b) Filtre passe-bande : généralisation
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre peut s’écrire sous la forme :
H(jx) = H0
1 +jQ(x− x1) = jQxH0 1−x2+jQx
La deuxième expression fait apparaître le dénominateur utilisé dans la forme canonique.
On en déduit les valeurs du gain G=|H|et de ϕ= arg(H)
G= |H0| q
1 +Q2(x−x1)2 ϕ= arg(H0)−arg
1 +jQ(x− 1 x)
soitα= arg
1
|{z}>0
+j Q(x− 1 x)
| {z }
>0ou<0
. On en déduitα∈[−π2,π2]. On peut alors utiliser la fonction arctan pour exprimer ϕ:
ϕ= arg(H0)−arctan
Q(x− 1 x)
avec arg(H0) = 0 pourH0 >0 et arg(H0) =π pourH0 <0.
Résonance :
Dans l’expression deG, le numérateur étant constant (égal à|H0|),Gadmettra un maximum si le dénominateur admet un minimum et donc si 1 +Q2(x−1x)2 admet une valeur minimale.
Or Q2(x− x1)2 >0. La valeur minimale est donc atteinte pour (x− 1x) = 0, soit pour x2 = 1 et donc, puisque x >0 pourx= 1, ce qui correpond à ω =ω0.
∀Q G=Gmax=|H0| pour x= 1
c) Diagramme de Bode asymptotique
On détermine tout d’abord les expressions approchées de H, suivant les différents domaines de fréquence :
x1 H(jx)' −jH0Q x
=jxHQ0 ω ω0 H(jω)'jωQωH0
0
comportement dérivateur
x= 1 H(jx) =H0 ω=ω0 H(jω) =H0
x1 H(jx)' H0
jxQ ω ω0 H(jω)' 1 jω
H0ω0 Q comportement intégrateur
1
On en déduit les expressions approchées – du gain G=|H|
x1 G= |HQ0|x GdB = 20 log|H0| −20 logQ+ 20 logx droite de pente +20 dB/dec
x= 1 G=|H0| GdB = 20 log|H0|
x1 G' |H0|
Qx GdB = 20 log|H0| −20 logQ−20 logx droite de pente−20 dB/dec
Remarque : l’intersection des deux asymptotes avec la verticale x= 1 (logx = 0) correspond à un point d’ordonnée 20 log|H0| −20 logQ.
– de la phaseϕ, en se plaçant dans le cas où H0 >0
x1 ϕ= arg
jxH0
Q
= π2 (pour H0 >0)
x= 1 ϕ= arg(H0) = 0 (pour H0 >0)
x1 ϕ= arg H0
jQx
=−π2 (pour H0 >0)
d) Courbes (pour H0 = 1)
10-2 10-1 100 101 102x
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 G(dB)
+20dB/dec Q =10 -20dB/dec
Q =1 Q =0.1
2
10-2 10-1 100 101 102x
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 ϕ
Q =10
Q =1
Q =0.1
. quel que soit le facteur de qualité, la résonance a toujours lieu pour x = 1 (ω = ω0). La résonance est d’autant plus aiguë que le facteur de qualité est élevé.
. l’amplitude de variation de ϕ est de π. Le saut de π/2 à −π/2 est d’autant plus prononcé que le facteur de qualité est élevé. Pour x= 1,ω =ω0,ϕ= 0 : le déphasage entre l’entrée et la sortie est nul à la résonance (pour H0 >0).
. dans le domaine des basses fréquences (x 1, ω ω0), la pente de l’asymptote vaut +20 dB/dec et ϕ= +π/2 car H(jω)'jωQωH0
0 : le filtre se comporte comme un dérivateur.
. dans le domaine des hautes fréquences (x 1, ω ω0), la pente de l’asymptote vaut
−20dB/dec etϕ=−π/2car H(jω)' jω1 H0ω0 : le filtre se comporte comme un intégrateur.
e) Bande passante à -3dB
La bande passante correspond au domaine de fréquence pour lesquelles Gmax
√2 6G6Gmax
GdBmax−3dB6GdB6GdBmax
car −20 log√
2 = −3.
Gmax=|H0|, les pulsations de coupures vérifient donc l’équation :
|H0| q
1 +Q2(x− x1)2
= |H0|
√2
En inversant et en élevant au carré : 1 +Q2
x− 1
x 2
= 2
3
Q
x− 1 x
=±1 1er cas : Q x− 1x
=−1
x2+ 1
Qx−1 = 0 on ne conserve que la racine positive : x1 =−2Q1 + 12q
1 Q2 + 4 2eme cas : Q x− x1
= 1
x2− 1
Qx−1 = 0 on ne conserve que la racine positive : x2 = 2Q1 + 12q
1 Q2 + 4 On en déduit ∆x=x2 −x1 = 2Q1 +
1 2
q 1
Q2 + 4−
−2Q1 +
1 2
q 1 Q2 + 4
= Q1
∆x= ∆ω
ω0 = ∆f f0 = 1
Q
avec ∆ω =ω2−ω1 différence entre les deux pulsations de coupures, ∆f =f2−f1 différence entre les deux fréquences de coupures.
Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est étroite.
Remarque : Q x1− x1
1
=−1, ϕ(x1) =−arctanQ x1− x1
1
=−arctan(−1) = π4. Q
x2− x1
2
= 1, ϕ(x2) =−arctanQ x2− x1
2
=−arctan(1) =−π4. (en supposant H0 >0)
f ) Entrainez-vous
Sur une feuille de papier semi-log, tracer le diagramme de Bode d’un filtre passe-bande de caractéristiques :
H0 = 10, fréquence de résonance f0 = 102 Hz, facteur de qualité Q= 5.
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