Rappel des notions les plus importantes sur les fonctions logarithmes
A Définition et conséquences immédiates
Définition: La bijection réciproque de la fonction exponentielle de base a, expa, est appelée fonction logarithme de base a et est notée loga.(1)
Il en découle immédiatement les résultats suivants:
a)
0 0
\ 1 : log :
log
a
a
a
x x
b)
log 0
: log
: a
x a
x
x a x et
x a x
c)
0
0
1 : log 1 1 : log 1 0
a
a
a a et
a
B Règles de calcul avec les logarithmes
0 0 1
2
3
1 : , : R log log log
R log log log
log 1 log
: R log log
a a a
a a a
a a
r
a a
a x y x y x y
x x y
y y y
r x r x
0 0
, 1 , : 4 log log
log
b a
b
a b x R x x
a
Remarque : Les égalités des expressions énumérées ci-dessus ne sont valables que si le domaine d’existence est valable pour chacune d’entre elles. Il s’agit alors du « plus grand commun domaine » des deux domaines en question.
Expliquons cette remarque importante à l’aide de deux exercices :
Exercice : Sous quelles conditions, les égalités suivantes sont-elles valables ?
Attention : Sur le domaine D2 R0 , cette égalité n’est pas valable, car E x1
n’est pas défini pour les valeurs négatives en x.
1 1 1 2
2 2
Exemple 2 : ln 1 ; 1 1; pgcdo ; 1;
1
le plus restrictif des deux domaines!
ln 1 log 1 1;
Donc: 1; : ln 1 ln 1 log 1
1
E x x D D D D
x
E x x x D
x D x x x
x
C Lien entre base et sens de variation de la fonction logarithme
1) Comme loga est une bijection de 0 sur , on a:
0, : loga loga
x y x y x y
2) Si a1 alors loga est strictement croissante sur 0 . D'où: x 0, y : logaxloga y xy Si 0 a 1 alors loga est strictement décroissante sur 0 .
D'où: x 0, y : logaxloga y xy
Remarque : Ce lien, ainsi que les règles de calcul précédentes, sont très importants dans la résolution d’équations et d’inéquations logarithmiques.
D Schéma de prises de décision pour déterminer un domaine de définition
Exercices portant sur les logarithmes
Exercice 1 Déterminez les domaines de definition des fonctions logarithmes suivantes:
2 2
2 1
3 2 2
2
2 2 2
2
3 2
1) log 2 5 2 2) log 3 4 1
2 1 1
3) log 4) ln
1 2
5) log 1 2 6) log 1
4
4 9
7) log 3 2 12 8 8) ln
e 2
f x x x f x x x
x x
f x f x
x x
f x x x f x x
x
f x x x x f x x
x
_______________________________________________________________________________________
Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes sans utiliser la calculatrice, mais en appliquant les règles de calcul vues sous B.
2 3
4
2 4 3
2 5 2 5 2 3
5 2
1 1 1
9) ln ln ln 10) ln 2 ln ln
ln 1 ln
11) ln ln ln 12) ln ln
2 ln
e e e e
e e e
e e e
e e e e e
e e e e
Résolution d’équations et d’inéquations logarithmiques Comment procéder ?
Avant de passer à la resolution d’équations et d’inéquations logarithmiques, il convient de fixer quelques étapes de manière de procéder qu’il s’agit de respecter dans l’ordre indiqué et scrupuleusement.
1) Détermination du domaine d’existence de l’(in-)équation ou de définition de l’expression. A cet effet, je vous mets à disposition un organigramme de prises de decision.
2) Comme pour les (in-)equations exponentielles, on tâche en premier lieu de revenir à une expression du type : loga
A loga
B A B
Exercice 3 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques, à base e, suivantes:
2
2
13) ln 3 14) ln 4 ln 2
15) ln 2 1 0 16) ln 1 2 0
17) ln ln 2 1 18) ln 1 ln 0
1
19) ln 2 ln 1 20) ln 1 ln ln 1
3
21) ln ln 1 2 22) ln 2 5 3 2ln 3 0
23) 2ln ln 3 ln 2 24) ln ln 2 ln 1 3
x x x
x x
x x x
x
x x x x x
x
x x x
x
x x x x
_______________________________________________________________________________________
Exercice 4 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques, à base unique, suivantes:
2
2 2
2 2
0,5 0,5 0,5
2
1 1 0,5 0,5
2 2
25) 2 ln ln( 4) ln(3 2 ) 26) 2 log log 1 0
27) log 4 log 6 log 4 28) ln 2 3 ln 1ln 1 2
2
29) log 3 2 log 3 2 6 0 30) log 1 log 4 3 1
x x x x x
x x x x e x
x x x x
_______________________________________________________________________________________
Exercice 5 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques à bases quelconques:
2
1 2 1 2
2 2
2 2
1 3 2 2
3
2 8
2
2 0,5
2 1 1
31) log log ( 1) 32) log 6 5 log
2 1 5
33) log 3 5 2 log 2 8 0 34) log 2log 2
35) ln 3 2 ln 3 ln 2 1 0 36) log log 3 2
4 3 1 ln 2
37) 2ln 2 1 ln 3 2 ln 38) ln 1 ln
2
39) log 2 1
x x x x
x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x x
2
4 3 3
ln 1
1 log 2 4 40) 3
ln 2
41) log log 64 2 42) log 1 3 log 4
43) ln ln 1 1
x x
x x
x
x
x x e
_______________________________________________________________________________________
Expliquons de manière générale le lien existant entre log1
a
x et loga
x , a 0
1 .
