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R´esoudre des ´equations par le dessin

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Academic year: 2022

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(1)

R´ esoudre des ´ equations par le dessin

Nils Berglund

Institut Denis Poisson, Universit´e d’Orl´eans CNRS, UMR 7013

www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/berglund

Centre Galois, Juin 2018

Nils Berglund nils.berglund@univ-orleans.fr http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/berglund/

(2)

Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1

⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 1 / 25

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1 0,9

= 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . .

0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1

⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99

= 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . .

(1−a)x= 1 ⇒ x = 1 1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1

⇒ x = 1 1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a

(1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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(15)

Premiers exemples (pour l’instant sans dessins)

0,9·x= 1 ⇒ x = 1

0,9 = 1,11111111. . . 0,99·x= 1 ⇒ x = 1

0,99 = 1,01010101. . . (1−a)x= 1 ⇒ x = 1

1−a (1−a)x= 1 ⇔ x = 1 +ax

= 1 +a(1 +ax)

= 1 +a+a2x

= 1 +a+a2(1 +ax)

= 1 +a+a2+a3x

=. . .

= 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ?

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Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01 ⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . 1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(17)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01 ⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . 1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(18)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . 1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2

= 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . . 1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(21)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 1

1 2

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 12

1 4

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(23)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 14

1 8

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(24)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(25)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(26)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1 0

1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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(27)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

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Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1 2

1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(29)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(30)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1

1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(31)

Conjecture

On a 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . (pour certains a)

. a= 0,1⇒ 1

1−0,1 = 1,11111111. . .= 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +. . .

. a= 0,01⇒ 1

1−0,01 = 1,01010101. . .= 1 + 0,01 + 0,0001 +. . .

. a= 1

2 ⇒ 1 1−12 = 1

1 2

= 2 = 1 +1 2 +1

4 +1 8+ 1

16 +. . .

1 12 14 18

. a= 1 ⇒ 1

1−1 = 1

0 1 + 1 + 1 +· · ·=∞

. a=−1⇒ 1

1−(−1) = 1

2 1 + (−1) + 1 + (−1) +· · ·=???

. a= 2 ⇒ 1

1−2 =−1 1 + 2 + 4 + 8 +· · ·=∞

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 2 / 25

(32)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1

D´emonstration.

Soit n>1un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(33)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1 un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(34)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1 un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(35)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1 un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(36)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1 un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a .

Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(37)

La s´ erie g´ eom´ etrique

Th´eor`eme 1

1−a = 1 +a+a2+a3+a4+a5+. . . ⇔ −1<a<1 D´emonstration.

Soit n>1 un entier. Alors

(1−a)(1 +a+a2+· · ·+an) = 1 +a+a2+· · ·+an

−a(1 +a+a2+· · ·+an)

= 1 +a+a2+· · ·+an

−a−a2− · · · −an−an+1

= 1−an+1

Par cons´equent, sia6= 1, alors 1 +a+a2+· · ·+an= 1−an+1 1−a . Oran+1 →0lorsquen → ∞si et seulement si −1<a<1.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 3 / 25

(38)

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax2−x+ 1 = 0

Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax2+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle. Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles

1±√ 1−4a 2a

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25

(39)

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax2+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a. Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles

1±√ 1−4a 2a

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25

(40)

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax2+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.

Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles 1±√

1−4a 2a

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25

(41)

Une ´ equation du second degr´ e

Consid´erons l’´equation

ax2−x+ 1 = 0 Th´eor`eme

Soit l’´equation du second degr´e

ax2+bx+c = 0

On suppose a6= 0. Soit∆ =b2−4ac lediscriminant. Alors

. si ∆>0, l’´equation admet deux solutions r´eelles(−b±√

∆)/(2a);

. si ∆ = 0, l’´equation admet une unique solution −b/(2a);

. si ∆<0, l’´equation n’admet pas de solution r´eelle.

Dans notre cas, b=−1,c = 1 et donc ∆ = 1−4a.

Donc si a< 14, l’´equation admet 2 solutions r´eelles 1±√

1−4a 2a

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 4 / 25

(42)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(43)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(44)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(45)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(46)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(47)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(48)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . .

Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(49)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(50)

Solution sous forme de s´ erie

ax2−x+ 1 = 0 ⇔ x= 1 +ax2

= 1 +a(1 +ax2)2

= 1 +a(1 + 2ax2+a2x4)

= 1 +a+ 2a2x2+a3x4

= 1 +a+ 2a2(1 +ax2)2+a3(1 +ax2)4

= 1 +a+ 2a2+ (1 + 4x2)a3+ (4x2+ 2x4)a4+. . .

= 1 +a+ 2a2+ 5a3+ 14a4+. . . Remarque : Cette s´erie correspond `a la solution 1−

1−4a 2a

Question :

Y a-t-il un moyen plus simple de d´eterminer les coefficients

1, 1, 2, 5, 14, . . . ?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 5 / 25

(51)

Repr´ esentation graphique

x = 1 +ax2

= 1 +a

= 1 +a +a2 +a2 +a3

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

Observation :

Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25

(52)

Repr´ esentation graphique

x = 1 +ax2

= 1 +a

= 1 +a +a2 +a2 +a3

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

Observation :

Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25

(53)

Repr´ esentation graphique

x = 1 +ax2

= 1 +a

= 1 +a +a2 +a2 +a3

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

Observation :

Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25

(54)

Repr´ esentation graphique

x = 1 +ax2

= 1 +a

= 1 +a +a2 +a2 +a3

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

Observation :

Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25

(55)

Repr´ esentation graphique

x = 1 +ax2

= 1 +a

= 1 +a +a2 +a2 +a3

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

= 1 +a +a2 +a2 +a3

+a3 +a3 +a3 +a3 +. . .

Observation :

Le coefficient de an est ´egal au nombre d’arbres binaires `an+ 1feuilles.

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 6 / 25

(56)

Les nombres de Catalan

NotonsCn le nombre d’arbres binaires `a n+ 1feuilles. On l’appelle le ni`emenombre de Catalan.

C0 = 1 C1 = 1 C2 = 2 C3 = 5 C4 = 14 C5 = ? . . .

Eug`ene Charles Catalan (1814–1894)

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, . . .

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 7 / 25

(57)

Les nombres de Catalan

NotonsCn le nombre d’arbres binaires `a n+ 1feuilles. On l’appelle le ni`emenombre de Catalan.

C0 = 1 C1 = 1 C2 = 2 C3 = 5 C4 = 14 C5 = ? . . .

Eug`ene Charles Catalan (1814–1894)

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, . . .

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 7 / 25

(58)

Une relation de r´ ecurrence

Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.

k+ 1 feuilles Ck choix

nk+ 1 feuilles

Cn−k choix

Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0

Exemples:

C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5

C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 8 / 25

(59)

Une relation de r´ ecurrence

Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.

k+ 1 feuilles Ck choix

nk+ 1 feuilles

Cn−k choix

Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0

Exemples:

C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5

C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 8 / 25

(60)

Une relation de r´ ecurrence

Un arbre binaire `an+ 2feuilles est compos´e d’un arbre `ak+ 1feuilles et d’un arbre `an−k+ 1feuilles avec 06k 6n.

k+ 1 feuilles Ck choix

nk+ 1 feuilles

Cn−k choix

Cn+1=C0Cn+C1Cn−1+C2Cn−2+· · ·+Cn−1C1+CnC0

Exemples:

C3 =C0C2+C12+C2C0 = 2 + 1 + 2 = 5

C4 =C0C3+C1C2+C2C1+C3C0= 5 + 2 + 2 + 5 = 14 C5 =?

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(61)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1

Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

esoudre des ´equations par le dessin Juin 2018 9 / 25

(62)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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(63)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb

ab aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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(64)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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(65)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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(67)

Une autre formule pour les nombres de Catalan

Th´eor`eme

Cn= 1 n+ 1

2n n

= 2n(2n−1)(2n−2). . .(n+ 2) n(n−1)(n−2). . .2·1 Id´ee de la d´emonstration.

On associe `a chaque nœud un mot (les feuilles ayant un mot vide) :

x y

axby

ab aabb

aaabbb

ab abab

aababb ab

aabb abaabb

ab abab ababab

ab ab

aabbab

Puis on associe `a chaque mot une ligne bris´ee aveca7→/et b7→ \.

aaabbb aababb abaabb ababab aabbab

On obtient des “excursions” de 2n pas, restant au-dessus de l’abscisse (appel´eschemins de Dyck), que l’on sait compter . . .

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Références

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