http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_seriesentieres.pdf
TD 19 : Séries entières
Rayon de convergence, domaine de définition
Exercice 1(Entraînement). Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes et étudier la convergence aux bornes de l’intervalle.
(1) X
xn2 (2) X xn
n2+1 (3) X
(1+(−1)n)x2n (4) Xln(n) n2 xn (5) Xen
n!x2n (6) X cos³nπ
4
´
xn (7) X ln
µ 1+1
n
¶
xn (8) X
n(n−1)x2n
(9) X
n(−1)nxn (10) X
arctan(n)xn (11) X
… 1+1
nx2n (12) X Ã…
1+1 n−1
! x2n
Exercice 2(Oral CCP, 2001). Rayon de convergence et étude aux bornes de la série entière de coefficientsan=ln(n)/npournÊ1.
Exercice 3(Oral CCP, PSI, 2009).
(1) Montrer que la série de terme général 1
1+n2 est convergente.
(2) Soitan=
+∞X
k=n+1
1
1+k2. Montrer queX
anxnconverge pour toutx∈]−1, 1[.
(3) Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
Exercice 4(Oral Mines-Ponts, PSI, 2009). Soit, pourn∈N,un=cos³ πp
n2+n+2´ . (1) Déterminer un équivalent deun.
(2) Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme généralunxn. Exercice 5(D’après oral Centrale, PC, 2019).
(a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièreXzn n . (b) On pose pourθ∈]0, 2π[ etn∈N:Sn=
n
X
k=0
eikθ. Montrer que :
n
X
k=1
eikθ k =Sn
n +
n−1
X
k=1
Sk k(k+1)−1.
(c) En déduire la nature de la sérieXeinθ
n ainsi que le domaine de définition def :z7→
+∞X
n=1
zn n . Exercice 6(Oral Mines Télécom, PC, 2015). On considère une série entièrePande rayon de conver- genceRet on noteR0le rayon de convergence deP
sin(an)xn. (1) Montrer queR0ÊR.
(2) On suppose queR>1. Montrer queR0=R.
(3) Déterminer une suite (an) telle queR0=2R.
Calcul de la somme
Exercice 7.(1) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière X
nÊ2
(−1)n n(n−1)xn. (2) SoitS:x∈]−R,R[7→ X
nÊ2
(−1)n
n(n−1)xn. CalculerS.
Exercice 8(Oral Mines Télécom, PC, 2013). Rayon de convergence et calcul de X
nÊ1
µ 1+1
2+ · · · +1 n
¶ xn. Exercice 9(Oral CCP, PC, 2019). On poseS(x)=
+∞X
n=0
2nn
xn. (a) Déterminer le rayon de convergence. On le noteR.
(b) Pour toutxdans ]−R,R[, prouver la relation (1−4x)S0(x)−2S(x)=0.
(c) En déduire une expression deS(x).
Propriétés de la somme
Exercice 10.(a) Montrer que la fonctionS:t7→
+∞X
n=0
(−1)nt2n+1
2n+1 est définie et continue sur [−1, 1].
(b) Déterminer l’expression deSsur ]−1, 1[ puis sur [−1, 1] et en déduire :
+∞X
n=0
(−1)n 2n+1=π
4. Exercice 11.Soit (an)nÊ0une suite à termes positifs telle que
f(x)=
+∞X
n=0
anxn
soit défini pour toutx∈]−1, 1[ et possède une limite finie`lorsquex→1. Montrer queP
nÊ0an
converge et calculer sa somme.
Développements en série entière
Exercice 12(Oral CCP, PSI, 2009). La fonctionf :x7→ln¡
6−5x+x2¢
est-elle développable en série entière au voisinage de 0 ? Si tel est le cas, donner son développement.
Exercice 13.Démontrer que la fonction
f :x7→arcsin(x) p1−x2
est développable en série entière au voisinage de 0. Déterminer les coefficients de ce développement, ainsi que le développement en série entière deg:x7→(arcsinx)2.
