R´ esoudre des ´ equations par le dessin
Nils Berglund
Institut Denis Poisson, Universit´e d’Orl´eans CNRS, UMR 7013
www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/berglund
Centre Galois, Juin 2018
Nils Berglund nils.berglund@univ-orleans.fr http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/berglund/
Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1
⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 1 / 25
Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1 0,9
= 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . .
0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1
⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99
= 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
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= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . .
(1−a)x= 1 ⇒ x = 1 1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1
⇒ x = 1 1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a
(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 1 / 25
Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 1 / 25
Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)
0,9·x= 1 ⇒ x = 1
0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1
0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1
1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax
= 1 +a(1 +ax)
= 1 +a+a2x
= 1 +a+a2(1 +ax)
= 1 +a+a2+a3x
=. . .
= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?
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Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01 ⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16+. . . 1
1 2
1 4
1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01 ⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16+. . . 1
1 2
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1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16+. . . 1
1 2
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. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
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Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
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2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2
= 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16+. . . 1
1 2
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1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
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Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1
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1 4
1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
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Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 1
1 2
1 4
1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
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Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
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2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 12
1 4
1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 14
1 8
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
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. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1 0
1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
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. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1 2
1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1
1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
Conjecture
On a 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)
. a= 0,1⇒ 1
1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .
. a= 0,01⇒ 1
1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .
. a= 1
2 ⇒ 1 1−12 = 1
1 2
= 2 = 1 +1 2 +1
4 +1 8+ 1
16 +. . .
1 12 14 18
. a= 1 ⇒ 1
1−1 = 1
0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞
. a=−1⇒ 1
1−(−1) = 1
2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???
. a= 2 ⇒ 1
1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1
D´emonstration.
Soit n>1un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.
Soit n>1 un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.
Soit n>1 un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.
Soit n>1 un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.
Soit n>1 un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a .
Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
La s´ erie g´ eom´ etrique
Th´eor`eme 1
1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.
Soit n>1 un entier. Alors
(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an
−a(1 +a+a2+· · ·+an)
= 1 +a+a2+· · ·+an
−a−a2− · · · −an−an+1
= 1−an+1
Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25
Une ´ equation du second degr´ e
Consid´erons l’´equation
ax2−x+ 1 = 0
Th´eor`eme
Soit l’´equation du second degr´e
ax2+bx+c = 0
On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors
. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√
∆)/(2a);
. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);
. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle. Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles
1±√ 1−4a 2a
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25
Une ´ equation du second degr´ e
Consid´erons l’´equation
ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme
Soit l’´equation du second degr´e
ax2+bx+c = 0
On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors
. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√
∆)/(2a);
. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);
. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.
Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles
1±√ 1−4a 2a
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25
Une ´ equation du second degr´ e
Consid´erons l’´equation
ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme
Soit l’´equation du second degr´e
ax2+bx+c = 0
On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors
. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√
∆)/(2a);
. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);
. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.
Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.
Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles 1±√
1−4a 2a
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25
Une ´ equation du second degr´ e
Consid´erons l’´equation
ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme
Soit l’´equation du second degr´e
ax2+bx+c = 0
On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors
. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√
∆)/(2a);
. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);
. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.
Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.
Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles 1±√
1−4a 2a
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . .
Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Solution sous forme de s´ erie
ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2
= 1 +a(1 +ax2)2
= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)
= 1 +a+ 2a2x2+a3x4
= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4
= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .
= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−
√1−4a 2a
Question :
Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients
1, 1, 2, 5, 14, . . . ?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25
Repr´ esentation graphique
x = 1 +ax2
= 1 +a
= 1 +a +a2 +a2 +a3
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
Observation :
Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25
Repr´ esentation graphique
x = 1 +ax2
= 1 +a
= 1 +a +a2 +a2 +a3
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
Observation :
Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25
Repr´ esentation graphique
x = 1 +ax2
= 1 +a
= 1 +a +a2 +a2 +a3
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
Observation :
Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25
Repr´ esentation graphique
x = 1 +ax2
= 1 +a
= 1 +a +a2 +a2 +a3
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
Observation :
Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25
Repr´ esentation graphique
x = 1 +ax2
= 1 +a
= 1 +a +a2 +a2 +a3
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
= 1 +a +a2 +a2 +a3
+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .
Observation :
Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25
Les nombres de Catalan
NotonsCn le nombre d’arbres binaires `a n+ 1feuilles. On l’appelle le ni`emenombre de Catalan.
C0 = 1 C1 = 1 C2 = 2 C3 = 5 C4 = 14 C5 = ? . . .
Eug`ene Charles Catalan (1814–1894)
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, . . .
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 7 / 25
Les nombres de Catalan
NotonsCn le nombre d’arbres binaires `a n+ 1feuilles. On l’appelle le ni`emenombre de Catalan.
C0 = 1 C1 = 1 C2 = 2 C3 = 5 C4 = 14 C5 = ? . . .
Eug`ene Charles Catalan (1814–1894)
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, . . .
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 7 / 25
Une relation de r´ ecurrence
Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.
k+ 1 feuilles Ck choix
n−k+ 1 feuilles
Cn−k choix
Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0
Exemples:
C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5
C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 8 / 25
Une relation de r´ ecurrence
Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.
k+ 1 feuilles Ck choix
n−k+ 1 feuilles
Cn−k choix
Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0
Exemples:
C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5
C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 8 / 25
Une relation de r´ ecurrence
Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.
k+ 1 feuilles Ck choix
n−k+ 1 feuilles
Cn−k choix
Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0
Exemples:
C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5
C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 8 / 25
Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1
Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
R´esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 9 / 25
Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb
ab aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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Une autre formule pour les nombres de Catalan
Th´eor`eme
Cn= 1 n+ 1
2n n
= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.
On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :
x y
axby
ab aabb
aaabbb
ab abab
aababb ab
aabb abaabb
ab abab ababab
ab ab
aabbab
Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.
aaabbb aababb abaabb ababab aabbab
On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .
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