A Définition et conséquences immédiates

(1)

LGL Cours de Mathématiques 2015 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - Exercices progressifs-P1.doc Fonctions logarithmes - 1 -

Rappel des notions les plus importantes sur les fonctions logarithmes

A Définition et conséquences immédiates

Définition: La bijection réciproque de la fonction exponentielle de base a, exp_a, est appelée fonction logarithme de base a et est notée log_a.⁽¹⁾

Il en découle immédiatement les résultats suivants:

a)

 

 

0 0

\ 1 : log :

log

a

x x

 

  



b)

 

log 0

: log

: ^a

x a

x

x a x et

x ^ a x

  

   ^c)

   

0

1 : log 1 1 : log 1 0

a

a a et

a



   

B Règles de calcul avec les logarithmes

       

   

 

  ^{ }

0 0 1

2

3

1 : , : R log log log

R log log log

log 1 log

: R log log

a a a

a a

r

a a

a x y x y x y

x x y

y y y

r x r x

 

       

  

  

  

  

   

Remarque : Les égalités des expressions énumérées ci-dessus ne sont valables que si le domaine d’existence est valable pour chacune d’entre elles. Il s’agit alors du « plus grand commun domaine » des deux domaines en question.

Expliquons cette remarque importante à l’aide de deux exercices :

Exercice : Sous quelles conditions, les égalités suivantes sont-elles valables ?

   

    ^ ^

   

1 3 1 0

1 2 0

2

2 3 2 0

2

0 3 3

Exemple 1: 2 log

pgcdo ; , le plus restrictif ! log

Donc: : 2 log log

E x x D

D D D

E x x D

x D x x



     

  

    

Attention : Sur le domaine D₂ R₀ , cette égalité n’est pas valable, car E x1

 

n’est pas défini pour les valeurs négatives en x.

(1) Pour que la réciproque de la fonction exponentielle à base a existe, il faut la condition supplémentaire que a1, car la réciproque de la fonction f :  0^:x f x

 

1^x n’est plus une fonction, car f n’est une bijection !

(2)

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     

       

   

     

1 1 1 2

2 2

Exemple 2 : ln 1 ; 1 1; pgcdo ; 1;

1

le plus restrictif des deux domaines!

ln 1 log 1 1;

Donc: 1; : ln 1 ln 1 log 1

1

E x x D D D D

x

E x x x D

x D x x x

x



  

            

      

  

         

C Lien entre base et sens de variation de la fonction logarithme

1) Comme log_a est une bijection de ^₀ sur , on a:

0, : log_a log_a

x ^ y x y x y

      

2) Si a1 alors log_a est strictement croissante sur ^₀ . D'où:  x ^₀, y : log_axlog_a y  xy Si 0 a 1 alors log_a est strictement décroissante sur ₀^ .

D'où:  x ^₀, y : log_axlog_a y  xy

Remarque : Ce lien, ainsi que les règles de calcul précédentes, sont très importants dans la résolution d’équations et d’inéquations logarithmiques.

D Schéma de prises de décision pour déterminer un domaine de définition

(3)

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Exercices portant sur les logarithmes

Exercice 1 Déterminez les domaines de definition des fonctions logarithmes suivantes:

    ^{ }  

   

    ^{ }

^{ }

    ^{ }

2 2

2 1

3 2 2

2

2 2 2

2

3 2

1) log 2 5 2 2) log 3 4 1

2 1 1

3) log 4) ln

1 2

5) log 1 2 6) log 1

4

4 9

7) log 3 2 12 8 8) ln

e 2

f x x x f x x x

x x

f x f x

x x

f x x x f x x

x

f x x x x f x x

x



      

 

 

 

       

  

       

  

       

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Exercice 2 Simplifier les expressions suivantes sans utiliser la calculatrice, mais en appliquant les règles de calcul vues sous B.

    _{ }    

        _{ }

2 3

4

2 4 3

2 5 2 5 2 3

5 2

1 1 1

9) ln ln ln 10) ln 2 ln ln

ln 1 ln

11) ln ln ln 12) ln ln

2 ln

e e e e

e e e

e e e e e

e e e e

 

   

       

   

   

        

   

Résolution d’équations et d’inéquations logarithmiques Comment procéder ?

Avant de passer à la resolution d’équations et d’inéquations logarithmiques, il convient de fixer quelques étapes de manière de procéder qu’il s’agit de respecter dans l’ordre indiqué et scrupuleusement.

1) Détermination du domaine d’existence de l’(in-)équation ou de définition de l’expression. A cet effet, je vous mets à disposition un organigramme de prises de decision.

2) Comme pour les (in-)equations exponentielles du premier degré, on tâche en premier lieu de revenir à une expression du type : ^loga

 

A ^loga

 

B A B

 

 

   , le sens de l’inégalité dependant de la valeur de la base a .

3) Dans le cas d’(in-)equations logarithmiques d’un degré supérieur au premier, on procède de nouveau au moyen de la substitution du type: ^loga

 

x t , où t peut, cette fois, prendre des valeurs

negatives.

(4)

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Exercice 3 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques, à base e, suivantes:

    ^{ }

   

     

       

    ^{ }

           

2

13) ln 3 14) ln 4 ln 2

15) ln 2 1 0 16) ln 1 2 0

17) ln ln 2 1 18) ln 1 ln 0

1

19) ln 2 ln 1 20) ln 1 ln ln 1

3

21) ln ln 1 2 22) ln 2 5 3 2ln 3 0

23) 2ln ln 3 ln 2 24) ln ln 2 ln 1 3

x x x

x x

x x x

x

x x x x x

x

x x x

x

x x x x

  

   

  

     

  

         

        

     

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Exercice 4 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques, à base unique, suivantes:

    ^ ^

       

2

2 2

0,5 0,5 0,5

2

1 1 0,5 0,5

2 2

25) 2 ln ln( 4) ln(3 2 ) 26) 2 log log 1 0

27) log 4 log 6 log 4 28) ln 2 3 ln 1ln 1 2

2

29) log 3 2 log 3 2 6 0 30) log 1 log 4 3 1

x x x x x

x x x x e x

x x x x

      

        

        

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Exercice 5 Résoudre les équations et les inéquations logarithmiques à bases quelconques:

 

  ^ ^  

   

 

2

1 2 1 2

2 2

1 3 2 2

3

2 8

2

2 0,5

2 1 1

31) log log ( 1) 32) log 6 5 log

2 1 5

33) log 3 5 2 log 2 8 0 34) log 2log 2

35) ln 3 2 ln 3 ln 2 1 0 36) log log 3 2

4 3 1 ln 2

37) 2ln 2 1 ln 3 2 ln 38) ln 1 ln

2

39) log 2 1

x x x x

x

x x x x x

x x x x

x x x x x

x x

     



      

      

  

       

 

 

   

 

2

4 3 3

ln 1

1 log 2 4 40) 3

ln 2

41) log log 64 2 42) log 1 3 log 4

43) ln ln 1 1

x x

x

x x e

    



   

   

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