Exercice 14(Oral Mines-Ponts, PSI, 2009). On considère l’équation différentielle : x2y00+4x y0+2y=ln(1+x)
Déterminer les solutions développables en série entière autour de 0 ainsi que leur rayon de conver- gence. Exprimer ces solutions en utilisant des fonctions usuelles.
Exercice 15(Oral CCP, PC, 2019). Soit une suite (an)n∈Ntelle que : a0=1, a1=2 et ∀n∈N,an+2=an+1+ an
n+2 On définitf(x)=
+∞X
n=0
anxnetg(x)=
+∞X
n=0
an
n+2xn+2.
(1) Trouver une primitive de la fonctionx7→x(x+1)ex. (2) (a) Montrer pourn∈Nl’inégalité : 1ÉanÉn+2.
(b) Déterminer les rayons de convergence deX
anxnetX an
n+2xn+2notésRf etRg. (3) (a) Montrer la relation : (1−x)f(x)=g(x)+x+1.
(b) Monter quegest solution de l’équation (E) :y0+ x
x−1y= −x(x+1) x−1 . (4) Déterminer des réelsaetbtels que x
x−1=a+ b x−1. (5) En déduire l’expression deg(x) puis celle def(x).
Exercice 16(Oral Mines-Ponts, PC, 2019). On posef(x)= Z +∞
0
sin(xt) sh(t) dt. (1) Déterminer le domaine de définition def.
(2) Montrer que f est de classe C∞sur son intervalle de définition.
(3) Montrer que f est DSE sur un intervalle à préciser.
TD 19 : Séries entières
Indications
Ex 1. Méthodes du cours.
Ex 2. Méthodes du cours pour le rayon. Étude aux deux bornes : comparaison pour l’une, théorème des séries alternées pour l’autre.
Ex 3. (1) Méthodes usuelles. (2) Donner le comportement deanlorsquen→ +∞. (3) Déterminer un équivalent de (an) lorsquen→ +∞.
Ex 4. Déterminer un équivalent deun, pour cela on peut écrireπp
n2+n+2=π(p
n2+n+2−n)+nπ. Ex 5. (a) Méthodes du cours. (b) Utiliser eikθ=Sk−Sk−1. (c) Simplifier l’expression deSn, majorer
|Sn|. En déduire la nature de la sérieP eikθ/k.
Ex 6. (1) Montrer que siPanxn converge alorsPsin(an)xn converge. (2) Démontrer que siR>1, alorsan−−−−−→n
→+∞ 0. (3) Utiliser une suite (an) qui tend vers une limite finie (non nulle) et qui converge vers 0 « à 2piprès. »
Ex 7. (1) Méthodes usuelles. (2) Utiliser la dérivée seconde.
Ex 8. Rayon de convergence : déterminer un encadrement simple de 1+1/2+ · · · +1/n. Somme : calculer (1−x)f(x) et simplifier.
Ex 9. (a) Méthodes usuelles. (b) Effectuer le calcul (changements d’indice). (c) Résoudre l’équation différentielle.
Ex 10. (1) Utiliser la convergence uniforme. (2) Utiliser la dérivée.
Ex 11. Convergence : montrer que les sommes partielles sont majorées.
Ex 12. Méthodes du cours.
Ex 13. f est DSE : utiliser les opérations sur les DSE. Déterminer le DSE : démontrer quef est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 puis déterminer les solutions DSE de cette équation différentielle.
Ex 14. Écrireyet ln(1+x) avec des DSE, remplacer dans l’équation et unicité du DSE.
Ex 15. (1) Différentes méthodes possibles. (2a) Récurrence. (2b) Résultats du cours pour obtenir des encadrements du rayon de convergence. (3a) et (3b) Effectuer le calcul. (5) Résoudre l’équation différentielle.
Ex 16. (1) et (2) intégrales à paramètres. (3) Échange série intégrale.
