HOMÉOMORPHISME GÉNÉRIQUE par
Pierre-Antoine Guihéneuf
Résumé. Nous nous proposons d'étudier le comportement dynamique des discrétisations d'un homéomorphisme générique d'une variété compacte, avec ou sans hypothèse préalable de préservation d'une mesure donnée (homéomorphisme conservatif ou dissipatif). Si la dy- namique des discrétisations d'un homéomorphisme conservatif générique ne dépend pas de l'homéomorphisme lui-même mais essentiellement de l'ordre de la discrétisation, celle des discrétisations d'un homéomorphisme dissipatif générique converge vers la dynamique de l'homéomorphisme en question.
Abstract. This paper concerns the dynamical behaviour of discretizations of a generic homeomorphism of a compact manifold. We study both conservative and dissipative homeo- morphisms (i.e., with or without the assumption that the homeomorphism preserves a given measure). On the one hand, the dynamic of the discretizations of a generic conservative ho- meomorphism does not depend on the homeomorphim itself but rather on the order of the discretization. On the other hand, for a generic dissipative homeomorphism, this dynamic converges to that of the initial homeomorphism.
Table des matières
1. Introduction. . . 2
2. Cadre de l'étude. . . 9
3. Quelques exemples de grilles de discrétisation. . . 13
Partie I. Discrétisations d'un homéomorphisme conservatif générique. . . 16
4. Types d'approximation denses. . . 16
5. Théorème de Lax. . . 18
6. Comportement individuel des discrétisations. . . 19
7. Comportement en moyenne des discrétisations. . . 28
8. Mesures invariantes. . . 33
9. Simulations numériques. . . 38
Classication mathématique par sujets (2010). 37M05, 37M99, 37B99, 37A05.
Mots clefs. Homéomorphisme conservatif générique, homéomorphisme dissipatif générique, pro- priété dynamique, discrétisation.
Partie II. Discrétisations d'un homéomorphisme dissipatif
générique. . . 58
10. Le shredding lemma et son homologue discret. . . 59
11. Dynamique des discrétisations d'un homéomorphisme générique. . . 62
12. Convergence de mesures. . . 63
13. Simulations numériques. . . 66
Références. . . 89
1. Introduction
Lorsqu'on essaie de simuler un système dynamique à temps discret avec un ordinateur, les calculs s'eectuent avec une précision numérique nie. Or il est possible que les erreurs nu- mériques commises à chaque itération s'ajoutent, voire s'amplient, si bien que l'orbite d'un point calculée numériquement n'aura plus grand chose à voir, au bout d'un certain temps, avec l'orbite réelle de ce point. Il n'empêche qu'une orbite calculée numériquement est, à tout moment, proche d'une orbite réelle ; on peut donc espérer que le comportement collectif des orbites calculées numériquement apporte des informations sur le comportement collectif des orbites réelles. Lorsqu'on étudie un système dynamique, les propriétés auxquelles on s'in- téresse sont bien souvent des propriétés asymptotiques (i.e. qui concernent le comportement du système à long terme) d'une part, et des propriétés concernant le comportement collectif des orbites (voire même, l'action du système sur les ouverts ou les mesures de probabilités) d'autre part. Cela amène à se poser la question suivante : de telles propriétés peuvent-elles se détecter sur des simulations numériques ?
Considérons un système dynamique dont l'espace des états est une variétéX et dont la loi d'évolution est donnée par une applicationf deX dans lui-même. Simuler numériquement le comportement de ce système dynamique à une précision10−N donnée revient essentiellement à le discrétiser, i.e. à remplacer l'espace des étatsX, qui est continu, par l'espace discretEN
constitué des points deX dont les coordonnées sont des nombres décimaux avec au plusN chires après la virgule, et à remplacer l'applicationf par sa discrétisationfN :EN →EN qui à un point x de EN associe le point de EN le plus proche de f(x). On peut ainsi préciser un peu la question soulevée au paragraphe précédent : les propriétés dynamiques de f peuvent-elles se lire sur la dynamique de ses discrétisations(fN)N≥0?
