Calculer, par intégration de l’élément de volume, le volume : (a) d’un cylindre à base circulaire de rayon R et de heuteurh (b) d’une sphère de rayonR

Université Ibn Khaldoun de Tiaret Faculté des Sciences Appliquées Département des Sciences et de la Technologie

L 1 : Sciences & Techniques

A. U. : 2014/2015 UEF :F212 (PHYS 2)

PHYS 2 :Électricité & Magnétisme TD N^o1 : Compléments Mathématiques (Intégrales double et triple, Opérateurs vectoriels)

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» Exercice_:::::N^o1_:::: (Intégrale de surface et de volume)

1. Rappeler les expressions du vecteur position~rd’un pointMdans les trois systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques (polaires) et sphériques.

2. Donner pour chaque système de coordonnées, le vecteur déplacement, les surafces et volume élémentaires.

3. Calculer, par intégration de l’élément de surface, la surface : (a) d’un disque de rayon R,

(b) d’un cylindre à base circulaire de rayonR et de heuteurh, (c) d’une sphère de rayon R.

4. Calculer, par intégration de l’élément de volume, le volume : (a) d’un cylindre à base circulaire de rayon R et de heuteurh (b) d’une sphère de rayonR.

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» Exercice_:::::N^o2_:::: (Opérateur gradient)

Soit f(~r) un champ scalaire défini en tout pointM(x,y,z) de l’espace.

1. Définir le vecteur gradient −−→

graden coordonnées cartésiennes.

2. Soitdf(x,y,z) la différentielle totale def. Montrer que : df =−−→

grad (f)·−→ dr

3. En utilisant la définition de df, déterminer les composantes du vecteur gradient de f en coordonnées cylindriques et sphériques.

4. Calculer :−−→

grad (r),−−→

grad 1/r .

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» Exercice_:::::N^o3_:::: (Opérateurs vectoriels) Soit le champ vectoriel : −→

V(x,y,z) = (2x−y)−→

i + (2y−x)−→

j −4z−→ k 1. Calculerdiv(−→

V).

2. Vérifier que −→ rot(−→

V) =−→ 0.

3. Déterminer la fonction scalaire ϕ(x,y,z) telle que :−→

V =−−→

grad (ϕ)

Phys 2 TD N^o01: Compléments Mathématiques Page1/1

“doc” — 2002/9/17 — 15:42 — page 247 — #245 i

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COORDONNÉES CARTÉSIENNES

COORDONNÉES CYLINDRIQUES

COORDONNÉES SPHÉRIQUES z

y x

O M

uy

uz

u_x

j k

i

z

z x

O

u_θ uz

u_ρ

θ ρ M

z

x O

ur

u_θ u_ϕ

ϕ

θ M

u_ϕ

x = ρ cosθ = rsinθ cosϕ

y = ρ sinθ = rsinθ sinϕ

z = z = rcosθ

0 ≤ θ≤ 2π 0 ≤ θ≤ π, 0 ≤ ϕ≤ 2π

= icosθ + jsinθ ux

y

z k

ρ

θ =−isinθ+ jcosθ z=k

r= isinθcosϕ + jsinθ + jcosθ

sinϕ +ksinθ q = icosθcosϕ sinϕ − sinθ ϕ = −isinϕ

u = j

+ jcosϕ

k

= i

= u

u u u

u u u

dO M= dl dx dy dz

dO M= dl dρ ρdθ dz

dO M= dl dr rdθrsin q dϕ dl²= dx²+ dy²+ dz² dl²= dρ²+ρ²dθ²+ dz² dl²= dr²+ r²dθ²+ r²sin²θ dϕ²

N Q Q

P P

M M

dρ P P^'

N N^'

M M

Q

Q^' dS₂= dρdz

dS₃ = ρdθdρ

dS₁ = ρdθdz dz

dθ

dθ

dV =ρdθdρdz dV = r²sinθdθdrdϕ

dV = dxdydz

dS = dxdy = dxdz = dydz N

N Q

M dS₃ = rdθdr

P

M

N P

Q

dS₁ = r²sinθdθdϕ dS₂= rsinθdϕdθ

dϕ

∇=∂

∂x +∂

∂y +∂

∂zk ∂

∂ρ +1 ρ

∂

∂θ +∂

∂z

∂

∂r +1 r

∂

∂θ + 1 rsinθ

∂

∂ϕ

∇= ∇=

i  uρ uθ uz ur uq u_ϕ

∂x ∂y ∂z

∇.A · = ∂A_x

∂ +∂Ay

+∂A_z 1 ρ

∂(ρ Aρ )

∂ρ +1 ρ

∂A_θ

∂θ +∂A_z

∂z

1 r²

∂(r²A_r)

∂r + 1

rsinθ

∂(A θ sinθ)

∂θ +∂A_ϕ

∂ϕ

∂x∂ ∂

∂y ∂

∂z Ax Ay Az

1 ρ

∂ ρ

∂ρ ∂

∂θ ∂

A_ρ ρ A_θ A∂z_z

1 r²sinθ

r rsinθ

∂ ∂ r ∂

∂θ ∂

∂ϕ Ar r A_θ rsinθ Aϕ

∇.A = ∇.A =

∇∧A = ∇∧ A = ∇∧ A =

k

i  u_ρ u_θ uz ur u_θ u_ϕ

= ∂²

∂x²+ ∂²

∂y² + ∂ ²

∂z²

= 1 ρ

∂

∂ ρ∂

∂ + 1 ρ ²

∂ ²

∂ θ ²+∂²

∂z²

= 1 r²

∂

∂ r r²∂

∂ r + 1 r²sinθ

∂

∂θ sinθ∂

∂θ + 1

r²sin²θ∂ϕ ²

∂ ² r

Fig. A.4.

A. ÉLÉMENTS D’ANALYSE VECTORIELLE 247