Cnam-Paris 2008-2009 CSC012 F.Guiraud
Lundi 3 Novembre 2008
I Equation f(x) = tan(x) -x
3 = 0
Etudions la fonction f : son domaine de définition est D= R – {(2k+1) π
2 , k ∈ Z}.
f ’(x) = 2
3 + tan2(x) > 0 pour tout x ∈ D. Dans l’intervalle ] -π 2 ; π
2 [, la seule racine est x = 0.
Considérons l’intervalle ] π 2 ; 3π
2 [, il y a une racine unique, cherchons dans quel intervalle : f(π) = -π
3 , f(7π 6 )= 3
3 - 7π
18 < 0, f(4π
3 ) = 3 - 4π
9 .> 0. La racine se trouve dans l’intervalle [7π 6 ,4π
3 ].
Pour déterminer la racine, on prend la méthode de Newton ou celle de Lagrange.
Newton :
f’’’(x) = 2tan(x)(1+ tan2(x)) > 0 sur [ π, 3π 2 [ La suite est u
n+1 = u
n - f(un)
f '(un) avec u
0 = 4π
3 pour que f(u
0 ).f’’(u
0 ) soit positif.
Programme format long u0=4*pi/3
eps= 10^(-6) ; % initialisation erreur=1 ;nmax=20 ;n=1
while erreur >= eps & n<nmax u=u0 -f(u0)/f1(u0);
erreur = abs(u-u0);
n=n+1;
u0 = u;
end u 0 n
Deux fichiers function :
function y = f(x) function y = f1(x) y=- = tan(x) -x
3 ; y = 2
3 + tan2(x);
Lagrange
Il faut prendre pour la valeur fixe d’où partent toutes les sécantes : b= 4π
3 pour que f(b).f’’(b) soit positif .et prendre pour le premier terme u0 = 7π
6 .
Programme
format long b= 4*pi/3 ; u0= 7*pi/6 ;
eps=input(‘erreur desiree’) erreur=1 ; nmax=20 ;n=1 ; while erreur > eps & n< nmax
u= (b*f(u0) -a*f(b))/(f(u0) - f(b) );
erreur =abs( u-u0);
n=n+1;
u0 = u;
end u0 n
II Exemple de chaos : suite de Feigenbaum
On considère la suite récurrente u
n = 4a u
n-1 (1- u
n-1 ) =f(u
n-1 ), a étant un réel compris entre 0 et 1 et le premier terme u
0 aussi donc f(x) sera compris entre 0 et 1.
Premier cas a = 0.4
f ’(x)= 4a(1-2x) = 1.6(1-2x)
Pour vérifier les conditions du point fixe, il faut que | f ’(x)| < 1 pour x ∈[0,1] soit -1 < 1.6(1-2x) <1
Première inéquation : 3.2x < 2.6 soit x < 13
16 = 0.8125 Deuxième inéquation : 3.2x > 0.6 soit x > 3
16 = 01875 On peut prendre u0 = 0.2
Programme : on reprend le programme vu au cours précédent pour faire le graphique : format long
u0=0.2;n=10;suite=zeros(1,n); a=0.4;
hold on
x=0.2:0.05:0.8;
plot(x,x, x, 4*a*x.*(1-x)) for i= 1:n
y=f(u0,a) suite(1,i) = y;
u0=y;
end for i=1:7
plot([suite(1,i),suite(1,i+1),suite(1,i+1)],[suite(1,i+1),suite(1,i+1),suite(1,i+2) ]) end
x0
Il faut créer un fichier function
function y = f (x,a) y=4*a*x*(1-x) ;
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Deuxième cas a= 0.7
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Troisième cas a= .8
La suite devient divergente , mais les suites u2n et u2n+1 convergent chacune vers une limite différente.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
La suite u2n part de u
0 = 0.2 et u2n = f°f(u2n-2 ) ; la suite u2n+1 part de u
1 = f(u
0 ) et u2n+1 = f°f(u2n-1 )
Si on calcule f°f(x), la composée de avec f, f°f(x) = 16a2x(1-x)(1-4ax+4ax2) , on voit en faisant le graphique qu’il y a 3 points fixes :
