M ath ematiques ´ - ECS1
11
S uites r eelles ´
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2014, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
riques.
11.1 Objectifs
Valeur absolue. Inégalité triangulaire.
Majorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure d’une par- tie non vide deR.
Quand il existe, le maximum de A coincide avec la borne supérieure deA.
Théorème de la borne supérieure. Résultat admis.
Partie entière d’un réel. Notation bxc. La notation E(.) est réservée à l’espérance mathématique.
Suites arithmético-géométriques. On se ramenera au cas d’une suite géomé- trique.
Limite d’une suite, suites convergentes. On dit que (un) converge vers`si tout inter- valle ouvert contenant` contient les un pour tous les indices n, sauf pour un nombre fini d’entre eux.
On donnera une définition quantifiée de la li- mite` (traduction enε,n0) sans en faire une utilisation systématique.
Généralisation aux suites tendant vers±∞. Unicité de la limite.
Opérations algébriques sur les suites conver- gentes.
Compatibilité du passage à la limite avec la re- lation d’ordre.
Existence d’une limite par encadrement.
Suites monotones, croissantes, décroissantes, suites adjacentes.
Théorème de limite monotone. Toute suite croissante majorée (respectivement décroissante minorée) converge, la limite étant la borne supérieure (respectivement inférieure) de l’ensemble des valeurs de la suite.
Une suite croissante non majorée (respective- ment décroissante non minorée) tend vers+∞ (respectivement−∞).
Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.
11.2 Corps des nombres réels
11.2.1 Majorant, minorant, maximum, minimum. Borne supérieure, borne inférieure
2
11.2 Corps des nombres réels 3
Définition 1. SoitAune partie non vide deRet deux réelsmetM.
(1) On dit queMest un majorant deAsi : pour touta∈A, a≤M.
(2) On dit quemest un minorant deAsi : pour touta∈A, m≤a.
(3) On dit queAest une partie majorée si l’ensemble de ses majorants est non vide.
(4) On dit queAest une partie minorée si l’ensemble de ses minorants est non vide.
(5) On dit queAest une partie bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
(6) On dit queb ∈ Rest un maximum deAsib ∈ Aet sibest un majorant deA. Ce maximum, quand il existe, est unique.
(7) On dit quea ∈Rest un minimum deAsia ∈ Aet siaest un minorant deA. Ce minimum, quand il existe, est unique.
Notations : quand ils existent, le maximum et le minimum de A sont notés max(A) et min(A). LorsqueA={a1, . . . ,an}, on les note aussi max
1≤i≤n(ai) et min
1≤i≤n(ai)
Exemple 1. Toute partie non vide et finie deRadmet un minimum et un maximum.
Exemple 2. L’ensembleZn’est ni majoré ni minoré, et l’ensembleNest non majoré mais minoré par 0 qui est son minimum.
Exemple 3. Soienta<bdeux nombres réels.
Les intervalles [a,b], [a,b[, ]a,b], ]a,b[ sont tous majorés (par exemple parb) et minorés (par exemple, para) donc ils sont bornés. L’intervalle [a,b] a un minimum (qui est a) et un maximum (qui estb).
En revanche, les intervalles [a,b[,]a,b[ ne possèdent pas de maximum.
Exemple 4. L’ensemble A = n
1+1n|n∈N∗
oest non vide, majoré par 2 et minoré par 1.
Comme 2=1+11,Aadmet 2 pour maximum. En revanche, bien qu’on on puisse trouver dansAdes nombres aussi proche de 1 que l’on veut, le nombre 1 n’est pas élément deA donc 1 n’est pas un minimum deA.
Exemple 5. L’ensembleA=n 2x
1+x2|x∈R
oest non vide, majoré par 1 et minoré par−1. En effet, pour tout réelx, (1−x)2 = 1−2x+x2 ≥0 donc 2x≤1+x2donc 12x+x2 ≤1 et le calcul avec (1+x)2 montre que 1+2xx2 ≥ −1. Comme 1= 1+212,Aadmet 1 pour maximum.
De même,−1= 12×(−1)+(−1)2 donc−1 est le minimum deA.
11.2.2 Valeur absolue.
Définition 2. Soitx∈R. On appelle valeur absolue dexet on note|x|le maximum de xou de−x:
|x|=max{−x,x}
Proposition 1. Soient x et y deux nombres réels.
(1) |x| ≥0et|x|=0ssi x=0.
(2) | −x|=|x|
(3) |xy|=|x||y|
(4) |x+y| ≤ |x|+|y|(première inégalité triangulaire) (5) ||x| − |y|| ≤ |x−y|(deuxième inégalité triangulaire)
Corollaire 1. Soit n∈N∗et x1. . . ,xndes nombres réels.
(2)
n
Y
i=1
xi
=
n
Y
i=1
|xi|
(3)
n
X
i=1
xi
≤
n
X
i=1
|xi|
Inégalité de Cauchy Schwarz.
Inégalité de Cauchy-Schwarz .Soientm∈N∗eta1,a2, . . . ,am,b1, . . . ,bmdes nombres réels. On a l’inégalité suivante :
m
X
i=1
aibi
≤
m
X
i=1
a2i
1 2
m
X
i=1
b2i
1 2
Exemple 6. Soientm∈N∗etx1,x2, . . . ,xmdes nombres réels. On a l’inégalité suivante :
1 m
m
X
i=1
xi
2
≤
1 m
m
X
i=1
x2i
11.2.3 Borne supérieure, borne inférieure
Théorème et définition 1(admis). Soit E une partie non vide et majorée deR. Alors E admet un majorant qui est plus petit que tous les autres appelé borne supérieure de E et notésupE.
Remarque1.Ecrireβ=supEsignifie deux choses : la première est queβest un majorant deEet la deuxième est queβest le plus petit des majorants, c’est à dire que siM est un autre majorant deE, alorsβ≤M.