Ces questions ont principalement été étudiées de manière empirique à l'aide de simulations numériques sur des exemples bien choisis (voir par exemple [Boy86], [GB88], [KMP99]
ou bien [Lan98]). Ainsi, un court article de J.-M. Gambaudo et C. Tresser [GT83] donne l'exemple de deux homéomorphismes très simples de[0,1]2 qui possèdent des puits qui at- tirent la plupart des orbites mais qui sont indétectables en pratique, tout simplement parce que la taille de leurs bassins est beaucoup trop petite ; la dynamique réelle de ces homéomor- phismes n'a alors pas grand chose à voir avec celle observée sur les simulations. D'un point de vue plus théorique, É. Ghys, dans [Ghy06], a étudié le comportement dynamique des discré- tisations de l'automorphisme d'Anosov standard du toreT2(donné par(x, y)7→(y, x+y)) ; il y observe que la dynamique de ces discrétisations (il montre ce sont des permutations
d'ordre exceptionnellement petit) n'a rien à voir avec la dynamique réelle de l'automor- phisme considéré, qui est un paradigme bien connu de système chaotique. É. Ghys explique que le comportement dynamique des discrétisations de l'automorphisme qu'il considère est lié aux propriétés arithmétiques très particulières de ce dernier. Cela peut laisser espérer qu'une telle divergence entre la dynamique réelle d'un système et la dynamique des discréti- sations de ce système relève plus de l'exception que du comportement typique. Cet espoir est étayé par des résultats plus récents : S. Hayashi a montré dans [Hay12] que le phénomène pointé par J.-M. Gambaudo et C. Tresser n'apparait pas génériquement pour des diéomor- phismesC1de variétés compactes (au sens de la topologieC1). De son côté, T. Miernowski a fait une étude assez complète des discrétisations des homéomorphismes du cercle [Mie06], en établissant notamment des propriétés vériées par les discrétisations d'homéomorphismes ou de diéomorphismes typiques (au sens de Baire, ou au sens de la prévalence). Il montre essentiellement que les propriétés dynamiques d'un homéomorphisme/diéomorphisme ty- pique se lisent sur la dynamique de ses discrétisations. Ses preuves utilisent de manière cruciale l'existence d'un ordre cyclique préservé ; elles ne sauraient donc se généraliser aux dimensions supérieures, d'autant plus que les résultats obtenus par l'auteur sont très dié- rents selon que le nombre de rotation de l'homéomorphisme est rationnel ou non. Dans le second chapitre de sa thèse, T. Miernowski a cependant mené une courte étude des proprié- tés dynamiques des homéomorphismes conservatifs génériques du toreT2 : il montre qu'un homéomorphisme conservatif générique possède une innité de discrétisations qui sont des permutations cycliques (corollaire 24 de [Mie05]). C'est typiquement le genre de résultats que nous cherchons à obtenir ; son travail est en quelque sorte le point de départ de cet article.
Nous nous proposons ici d'étudier les propriétés dynamiques des discrétisations d'homéo- morphismes génériques au sens de Baire. Autrement dit, nous nous intéresserons aux proprié- tés qui sont vériés sur une intersection dénombrable d'ouverts denses d'homéomorphismes d'une variétéX donnée, pour la topologie de la convergence uniforme. Nous établirons des propriétés aussi bien pour les homéomorphismes dissipatifs, i.e. les homéomorphismes quel- conques deX, qu'à celle des homéomorphismes conservatifs, i.e. les homéomorphismes de X qui préservent une bonne mesure de probabilité xée a priori. Notre étude s'appuie prin- cipalement sur des techniques déjà connues de dynamique générique, aussi bien conservative (théorème de Lax, modication locale, etc.) que dissipative (shredding lemma).
Bien sûr, s'intéresser à la dynamique des discrétisations des homéomorphismes génériques n'a guère de sens que si l'on connaît relativement bien la dynamique des homéomorphismes génériques eux-mêmes. Le premier résultat de dynamique générique des homéomorphismes conservatifs a été obtenu en 1941 par J. Oxtoby et S. Ulam, lorsqu'ils montrèrent (dans [OU41]) que l'ergodicité est générique parmi les homéomorphismes conservatifs d'une va- riété compacte de dimension plus grande que deux. Ils apportaient par là une réponse à la conjecture (certes vague) de G. Birkho et E. Hopf, qui stipulait que l'ergodicité devait être le cas général . Par la suite, des avancées importantes sur ce sujet ont été faites par A. Katok et A. Stepin [KS70], lorsqu'ils introduisirent l'utilisation de la topologie faible pour montrer notamment la généricité du mélange faible, ainsi que par S. Alpern [Alp78], à l'origine du théorème de transfert. Ce dernier a aussi énoncé une amélioration du théorème
de Lax [Lax71] qui constitue un outil important dans l'étude des propriétés dynamiques génériques des homéomorphismes conservatifs.
E. Akin, M. Hurley et J. Kennedy ont mené une étude complète des propriétés topolo- giques génériques des homéomorphismes dissipatifs de variétés compactes (voir [AHK03]).
Les propriétés ergodiques, quant à elles, ont été étudiées il y a peu par F. Abdenur et M.
Andersson dans l'article [AA12].
