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Domaine de définition

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Fiche 1. Fonctions usuelles

Savoir.

ƒ Connaître les fonctions usuelles, leur domaine de définition, leurs limites, l’allure du graphe et leur dérivée.

ƒ Maîtriser la fonction exponentielle et la fonction logarithmique.

ƒ Réviser ses formules trigonométriques.

Savoir-faire.

ƒ Déterminer le domaine de définition d’une fonction.

ƒ Savoir utiliser l’égalité xα=eαln(x)dans les deux sens.

Domaine de définition

— Une fonction f associe à un réel x un réel noté f(x).

— Exemple :

f : R −→ R

x 7−→ x2 Alors f(3) =9, f(−4) =16.

— Exemple :

f : [0,+∞[ −→ R

x 7−→ p

x La fonction n’est pas définie pour desx <0.

— Ledomaine de définitiond’une fonction f est l’ensemble des x, où l’expression f(x)est définie.

Note.Si on vous donne l’expression d’une fonction f, sans préciser l’ensemble de départ c’est à vous de déterminer le domaine de définition !

— Exemples : trouvons le domaine de définition des fonctions suivantes.

f(x) = x−1

x+1 Df =R\ {−1}=]− ∞,−1[∪]−1,+∞[

f(x) = 1

x2−4 Df =R\ {−2,+2} f(x) =p

x2−4 Df =]− ∞,−2] ∪ [+2,+∞[

Fonction polynôme

— Unefonction monômeest définie par f(x) =xkk∈Nest un entier.

— Le domaine de définition estDf =R.

— La dérivée est (xk)0=k xk−1 .

— Les limites en+∞et−∞sont :

x→+∞lim xk= +∞ et lim

x→−∞xk=

+∞ sikest pair

−∞ sikest impair

— Unefonction polynômeest une somme de fonctions monômes. Par exemple, les fonctions définies par f(x) =x etg(x) =x3−4x+13 sont des fonctions polynômes.

(2)

x y

x

k=1

x y

x2

k=2

x y

x3

k=3

Fonction inverse

— Lafonction inverseest définie par f(x) = 1x, notée aussi f(x) =x1.

— Le domaine de définition estDf =R\ {0}, car il est interdit de diviser par 0.

— La dérivée est

1 x

‹0

=− 1 x2 .

— Les limites de f sont :

x→−∞lim 1

x =0 lim

x0

1

x =−∞ lim

x0+

1

x = +∞ lim

x→+∞

1 x =0

x y

1 x

Fonction exponentielle

— Lafonction exponentielle f(x) =exp(x)se note aussi par f(x) =ex.

— Son domaine de définition estDf =R.

— On a exp(x)>0 pour tout x∈R.

(3)

ea+b=ea·eb (ex)α=eαx (ex) = ex

x y

exp(x)

0 1 e

1

Fonction logarithme

— Lelogarithme népériense note f(x) =ln(x).

— Son domaine de définition estDf =]0,+∞[. Le logarithme n’est pas défini pour des x négatifs ou nuls.

— ln(1) =0, ln(e) =1.

— Propriétés :

ln(a×b) =ln(a) +ln(b) ln(xα) =αln(x) ln

1 x

‹

=−ln(x)

— Le logarithme est la bijection réciproque de l’exponentielle :

ln(exp(x)) =x pour tout x∈R exp(ln(x)) = x pour tout x >0

— La dérivée du logarithme est la fonction inverse ln0(x) = 1x .

— Les limites de f sont :

xlim0+ln(x) =−∞ lim

x→+∞ln(x) = +∞

(4)

x y

ln(x)

0 1

1 1

e

Fonctions puissances

— Les fonctions puissances f(x) = xα, avec α ∈ R fixé, généralisent les fonctions polynômes (où l’exposant était un entier).

— Elles sont définies par :

xα=eαln(x) Autrement ditxα=exp(αln(x)).

— Le domaine de définition estDf =]0,+∞[.

— La dérivée est (xα)0=αxα−1 .

— Exemple (carré) :α=2, on retrouve la fonction carréexα=e2 ln(x)= (eln(x))2=x2.

— Exemple (racine carrée) :α=12, alorsx12 =p

x, qui vérifie bien sûr(x12)2=x.

— Exemple (racine cubique) :α= 13, alorsx13 =p3

x, qui vérifie(x13)3=x.

x y

px =x12

0 1

1

(5)

x cosx sinx

0 π 2π

−π 3π

+1

−1 Voici un zoom sur l’intervalle[−π,π].

x y

cosx sinx

0 π π

−π −π2 2

+1

−1

— Latangenteest définie par tan(x) = sin(x)

cos(x) . Elle est définie si cos(x)6=0, c’est-à-dire six6= π2+ (k∈Z). Sa dérivée peut s’écrire de deux façons différentes : tan0(x) = cos12(x)=1+tan2(x)

Rappels de trigonométrie

cos2x+sin2x=1 cos(x+2π) =cosx sin(x+2π) =sinx

x 0 π

6

π 4

π 3

π 2 cosx 1

p3 2

p2 2

1

2 0

sinx 0 1

2

p2 2

p3

2 1

tanx 0 1

p3 1 p 3

(6)

x y

M

cosx sinx

x

O 1

1

30 60

0 45 90

0 π

6 π 4 π 3 π

2

€p3

2 ,12Š

€p2

2 ,

p2 2

Š

€1

2,

p3 2

Š

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