Théorème et définition 2. Soit E une partie non vide et minorée deR. Alors E admet un minorant qui est plus grand que tous les autres appelé borne inférieure de E et noté infE.
Remarque2.Ecrireβ=infEsignifie deux choses : la première est queβest un minorant deEet la deuxième est queβest le plus grand des minorants, c’est à dire que simest un autre minorant deE, alorsm≤β.
Exemple 7. SoitE= (
(−1)n+1 n n∈N∗
) . Alors supE=maxE=3
2, infE=−1
11.3 Suites réelles. 5
Exercice1. Déterminer la borne supérieure et borne inférieure deA={√ n− b√
nc, n∈ N∗},la borne inférieure deA=n
x+1x, x∈]0,+∞[o
et les bornes supérieure et inférieure deA=
(n−1
n+1cos 2nπ 3
!
, n∈N∗ )
.
11.3 Suites réelles.
11.3.1 Définitions
Définition 3. (1) On appelle suite réelle ou numérique toute application deNdansR. On note (un)n∈Nou plus simplement (un) l’applicationu:N−→R,n7→u(n)=un. (2) Si n0 ∈ N, on appelle suite réelle définie à partir du rangn0 toute application de
~n0,+∞dansR. On note (un)n≥n0l’applicationu:~n0,+∞−→R, n7→u(n)= un.
Exemple 8. (1) La formuleun= 1
n+1 définit une suite réelle.
(2) La formuleun= 1
n−1 définit une suite réelle définie à partir du rang 2.
(3) Soit f :D−→Rune application telle quef(D)⊂D.
Pouru0 ∈ D,on peut définir une suite réelle par récurrence en demandant que pour toutn∈N,un+1= f(un).
Pourn =1,u1 = f(u0) est bien défini caru0 ∈D. Commeu1 = f(u0)∈ f(D) et que f(D)⊂D, on a bienu1∈Ddoncu2 =f(u1) est bien défini aussi. De plus,u2∈D.
Notons pourn∈N, Pnla propriété «unest bien défini etun∈D».
Les propri’etésP0,P1etP2sont vérifiées.
Soit maintenantn∈NquePnest vraie.
Commeun est bien défini et appartient à D, le réel un+1 = f(un) est bien défini et puisque f(D)⊂D, on aun+1∈D.
DoncPn+1est vraie dès quePnest vraie.
Le principe de récurrence montre alors quePnest vraie pour toutn∈N. (Une telle suite (un) s’appelle suite récurrente simple.)
(4) En posantu0 = u1 = 1, on définit aussi par récurrence une suite en posant pour tout n∈N,un+2 =un+1+un. (C’est une suite récurrente double. On peut définir une suite récurrente triple, etc.)
Remarque3.Ne pas confondre une suite(un)n∈Nqui est une application avec{un,n ∈ N} qui est l’ensemble de ses termes.
Définition 4. Opération sur les suites. Soient u = (un)n∈N,v = (vn)n∈N deux suites réelles etλun réel quelconque.
(a) Somme de deux suites : on appelle somme des suitesu etvla suite s = (sn)n∈N
définie parsn=un+vnpour toutn∈N
(b) Multiplication d’une suite par un réel : on appelle produit de la suite (un)n∈Npar le réelλla suitet=(tn)n∈Ndéfinie partn=λunpur toutn∈N.
(c) Produit de deux suites : on appelle produit des suitesu etvla suite p = (pn)n∈N
définie par pn=un×vnpour toutn∈N
Exercice2.Vérifier que la suite définie par
u0∈[0,1]et∀n∈N, un+1= 1−√ 1−un
3 .
est bien définie.
11.3.2 Suites bornées. Suites monotones.
Définition 5. Soitu=(un)n∈Nune suite réelle.
(1) On dit que la suiteuest croissante (resp. strictement croissante) si :
∀n∈N, un+1−un≥0 ( resp.un+1−un>0).
(2) On dit que la suiteuest décroissante (resp. strictement croissante) si
∀n∈N, un+1−un≤0 ( resp.un+1−un<0).
(3) On dit que le suiteuest monotone (resp ; stricytement monotone) si elle est crois- sante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement décroissante).
Remarque4.Pour étudier la monotonie d’une suite(un),
— on peut étudier le signe deun+1−un,
— lorsque la suite est strictement positive, on peut aussi étudier le signe deuun+1
n −1,
— on peut encore établir directement les inégalitésun+1≤unouun+1≥un.
Exercice 3. Soit (an) une suite numérique croissante. Pour tout n ∈ N, on pose bn = 1
n+1
n
X
k=0
ak. Montrer que la suite (bn) est croissante.
Exercice4. Pour toutn∈N, on poseun= 1 2n
n
. Etudier la monotonie de la suite (un).
Définition 6. Soitu=(un)n∈Nune suite réelle. On dit que la suiteuest constante si :
∀n∈N,un=un+1
11.3 Suites réelles. 7
Définition 7. On dit qu’une suite (un)n∈Nest stationnaire s’il existe p ∈ Ntel que la suite (un)n≥pest constante.
Une suite est stationnaire si elle devient constante à partir d’un certain rang.
Proposition 2. La somme de deux suites croissantes est croissante. Si l’une d’elles est strictement croissante alors la somme des deux est strictement croissante.
Remarque5.On obtient une propriété analogue en remplaçant croissante par décroissante.
Définition 8. Une suite (un)n∈Nest dite positive (resp. strictement positive) si pour toutn∈N, un≥0 (resp.un>0).
Proposition 3. Le produit de deux suites croissantes et positives est une suite croissante et positive. Si elles sont strictement positives et si l’une d’elles est strictement croissante alors le produit des deux est une suite strictement croissante et positive.
Exercice5. Soit (un) la suite définie par u0=1
2 et∀n∈N, un+1=u2n−2un+4.