0 1
log log log
1 : log log
1 log 1
log
a a a
a a
a
a
x x x
a x x
a a
D’où : 0
1 : log1
loga
a
a x x
L’avantage de cette formule réside dans le fait que cette transformation est celle qui apparaît le plus souvent dans les (in-)équations logarithmiques nécessitant des transformations de base.
D’une manière analogue on peut montrer que : a 0
1 : log a
x 2 loga
x Résolution des exercices proposés1 2
2
2 1
2
2 1
31) log log ( 1)
2 1
2 1 1 1
0 ) racines :
2 1 2 2
1 1
2 2
) . . ) :
2 1
2 1 0
1 0 1
1 1
1; ;
2 2
) Réduction à la même base:
2 1
2 1 log 2 1
: log
2 1
log
x x IE
x
x i x x
x
x
a C E ii TDS
x x
x x
D b
x
x x
x D
x
2 2
2 2
2
1
2
2 2 2 2
Inversion de l'argument
2 1
log 2 1 log 2 1
1 log 2 2 1
2 ) Résolution de l'inéquation modifiée:
2 1 2 1
: log log ( 1) log log ( 1)
2 1 2 1
2 1
2 1
1
2
R
R
base bi
x x x
x
c IE
x x
x D x x
x x
x x
x x
j
1 2
1
x 0
2
1 2
1 2 2
) racines: ) :
2 2 1 0
; 1
Q x 2
x x x
i x ii TDS
x Q x E
1
) Solution finale: 1;
Q x 2
d SE D
2
1 2
2
32) log 6 5 log 1
x x 5
2
2
2 2 2
1 1 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
) : 6 5 0 ;1 5;
log 6 5
) : log 6 5 log 6 5
log 2
) ' : log 6 5 log 1 log 5 log 6 5 log 5
5
6 5 5 6 0
;0 6;
) : ;0 6;
a CE x x D
x x
b Bases x x x x
c D où x x x x
x x x x
E
d Solution S E D
2
1 3
3
33) log 3x 5x2 log 2x8 0
2
2
2 3 2
1 1 3
3 3
2 2
3 3 3 3
2 2
2
3 5 2 0
) : 4; 1;
2 8 0 3
log 3 5 2
) : log 3 5 2 log 3 5 2
log 3
) ' : log 3 5 2 log 2 8 log 3 5 2 log 2 8
3 5 2 2 8 3 7 6 0
; 2 3;
3 )
x x
a CE D
x
x x
b Bases x x x x
c D où x x x x x x
x x x x x
E
d So
: 4; 2 3;
lution S E D 3
2
2 234) log x 2 log x2
0 2
2 1 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2
1
2 2 2
) : 0
) : log log 2 log
log 2
) ' : 2 log 2 log 2 0 Equation du second degré en log
: log 4 2 2 0
2 1 0 1 ou 1
2
Revenons à : log 1 log 2 log
a CE x D
b Bases x x x
c D où x x E x
Posons t x E t t
t t t t
x x
1 log2
1 log2 2122 2
1 2
2 1; 2
2
) : 1; 2
2
ou x
x ou x
E
d Solution S E D
2 8
2
35) ln 3 2 ln 3 ln 2 1 0 36) log log 3 2
4 3 1 ln 2
37) 2ln 2 1 ln 3 2 ln 38) ln 1 ln
2
x x x x
x x x x x
x x
2
0,5 2
39) log 2x x 1 1 log 2x4
2
2
2 2 2
0,5 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1
2 1 0
) : 2; 1;
2 4 0 2
log 2 1
) : 0,5 1 log 2 1 log 2 1
2 log 2
) ' : : log 2 1 1 log 2 4
log 2 4 log 2 log 2 1 log 2 2 1
2 4 4 2 2 4
x x
a CE D
x
x x
b Bases x x x x
c D où x D x x x
x x x x x
x x x
x24x 6 0 : 2
ln 1
40) 3
ln 2 x x
2 2
2
Réduction au DC
2
2
2 2
0 0
) : 0; ;
ln 2 ln
ln 2 0
ln 1 ln 1 2 ln 5
) : 3 3 0 0
ln 2 ln 2 ln 2
) : : ln 5 12,18
2
: ln 2 7,39
2 ln 5 0
) :
ln x x
a CE D e e
x e
x
x x x
b x D Q x
x x x
i Racines N x x x e e
D x x x e
x e e e
ii TDS x
x
2 2
2 2
2 0
0
) ; ;
) : 0; ;
Q x
iii E e e e
c Solution S E D e e e
4
car ln 64 est une constante positive
2 16
4 4
16 16 8
8
41) log log 64 2
0 et 1 ln 64
) : : log 64 0 ln 0 1
log 64 0 ln
1;
) : log log 64 2 log 4 log 64 16 log
64 64 8 1, 297
) 8
x
x
x x
x x
x x
a CE Or x x
x D
b x D x
x
bas
x S
e
c
3
3
3 3
3 3 3 3
log 1
log 5 5
3
42) log 1 3 log 4
) : 1 3 0 3 1 0 ;0
) : log 1 3 log 4 log 3 log 4 3
1 3
l
4 3 1 4 3 3
3 1 3 3 log 5
5 ) ln 5
ln 3
n 5 ln 3
x
x x
x x x
x x x x
x
x
a CE x D
b x D
x
c S
2
2
2 2 2 2
43) ln ln 1 1
) : 0 1;
1 0
) : ln ln 1 1 ln 1 ln
1 0 Equation du second degré (un peu spéciale)
) : Δ 1 4 2 1 4 2 1 1 0
1 1
2 1
x x e
a CE x D e
x e
b x D x x e x e x e
x e x e
i Racines e e e e e e e e
e e e
x ou x
2
1 1
2
) : 1
1 0 0
) 1;
) : 1;
e e
x e
ii TDS
x e x e
iii E e
c Solution S E D e e
