u

u

u m

u :

r r r r r

1 2 3 4 5

1 1 3 1 1 2 4 1 1 3 4 2 1 1 3

2 3 4 5 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , )

= =





 



 

Exercice

(23)

Nous devons résoudre le système de 4 équations à 5 inconnues a, b, c, d et e, suivant :

a u r b u r c u r d u r e u r v r

1

+

2

+

3

+

4

+

5

=

où désigne un vecteur quelconque de

r v = ( , , , ) x y z t R

⁴

.

( ) S

a + b c d e x

a b c d e y

a b c d e z

a b c md e t

+ + + =

+ + + + =



 



2 2 3 3

3 4 4 3 4

2 5

que nous réduisons à l’aide de la technique du pivot de Gauss.

Exercice

(24)

> M := matrix( [ [1,1,1,1,2,x], [1,2,3,1,3,y], [3,4,4,3,4,z], [1,1,2,m,5,t] ) ;

M

x y z

m t

: =





 





 

1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 3 4 4 3 4

1 1 2 5

MAPLE

(25)

> # Faire les opérations successives.

> pivot(‘‘,1,1) ; pivot(‘‘,2,2) ; mulrow(‘‘,3,-1) ; R := pivot(‘‘,3,3) ;

R

x z

x y z

m x y z t

: =

− − − + −

− − − + + + −





 







 



1 0 0 1 4 4

0 1 0 0 5 5 2

0 0 1 0 3 2

0 0 0 1 0 3

> # Deux cas et .

m = 1 ^m ≠ 1

MAPLE

(26)

R

m y mz t

m

x y z

x y z x y z t

m :

( )x

=

− + − −

− − − + −

− − + + + −

−





 







 



1 0 0 0 4 4 1

1 0 1 0 0 5 5 2

0 0 1 0 3 2

0 0 0 1 0 3

1

> # Premier cas .

m ≠ 1

> mulrow(R, 4, 1/(m-1)) ; pivot(‘‘, 4, 4) ;

Les quatre vecteurs forment une famille libre et génératrice, c’est donc une nouvelle base de E.

est une relation de dépendance dans F.

Nous dirons que F est de rang 4.

B = ( u u u u r r r r , , , )

1 2 3 4

r r r r

u

₅

= 4 u

₁

− 5 u

₂

+ 3 u

₃

MAPLE

(27)

> # Deuxième cas .

m = 1

R

x z

x y z

x y z x y z t : =

− − − + −

− − + + + −





 







 



1 0 0 1 4 4

0 1 0 0 5 5 2

0 0 1 0 3 2

0 0 0 0 0 3

r r r r

r r

u u u u

u u

5 1 2 3

4 1

4 5 3

= − +

 =



sont des relations de dépendance dans F.

− 3 x − + + = y z t 0

est une équation du sous e.v. Vect(F).

L = ( u u u r r r , , )

1 2 3

Les trois vecteurs forment une famille libre.

MAPLE

(28)

2 d - Bases d’un e.v.

E

E un K-e.v. rapporté à une base canonique ayant n éléments.

Th 1 : Toute base B’ de EE comporte n éléments.

dim EE = n

Th 2 : Une famille F de E E est une base ssi

* F est une famille libre et génératrice.

Th 3 : Une famille F de E E ayant n éléments est une base ssi * F est une famille libre ou génératrice.

Th 4 : Toute famille F non vide de EE de rang r, engendre un sous e.v. Vect(F) de EE de dimension 1 ≤ r ≤ n.

(29)

3 a - Application linéaire φ de E E dans F F .

v = Φ ( ) u

φ : E E F F

u Déf : Φ est K - linéaire ssi

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∀ ∈ ∀ ∈

+ = +

λ µ

λ µ λΦ µΦ

, K u v ,

u v u v

2 2

et

alors

r r

r r r E r

Φ

Φ est un endomorphisme si E = FE = F Exemple :

f f dx .

(30)

3 b - Expressions de φ.

base deE E

( )

B_E = e er r L er_p

1, 2, ,

( )

B

_F

= f r r f f

_n

L r

1

,

2

, ,

Φ est totalement déterminée par la donnée son expression

base de F.F.

( )

Φ r r

e

_j

a f

_ij _i

i n

i p

= ∑

⁼

=

pour 1

1

..

vectorielle :

( )

Mat B B

a a

a

a a

E F

p ij

n np

Φ , , = 



 





 

11 1

1

M

L K

M

matricielle :

y a x a x

p p

n n np p

1 11 1 1

1 1

= + +



 



L

M M M M

L

analytique :

(31)

3 c - Application linéaire φ de E E dans F F .

base de FF

f r

₁

( ) ( ) ( )

( )

Φ Φ Φ

Φ

r r r

L L

M M M M

L L

M M M M

L L

e e e

Mat B B

a a a y

j p

E F

j p

i ij ip i

n nj np n

1

11 1 1 1

1

, , =





 

 





 

 

f r

_i

f r

_n

Image par Φ de la base de EE

Cette colonne est très utile mais non nécessaire

(32)

3 d - Image et Noyau de φ.

Déf :

( )

Im = Φ Vect Φ r r , , , L r e e

₁ ₂

e

_p

{ ( ) }

KerΦ = ur ∈ ^Φ u_r v E

E ^{tel que} ⁼ 0

Im Φ est un sous e.v. de FF de dimension au plus n.

Ker Φ est un sous e.v. de EE de dimension au plus p.

Loi du rang :

Dim Im Φ +Dim Ker Φ = Dim E. E.

(33)

Exercice

4

Donner les expressions vectorielles et analytiques.

Déterminer Im Φ et Ker Φ . Vérifier la loi du rang.

Φ l’application linéaire de E = R dans F = R , définie par sa matrice :

3

M = − −

− −

− − −



  

 

3 2 1 3

2 1 1 2

1 1 2 1

(34)

> M := matrix( [ [-3,-2,1,3,x], [2,1,-1,-2,y], [1,-1,-2,-1,z]) ;

M

x y z : = − −

− −

− − −



 





 



3 2 1 3

2 1 1 2

1 1 2 1

MAPLE

(35)

> swaprow(‘‘, 1, 3 ) : pivot(‘‘, 1, 1) :

> mulrow(‘‘, 2, 1/ 3 ) : pivot(‘‘, 2, 2) ;

Matrice de Ker Φ

M

y z y z

x y z

: =

− − +

−

+ −





 





 

1 0 1 1

3 0 1 1 0 2

3 0 0 0 0 3 5

3

Equation de Im Φ

MAPLE

(36)

3 - Conclusion de l’exercice

1° Les équations de Ker Φ sont

a c d

b c

c

d

− − =

+ =

= =



 

 

0 α 0 β

Deux paramètres, donc Dim Ker Φ = Dim E E - 2 = 2.

2° Une équation de Im Φ est

3 x + 5 y − = z 0

Une relation, donc Dim Im Φ = Dim F F - 1 = 2.

Dim Ker Φ + Dim Im Φ = Dim E

Exercice