Montrer que la suite est croissante et positive.
Définition 9. Soit (un)n∈Nune suite réelle.
(i) On dit que la suite (un)n∈Nest majorée si :
∃M∈R, ∀n∈N, un≤M.
(ii) On dit que la suite (un)n∈Nest minorée si :
∃m∈R, ∀n∈N, m≤un.
(iii) On dit que la suite (un)n∈Nest bornée si elle est à la fois majorée et minorée, i.e. :
∃M ∈R,∃m∈R, ∀n∈N, m≤un≤M.
Proposition 4. Une suite(un)n∈Nest bornée si et seulement si il existe M ∈R+tel que pour tout n∈N, |un| ≤M.
Exemple 9. (1) La formuleun= 1
n+1 définit une suite bornée strictement décroissante.
(2) La formuleun=(−1)ndéfinit une suite bornée, non monotone.
(3) La formuleun = n2 définit une suite strictement croissante, minorée par 0, mais non majorée.
Exercice6. Montrer que la suite définie parun= 5n
n+2 est croissante et majorée.
11.4 Exemples de suites
Définition 10. Soit (un)n∈Nune suite réelle.
(1) On dit que la suite (un)n∈N est arithmétique s’il existe b ∈ R tel que pour tout n∈N, un+1=un+b. Le nombrebs’appelle raison de la suite (un)n∈N
(2) On dit que la suite (un)n∈Nest géométrique s’il existea ∈ Rtel que pour toutn ∈ N, un+1=aun. Le nombreas’appelle raison de la suite (un)n∈N.
(3) On dit que la suite (un)n∈Nest arithmético-géométrique s’il existea∈R, b∈Rtel que pour toutn∈N, un+1=aun+b.
Proposition 5. Soit(un)n∈Nune suite arithmétique de raison b∈R. Alors (1) Pour tout n∈N, un=u0+nb
(2) Pour tous entiers p,q distincts, up−uq
p−q =b.
(2) Pour tout n∈N,
n
X
k=0
uk=n+1
2 (u0+un)
(3) La suite(un)n∈Nconverge si et seulement si b=0.
Exercice 7. Une suite arithmétique a pour termesu12 = 37 etu6 = 7. Déterminer sa raison et son premier termeu0.
Proposition 6. Soit(un)n∈Nune suite géométrique de raison a∈R. Alors (1) Pour tout n∈N, un=anu0
(2) Pour tout n∈N,
n
X
k=0
uk=
(n+1)u0 sia=1 u0
1−an+1
1−a sia,1
(3) La suite(un)n∈Nconverge si et seulement si−1<a≤1et si|a|<1alorslimun=0 etlim
n
X
k=0
uk= u0
1−a.
Exercice8. On poseu1= 1
3 et pour toutn∈N,un+1 =n+1 3n un.
11.4 Exemples de suites 9
Montrer que la suite définie parvn = un
n est géométrique et déterminer l’expression de unen fonction den.
Proposition 7. Soit(un)n∈Nune suite arithmético-géométrique et(a,b) ∈ R2 tel que pour tout n∈N, un+1=aun+b. Alors
(1) Si a=1la suite est arithmétique et si b=0la suite est géométrique.
(2) Si a,1, la suite définie par la formule vn =un− b
1−a est géométrique de raison a.
Exercice9. Exprimerunen fonction dendans chacun des cas suivants : ( u0 = 2
un+1 = 3un+2 ;
( u0 = √ 2 un+1 = √
2un−1 ;
u0 = 2 un+1 = 1 2
pu3n ;
11.4.1 Suites convergentes. Opérations sur les limites.
Définition 11. Soit (un)n∈Nune suite réelle et`∈R. On dit que la suite (un)n∈Nconverge (ou est convergente) vers` si tout intervalle ouvert contenant`contient les termesun pour tous les indicesn, sauf pour un nombre fini d’entre eux.
De manière quantifiée, la suite (un) converge vers`si
(∀ε >0)(∃N∈N)(∀n∈N)(n≥N=⇒ |un−`|< ε)
Ce nombre`est alors appelé limite de la suite (un)n∈N. Lorsqu’une suite n’est pas conver- gente, on dit qu’elle est divergente.
Remarque 6.Le rangN à partir duquel tous les termes de la suite (un)n∈N sont tels que
|un−`|< εdépend en général deε.
Exercice10. Soit (un) la suite définie parun = n+1
3n etε >0. Déterminer un entierN tel que pour toutn≥N, |un−1
3| ≤ε.
Proposition 8. Si une suite(un)n∈Nconverge à la fois vers`et`0alors`=`0. La limite d’une suite quand elle existe est donc unique.
Notations :lorsqu’une suite (un)n∈Nconverge vers`∈R, on note indifféremment
n→lim+∞un=`, un−−−−−→
n→+∞ ` ou plus simplement, s’il n’ y a pas d’ambiguité sur la variablen
limun=`, un−→`
Remarque7.Attention aux a priori !
(1) Si un −→ `alorsun+1 −→ ` doncun+1−un −→ 0. Mais la réciproque est fausse : un+1−un−→0n’implique pas en général que(un)n∈Nconverge. Par exemple,un=lnn définit une suite telle queun+1−un−→0mais(un)n∈Nne converge pas.
(2) Siun−→`alorsu2n−→`etu2n+1−→`. Réciproqument, siu2n−→`etu2n+1−→`la suite(un)n∈Nest elle convergente ? La réponse est oui.
(3) Si un −→ ` alors u2n −→ ` donc u2n −un −→ 0. Mais la réciproque est fausse : u2n−un −→ 0 n’implique pas en général que(un)n∈Nconverge. Par exemple,un = ln lnn
Proposition 9. Toute suite réelle convergente est bornée mais la réciproque est fausse en général.
Proposition 10. Soient α < βdeux réels et (un)n∈N une suite réelle convergente de limite`telle queα < ` < β. Alors il existe N ∈Ntel que pour tout n∈N, n≥N,on a α <un < β.
Remarque8.Pourα=0, la propriété précédente affirme que si une suite(un)n∈Nconverge vers une limite` >0, il existe un rangNà partir duquel tous les termes de la suite(un)n∈N
sont strictement positifs.
Théorème de prolongement des inégalités aux limites .Si (un)n∈Net (vn)n∈Nsont deux suites réelles convergentes de limites respectives`et`0et s’il existep∈Ntel que pour toutn≥p, un≤vnalors`=limun≤limvn=`0.
Théorème de convergence par encadrement .Si (un)n∈N, (vn)n∈Net (wn)n∈Nsont trois suites réelles telles que
(1) (un)n∈Net (vn)n∈Nsont convergentes de même limite` (2) il existep∈Ntel que pour toutn≥p, un ≤wn≤vn
alors (wn)n∈Nconverge vers la même limite`que (un)n∈Net (vn)n∈N.
Exercice11. Etudier la convergence des suites définies par un=
n
X
k=1
n
n2+k, vn=
n
X
k=1
n+k n2+k,
Exercice12. Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites strictement positives telles que
∀n∈N, an+1
an
≤ bn+1
bn
. Montrer que sibn−→0 alorsan−→0.
11.4 Exemples de suites 11
Proposition 11. Soient(un)n∈N et(vn)n∈Ndeux suites réelles convergentes etλ ∈ R. Alors
(1) (un+vn)n∈N,(unvn)n∈Net(λun)n∈Nsont convergentes (2) et on a
lim(un+vn) = limun+limvn, lim(un×vn) = (limun)×(limvn), lim(λun) = λ×(limun)
Proposition 12. Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles.
(1) Si un−→`alors|un| −→ |`|
(2) Si un −→`et si`,0alors il existe p∈Ntel que la suite 1 un
!
n≥p
soit bien définie et convergente de limite 1
`.
(3) Si un−→0et si(vn)n∈Nest bornée alors unvn−→0.
Exercice13.(1) Soit (un)n∈N une suite réelle telle que lim un 1+un
= 0.Montrer que un−→0.
(2) On suppose maintenant que (un)n∈Nest bornée et que lim un
1+u2n =0.Montrer que un−→0.
11.4.2 Suites tendant vers l’infini
Définition 12. Soit (un)n∈Nune suite réelle.
(1) On dit que la suite (un)n∈Ntend vers+∞si :
∀A>0, ∃N∈N, ∀n∈N, (n≥N=⇒un>A)
(2) On que la suite (un)n∈Ntend vers−∞si la suite (−un)n∈Ntend vers+∞, c-à-d si :
∀A<0, ∃N∈N, ∀n∈N, (n≥N=⇒un<A)
Notations : (un)n∈Ntend vers+∞se noteun −→+∞ou limun = +∞et (un)n∈Ntend vers
−∞se noteun−→ −∞ou limun=−∞
Proposition 13. Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles.
(1) Si(un)n∈Nest minorée et vn−→+∞alors(un+vn)n∈Ntend vers+∞ (2) Si(un)n∈Nest majorée et vn−→ −∞alors(un+vn)n∈Ntend vers−∞
(3) Si un−→+∞et vn−→+∞alors un+vn−→+∞ (4) Si un−→ −∞et vn−→ −∞alors un+vn−→ −∞
(5) Si un−→λ∈R+∗∪ {+∞}et vn−→+∞alors unvn−→+∞
(6) Si(un)n∈Nest une suite dont les termes sont strictement positifs à partir d’un certain rang alors un−→+∞si et seulement si 1
un −→0
Remarque9.La somme de deux suites(un)n∈Net(vn)n∈Ntelles quelimun= +∞etlimvn=
−∞présente une forme indéterminée quant à une limite éventuelle.
Exemple 10. un =n2etvn =−n: on a limun= +∞et limvn=−∞mais lim(un+vn)= +∞ Exemple 11. un=n2+aetvn=−n2: on a limun= +∞et limvn=−∞mais lim(un+vn)= a
Exemple 12. un = (−1)n +n2 et vn = −n2 : on a limun = +∞et limvn = −∞ mais (un+vn)n∈Nne possède pas de limite ni dansR, ni±∞.
Remarque10.Le produit de deux suites(un)n∈Net(vn)n∈Ntelles quelimun=0etlimvn= +∞(ou−∞) présente une forme indéterminée quant à une limite éventuelle.
Exemple 13. un=n2etvn= 1
n : on a limun= +∞et limvn=0 mais lim(unvn)= +∞ Exemple 14. un = n2 et vn = λ
n2, (λ , 0) : on a limun = +∞ et limvn = 0 mais lim(unvn)=λ
Exemple 15. un =n2etvn = (−1)n
n2 : on a limun = +∞et limvn =0 mais (unvn)n∈Nne possède pas de limite ni dansR, ni±∞.
PP PP
PP PP limun
limvn `∈R +∞ −∞
`0∈R `+`0 +∞ −∞
+∞ +∞ +∞ ? ? ?
−∞ −∞ ? ? ? −∞
Table11.1 Limite deun+vn
PP PP
PP PP limun
limvn `∈R∗ 0 +∞ −∞
`0∈R∗ ``0 0 sg(`0)∞ −sg(`0)∞
0 0 0 ? ? ? ? ? ?
+∞ sg(`)∞ ? ? ? +∞ −∞
−∞ −sg(`)∞ ? ? ? −∞ +∞
Table11.2 Limite deun×vn
Remarque11.Les formes 0
0 et1∞sont des formes indéterminées (puisqu’ elles font inter- venir la forme indéterminée0× ∞)
Proposition 14. Soient(un)n∈Net(vn)n∈Ndeux suites réelles vérifiant : il existe p∈ N tel que pour tout n≥p, un≤vn.
(1) Silimun = +∞alorslimvn= +∞ (2) Silimvn=−∞alorslimun=−∞
11.5 Théorèmes de convergence. 13
Exercice14. Etudier la convergence des suites définies par les relations suivantes : un =
n
X
k=1
1
k, vn =
n
X
k=1
√1 k
,
11.5 Théorèmes de convergence.
11.5.1 Théorème de la limite monotone
Théorème de la limite monotone .Soit (un)n∈Nune suite croissante de nombres réels.
(1) Si la suite (un)n∈Nest majorée alors alors elle est convergente, et dans ce cas, limun=sup
n∈N
{un}
(2) Si la suite (un)n∈Nest non majorée alors alors elle tend vers+∞
Corollaire 2(Théorème de la limite monotone). Soit(un)n∈Nune suite décroissante de nombres réels.
(1) Si la suite(un)n∈Nest minorée alors alors elle est convergente, et dans ce cas, limun =inf
n∈N
{un}
(2) Si la suite(un)n∈Nest non minorée alors alors elle tend vers−∞
Exercice15. Etudiez la convergence de la suite (sn) définie parsn =
n
X
k=0
1 k!
Exercice 16. On posea0 = √
2 et pour toutn ∈ N, an+1 = √
2+an.Montrer que la suite (an) converge et déterminer sa limite.
11.5.2 Suites adjacentes
Définition 13. Deux suites réelles (an)n∈Net (bn)n∈Nsont dites adjacentes si l’une d’elle est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux (bn−an)n∈Ntend vers 0.
Théorème des suites adjacentes .Deux suites réelles adjacentes (an)n∈Net (bn)n∈Nsont convergentes et ont même limite` ∈R. De plus, si (an)n∈Nest croissante et (bn)n∈Nest décroissante alors
∀n∈N, an ≤an+1≤`≤bn+1≤bn.
Exemple 16. Pourn ∈ N,, on poseun =
n
X
k=0
1
k! etvn = un + 1
nn!. La suite (un)n∈Nest croissante et la différencevn−un= 1
nn!tend vers 0. On a vn+1−vn=un+1−un+ 1
(n+1)(n+1)! − 1 nn!
= 1
(n+1)! + 1
(n+1)(n+1)! − 1 nn!
= n(n+1)
n(n+1)(n+1)!+ n
n(n+1)(n+1)! − (n+1)2 n(n+1)(n+1)!
= −1
n(n+1)(n+1)! <0
donc (vn)n∈Nest décroissante. Les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont donc adjacentes donc convergent dansRvers une même limite notée e.
Exercice 17. En étudiant f : x ∈]−1,+∞[7→ ln(1+x)−xetg : x ∈]−1,+∞[7→
ln(1+x)− x
1+x, montrer que les suites données par un=1+1
2 +. . .+1
n −lnn, vn=1+1 2. . .+1
n−ln(n+1)
sont adjacentes et convergent vers un réelγappelé constante d’Euler et de plusvn≤γ≤ unpour toutn∈N∗.
11.5.3 Partie entière.
Théorème et définition 3. Soit x un nombre réel. L’ensemble des entiers relatifs infé- rieurs ou égaux à x possède un maximum. Ce maximum s’appelle la partie entière de x et est notéebxc. On a donc :
p=bxcsi et seulement si
(p∈Zet p≤x<p+1.
Exemple 17. Soit (un)n∈N une suite réelle convergente vers`. La suite (bunc)n∈N est elle convergente ?
La réponse est oui si`<Zet non en général si`est un entier.
D’abord, si`<Zalorsb`c< ` <b`c+1 donc il existe un rangN∈Ntel que pour tout n∈N,n≥N, b`c<un <b`c+1 donc pour toutn≥N,bunc=b`cet la suite (bunc)n∈Nest stationnaire.
Pour le cas où la limite ` serait entière, tout dépend du comportement de un. Par exemple, en prenantun = 1+ (−1)n
n+1, il est clair queun −→ 1 mais u2n = 1+ 1 2n+1 doncbu2nc=1 etu2n+1 =1− 1
2n+2 doncbu2n+1c=0. La suite (bunc)n∈Nn’est donc pas convergente.
11.6 Exercices. 15
11.6 Exercices.
Exercice18. Soita,b,ctrois réels positifs.
Montrer que sia≤b+calors a
1+a ≤ b
1+b + c 1+c.
Exercice19. Montrer les inégalités suivantes : (1) ∀(a,b)∈(R+)2,√
ab≤a+b
2 (cas d’égalité ?) (2) ∀(a,b)∈(R+∗)2, 2
1 a +1b ≤
√ ab (3) Pour tous réelsa,b,c, |
√
a2+b2−
√
a2+c2| ≤ |b−c|
Exercice 20. SoitAune partie de Rnon vide et majorée. On note−Al’ensemble des opposés des réels deA. Montrer que supA=−inf(−A).
Exercice21. Soient (an) et (bn) deux suites réelles.
(1) On suppose que la suite (an+bn) converge. Que peut on dire de la convergence des suites (an) et (bn) ?
(2) On suppose que les suites (an+bn) et (an−bn) convergent. Que peut on dire des suites (an) et (bn) ?
(3) On suppose que la suite (an) converge et que la suite (bn) diverge. Que peut on dire de la convergence des suites (an+bn) ? Et de celle de (anbn) ?
(4) On suppose que (an) et (bn) divergent. Que peut on dire de (an+bn) ? Et de (anbn) ?
Exercice22. Pourx∈R, étudier la convergence de la suite (un)n∈Noùun= 1 n2
n
X
k=1
bkxc
Exercice23. Soitx∈R+. A-t-onb√ xc=b√
bxcc?
Exercice24. Montrer que pour toutn∈Z, jn−1
2
k+jn+2
4
k+jn+4
4
k=n.
Exercice25. Trouver une formule de récurrence de la formeun+1= f(un) pour les suites définies par les formules suivantes
(1) un=1+1+ 11 1+ 1
1+ 1 1+...
où les+apparaissentnfois.
(2) un= s
2+ r
2+ q 2+√
2+. . .où le symbole √
apparaîtnfois.
Exercice26. Soit (un) la suite définie par
u0=0, u1=0.3, u2 =0.33, u3=0.333
et de manière généraleun=0.333· · ·3, le chiffre 3 apparaissantnfois. Etudier la limite deun.
Exercice27. Trouver une formule de récurrence pour la suite dont les premiers termes sont
1, 3 2, 7
5, 17 12, 41
29, . . . Etudier la limite de cette suite.
Exercice28. Trouver une expression générale pour la suite u1= 2
1× 1
12, u2=2 1 ×4
3 × 1
22, u3= 2 1×4
3 ×6 5 × 1
32, . . . puis étudiez la limite de la suite (un).
Exercice29. Pour quelles valeurs dex, la suite définie parun= 1−x2 1+x2
!n
possède -t-elle une limite ?
Exercice30. On posea1=0 et pour tout entiern≥2, an= an−1+3
4 .
(1) Expliciter len-ème terme de la suite.
(2) Etudier la convergence de la suite.
Exercice31. Soitf la fonction définie surRpar f(x)=xcosx.
(1) Trouver une suitexntelle quexn−→+∞et f(xn)−→0.
(2) Trouver une suitexntelle quexn−→+∞et f(xn)−→+∞.
(3) Trouver une suitexntelle quexn−→+∞et f(xn)−→ −∞.
11.6 Exercices. 17
Exercice32. Etudier la nature des suites suivantes et déterminer leur limite éventuelle : 1.un= sin(n)+3 cos
n2
√n 2.un= 2n+(−1)n 5n+(−1)n+1 3.un= n3+5n
4n2+sin(n)+ln(n) 4.un= √
2n+1−
√ 2n−1 5.un=3ne−3n.
Exercice33. Etudier la nature des suites suivantes et déterminer leur limite éventuelle : 1.un =ln
2n2−n
−ln(3n+1) 2.un= √
n2+n+1−
√
n2−n+1 3.un =an−bn
an+bn, (a,b)∈]0,+∞[2 4.un= ln(n+en) n 5.un =ln(1+ √
n) ln(1+n2).
Exercice34. Etudier la nature des suites suivantes et déterminer leur limite éventuelle : 1.un=ln(n!)
n2 2.un=e−
√nln(1+n+en) 3.un= √
nln
√n+1
√n−1
!
Exercice35. Soit (un) la suite définie par
u0=2 et∀n∈N,un+1= un+2 2un+1. En considérant la suite définie parvn=1−un
1+un, étudier la convergence de la suite (un).
Exercice36. Soit f : [a,b]−→[a,b] une fonction croissante. Une valeuru0 étant fixé dans [a,b], on pose ensuite pour toutn∈N,un+1= f(un).
(1) Montrer que la suite (un) est bien définie et monotone.
(2) Appliquez à l’étude de la suite définie par
u0 ∈[0,1] et∀n∈N, un+1=1−√ 1−un
3 .
Exercice 37. Soit f : [a,b] −→ [a,b] une fonction décroissante. Une valeuru0 étant fixé dans [a,b], on pose ensuite pour toutn∈N,un+1= f(un).
(1) Montrer que les suites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de variations opposées.
(2) Appliquer à l’étude de la suite définie par u0=1
2 et∀n∈N, un+1=(1−un)2.
Exercice38. Pour toutn∈N∗, on poseun=−n+
n
X
k=1
r 1+ k
n2. (1) Montrer, pour toutx>−1, l’inégalité x
x+2 < √
1+x−1< x 2 (2) En déduire que la suite (un) converge vers une limite à préciser.
Exercice39. On définit deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Npara0 >0, b0>0 et les relations
∀n∈N, an+1= an+bn
2 , bn+1= p anbn. Montrez que ces deux suites sont adjacentes à partir du rang 1.
Exercice40. Soit (xn) une suite telle que limxn−1
xn+1 =0. Montrer que limxn =1.
Exercice41. Etudiez la limite de la suite (un) définie parun= √
n2+n−n
Exercice42. Etudiez la limite de la suite (un) définie parun=1− 1−1
n
4
1− 1−1n3
Exercice 43. Montrer que la suite (un) définie parun =
n
X
k=0
1 n
k
converge vers 2. On pourra commencer par étudier la suite des coefficients binomiaux et majorer judicieuse- ment chaque terme.
Exercice44. Après avoir montré que pour toutn∈N, le nombre (2+√
3)n+(2−√ 3)n est un entier pair, étudier la convergence de la suite définie parun=sin(π(2+√
3)n).
Exercice45. On définit une suite (un) en posantun= 1+1 n
!n+1
.
11.6 Exercices. 19
(1) Montrer que pour tout entiern≥1 et tout réelx>−1, (1+x)n≥1+nx.
(2) Montrer que pour tout entiern∈Ntel quen≥2 un−1
un
=n−1
n 1+ 1
n2−1
!n+1
puis établir queun<un−1.
Exercice46. Pour toutn ∈ N, on poseun =max
t∈R+
{f(t)}où f est la fonction définie sur R+par f(t)= tnn!e−t.
(a) Justifier l’existence deun.
(b) Montrer que la suite (un) est décroissante.
Exercice47. Soit (an) la suite définie par la relation ean+nan=2.
(a) Montrer que la suite (an) est bien définie.
(b) Montrer que liman=0 et limnan=1.
(c) Déterminer limn(1−nan).
Exercice48. Soit (un) la suite définie paru0=−1 et pour toutn∈N∗, un+1= un+q
u2n+21n
2 .
(1) Etudier les variations de cette suite.
(2) Montrer que pour toutn∈N, un+1−un≤ 1
√ 2n
. (3) Etudier la convergence de (un).
Exercice 49. On considère la suite réelle (un)n∈Nvérifiantu0 = u1 = 3
2 et, pour tout n∈N,un+2=1+ √
un+1un.
(1) Montrer que la suite (un)n∈Nest bien définie et que tous ses termes sont supérieurs ou égaux à3
2·
(2) Montrer que la suite (un)n∈Nest croissante. Que peut-on en déduire quant à sa limite éventuelle ?
(3a) Montrer que, pour toutn∈N,un+1−un≤1.
(3b) En déduire que, pour toutn∈N, un+1 un
≤5 3· (4a) Montrer que, pour toutn∈N,un+2−un≥1.
(4b) En déduire que, pour toutn∈~2,+∞:un+1−un≥
√un−1
√un+√ un−2
≥ 1 q5
3+1
·
(5) Déduire des résultats précédents que la suite un
n
n≥1
est bornée et que un+1
un →1.
Exercice50. On considère la suite (vn)n≥0définie par : v0=0 et pour toutn∈N,vn+1=
r vn+ 1
2n
(1) Montrer que, la suite (vn)n≥0est bien définie et à termes positifs.
(2) (a) Étudier la fonctionfndéfinie surR+pourn∈Npar :∀x≥0,fn(x)=x2−x−1 2n. (b) Montrer que l’équationx2−x− 1
2n =0 possède, surR+, une unique solution que l’on noteαn.
(3) (a) Étudier le signe de fn(x)−fn+1(x).
(b) En déduire que la suite (αn)n∈Nest décroissante.
(c) Établir, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2, l’inégalité suivante :vn ≥αn. (d) En déduire que la suite (vn)n≥2est décroissante.
(4) (a) Montrer que la suite (vn)n≥0converge.
(b) Déterminer la valeur de sa limite.
Exercice51. On considère les deux suites réelles (un)n∈Net (vn)n∈N∗définies par le pre- mier termeu0et par les relations de récurrence suivantes :
pour toutn∈N,un+1= q
2+√ un
2 , vn+1= q
2−√ un 2
(1) A quelle condition portant sur la valeur de u0, les deux suites (un)n∈Net (vn)n∈N∗ sont-elles bien définies ?
Dans toute la suite, on supposera cette condition réalisée.
(2) Montrer que pour toutndeN∗,u2n+v2n=1.
(3) Montrer que (un) et (vn) sont deux suites monotones bornées.
(4) (a) En déduire la convergence de ces deux suites. On noteαla limite de (un) etβ celle de (vn). Exprimerβen fonction deαet montrer que
√ 2
2 < α <1.
(b) Montrer queαest l’unique point fixe de l’application f : t7→
q 2+√
t
2 sur
√ 2 2 ,1.
(c) Déterminer selon la position de u0 par rapport àα le sens de variation de chacune des suites (un) et (vn).
Exercice52. Un père décide de partager sa fortune (un certain nombre de pièces d’or) entre ses héritiers de la manière suivante : l’ainé reçoit une pièce et un septième du reste,
11.6 Exercices. 21
le second deux pièces et un septième du reste, le troisième trois pièces et un septième du reste, et ainsi de suite jusqu’au cadet. Chaque héritier reçoit un nombre entier de pièces.
Quel est le nombre d’héritiers et quelle est la fortune du père ?
Exercice53. Soientaetbdeux réels distincts. On pose x0 =aetx1 =b, et pour tout n∈N, xn+2= xn+1+xn
2 .
(1) Montrer que la suite (tn)n∈Ndéfinie partn=xn+1−xnest géométrique.
(2) Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.
Exercice54. Soientaetbdeux réels distincts etα∈]0,2[. On posex0=aetx1 =b, et pour toutn ∈N, xn+2 =αxn+1+(1−α)xn. Etudier la convergence de la suite (xn) en fonction deα,aetb.
Exercice55. Soitf une fonction continue et croissante sur [1,+∞[. Montrer que
n−1
X
k=1
f(k)≤ Z n
1
f(t)dt≤
n
X
k=2
f(k).
Utiliser ce résultat pour établir lim
√n
n!
n .
Exercice56. Soita∈R+. On posex0 =0 et pour toutn∈N, xn+1 =a+x2n. Pour quelles valeurs dea, la suite (xn) converge t-elle ?
Exercice57. On considère la fonction f définie surR×+par f(x)=x−lnxet on définit une suite paru0=a>0 et pour toutn∈N, un+1= f(un).
(1) (a) Etudier f et résumer cette étude par un tableau de variations.
(b) Etudier le signe de f(x)−x, pour tout réelxstrictement positif.
(2) On suppose, dans cette question, quea>1.
(a) Montrer que, pour tout entier natureln :un >1.
(b) Etudier les variations de la suite (un)n∈N,.
(c) En déduire que (un)n∈N,converge et donner sa limite.
(3) On suppose, dans cette question, que 0<a<1.
(a) Montrer que :u1 >1.
(b) En déduire que (un)n∈N,converge et donner sa limite.
Exercice58. Pour toutn∈N∗, on posean=n+1 2n+1
n
X
k=1
2k k. (1) Trouver une relation de récurrence entreanetan+1. (2) Montrer que pour tout entiern≥4, nan>n+2
(3) Montrer que la suite (un) est décroissante est décroissante à partir du rang 4 et trouver sa limite.
Exercice59. Soita>0 etb>0.
On posea1= ab
√ a2+b2
et pour tout entiern≥2, an= aan−1
q
a2+a2n−1 .
(1) Expliciter len-ème terme de la suite.
(2) Etudier la convergence de la suite.
Exercice 60. On posea1 = 3, b1 = 2 et pour tout entiern ≥ 1, an+1 = an +2bn et bn+1=an+bn. Enfin, on posecn= an
bn
(1) Etablir une inégalité entre|cn+1−
√
2|et|cn−
√
2|pour tout entiern∈N∗. (2) En déduire la convergence et la limite de la suite (cn).
Exercice61. Soientanetbndeux suites strictement positives ne prenant pas la valeur 1.
On suppose que limann =a, limbnn=boùa,bsont deux réels strictement positifs.
Soient p,q deux réels strictement positifs tels que p+q = 1. Le but est d’étudier la convergence de la suite (pan+qbn)n.
(1) Etablir que liman=limbn=1 (2) Etablir que limn(an−1)=limnlnan
(3) En déduire la limite de la suitenln(pan+qbn) et conclure.
Exercice62. Soitx∈R. On pose pour toutn∈N∗, un=
n
Y
k=1
cos x
2k . En considérantunsin
x 2n
, étudier la convergence de la suite (un)n∈N.
Exercice63. Soit (an) une suite bornée telle que :∀n∈N, an≤ an−1+an+1
2 .
En étudiant la suitebn=an−an−1, montrer que lim(an−an−1)=0
11.6 Exercices. 23
Exercice 64. Montrez que si (un)n∈N est une suite décroissante telle que limn(un−1 + un)=1 alors la suite (nun)n∈Nconverge et préciser sa limite.
Exercice65. On définit deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Npara0 >0, b0>0 et les relations
∀n∈N, an+1= an+bn
2 , bn+1= p anbn. Montrez que ces deux suites sont adjacentes à partir du rang 1.
Exercice66. On considère une suite réelle (pn)n∈Nvérifiant
∀n∈N, pn+4=1
4(pn+pn+1+pn+2+pn+3).
On lui associe les deux suites (mn)n∈Net (Mn)n∈Ndéfinies par
∀n∈N, mn =min(pn,pn+1,pn+2,pn+3), Mn =max(pn,pn+1,pn+2,pn+3) (1) On étudie ici la convergence des suites (mn)n∈Net (Mn)n∈N
(a) Montrer que pour toutn∈N, mn ≤ pn+4. En déduire que la suite (mn)n∈Nest croissante. Etablir de même que la suite (Mn)n∈Nest décroissante.
(b) Montrer que pour toutn∈N, m0≤mn≤pn≤Mn ≤M0
(c) En déduire que les suites (mn)n∈N et (Mn)n∈N sont convergentes et que leur limites respectives vérifientm≤M.
(2) On étudie maintenant la convergence de la suite (pn)n∈N. (a) Montrer que pour toutn∈N, pn+4≤3
4Mn+1
4mnet en déduire que pour tout n∈N, pn+4≤ 3
4Mn+1 4m
(b) A l’aide de la dernière inégalité, montrer que pour toutn∈N, Mn+4 ≤3 4Mn+ 1
4m
(c) En déduire queM≤m.
(d) Justifiez alors la convergence de la suite (pn)n∈N. (3) Montrer que la suite 1
4pn+1
2pn+1+3
4pn+2+pn+3
!
n∈N
est constante et donner la valeur limitemen fonction dep0,p1,p2,p3.
Exercice 67. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 1
4 +x− x2. L’objectif de cet exercice est d’étudier les suites définies par la donnée deu0 = yet pour toutn ∈ N, un+1 =f(un).
(1) (a) Ecrire le trinôme 1
4 +x−x2sous forme canonique.
(b) En déduire que pour tout entiern≥1, un≤ 12.
(2) On suppose, dans cette question seulement, quey=0. Montrer que la suite (un) est croissante. En déduire que la suite (un) converge vers une limite`à déterminer.
(3) On suppose, dans cette question seulement, quey≤ −1 2. (a) Montrer que pour toutx≤ −1
2, f(x)≤x (b) Montrer que la suite (un) est décroissante.
(c) Etablir que la suite (un) diverge vers−∞
(4) On suppose, dans cette question seulement, quey≥ 3 2. (a) Montrer que pour toutx≥3
2, f(x)≤ −1 2 (b) Montrer que la suite (un) est décroissante.
(c) Etablir que la suite (un) diverge vers−∞
(5) On suppose, dans cette question seulement, que−1
2 <y<3 2. (a) Montrer que pour toutx∈
#
−1 2,3
2
"
,
f(x)−1 2
<
x−1 2 . (b) En déduire que pour toutn ∈N,
un+1−1 2
<
y−1 2
n
et conclure quant à la convergence de la suite (un).
Exercice68. On considère la suite (uk)k∈N∗définie par son premier termeu1et vérifiant, pour toutn, la relation de récurrence :un=n−1+2
n
n−1
X
i=1
ui
(1) (a) Calculeru2etu3en fonction deu1.
(b) Montrer que, pour toutnau moins égal à 3, on a :nun−(n+1)un−1=2n−2.
(2) Pour tout entier naturelknon nul, on pose :vk= uk
k+1.
(a) Pour toutnau moins égal à 3, exprimervn−vn−1en fonction den.
(b) Déterminer deux réelsαetβvérifiant, pour tout réelxnon nul et distinct de
−1, l’égalité :
2x−2 x(x+1) = α
x + β x+1 (c) Pour toutn, établir l’égalité :vn=2
n
X
k=2
1 k +u1
3 −2+ 4 n+1. (3) Pour toutn, on posehn =
n
X
k=2
1
ketzn=1 n −ln
n n−1
. (a) Calculerunen fonction dehn,u1etn.
(b) Prouver l’égalité :hn=
n
X
k=2
zk+lnn.
(c) Déterminer la nature de la série de terme généralzn. (d) En déduire un équivalent dehnquandntend vers l’infini.
(e) Déterminer un équivalent deunquandntend vers l’infini.