Les résultats que nous avons obtenus concernent les homéomorphismes génériques d'une variété compacte à bord de dimensionn≥2. Pour ne pas avoir à dénir dès maintenant la notion de discrétisation d'un homéomorphisme dans ce cadre général, nous nous contente- rons, dans cette introduction, d'énoncer les principaux résultats sur le toreTn et pour des discrétisations uniformes surTn. Le cadre général dans lequel les résultats sont valables sera déni dans la section2.
Soitn≥2 un entier. Pour tout entierN, on considère le sous-ensemble ni EN du tore Tn = Rn/Zn constitué des points de dont les cooordonndes sont des nombres décimaux avec au plusN chires après la virgule :
EN = i1
10N, . . . , in
10N
∈Tn
(i1, . . . , in)∈Zn
=Zn/10NZn.
On considère alors une projectionPN deTnsurEN donnée par la minimisation de la distance euclidienne : pour toutx∈Tn,PN(x)est un des points deEN (en général, le point deEN) les plus proches de x. On note fN : EN → EN la discrétisation d'un homéomorphisme f :Tn→Tn selonEN, donnée par fN =PN ◦f.
La dynamique d'une application nieσ:EN →EN est vraiment simple : si on se donne x ∈ EN, l'orbite (σk(x))k est pré-périodique et l'union des orbites périodiques de σ, que nous noterons Ω(σ) et appellerons ensemble invariant maximal de σ, est exactement la réunion des ensembles ω-limites de points de EN. En vue de l'étude dynamique de σ, on peut s'intéresser à des quantités telles que le cardinal deΩ(σ), le temps de stabilisation deσ (i.e. l'entier minimalttel queσt(EN) = Ω(σ)), le nombre d'orbites deσ|Ω(σ), leur longueur et, plus généralement, la fonction de répartition des longueurs des orbites deσ|Ω(σ), ou bien la période deσ|Ω(σ). . .
Dans une première partie, nous nous intéresserons aux propriétés des discrétisations des homéomorphismes conservatifs(1)génériques. Les résultats que l'on obtient relèvent tous du même phénomène : les propriétés des discrétisations ne dépendent pas vraiment de l'homéo- morphisme que l'on discrétise, mais dépendent radicalement de l'ordre de la discrétisation (donc de l'entierN). Ainsi, par exemple, pour un homéomorphismef donné, la discrétisa- tionfN est, en fonction des valeurs de l'entierN, tantôt une permutation cyclique, tantôt une permutation avec beaucoup d'orbites, tantôt une application dont l'ensemble maximal invariant est petit etc. Cette occurrence simultanée et générique de propriétés opposées dans les discrétisations peut sembler relativement étonnante si on la compare à ce qui se passe pour la dynamique des homéomorphismes conservatifs eux-mêmes : il existe un loi du
1. Autrement dit qui préservent la mesure de Lebesgue.
0-1 (voir le dernier chapitre de [Gui12]) qui stipule qu'étant donnée une propriété ergodique portant sur les homéomorphismes conservatifs, soit celle-ci est générique, soit son contraire l'est.
Tous ces résultats portant sur les discrétisations sont obtenus à l'aide d'une seule et même technique, basée sur le résultat suivant : siT est une propriété portant sur les discrétisations qui est dense parmi les homéomorphismes conservatifs, et sif est un homéomorphisme gé- nérique, alors il existe une innité de discrétisations def qui sont de type T. Une première application de ce résultat se déduit du théorème de Lax, qui arme que tout homéomor- phisme conservatif peut être approché par une permutation cyclique des éléments d'une grille de discrétisation. Il vient le théorème suivant :
Théorème. Pour un homéomorphisme conservatif générique(2) f, il existe une innité d'entiersN tels que la discrétisation fN def soit une permutation cyclique.
À partir de là, on établit un certain nombre de variantes du théorème de Lax, qui abou- tissent toutes, par l'application du résultat précédent, à un résultat concernant les discréti- sations d'un homéomorphisme générique. Ainsi, le théorème suivant porte sur une propriété opposée des discrétisations par rapport au théorème précédent :
Théorème. Pour un homéomorphisme conservatif génériquef, pour toutε >0, il existe une innité d'entiersN tels que le rapport des cardinaux de Ω(fN) et deEN soit inférieur à ε, ainsi qu'une innité d'entiers M tels que fM soit une permutation de EM ayant au moins1/εorbites périodiques.
On pourrait raisonnablement se dire qu'en revanche, en moyenne, les propriétés de l'ho- méomorphisme de départ se lisent sur les discrétisations ; il n'en est rien : les propriétés combinatoires des permutations restent les mêmes lorsqu'on regarde leur fréquence selon l'ordre de la discrétisation. On établira par exemple :
Théorème. Pour un homéomorphisme conservatif générique f, la limite supérieure, lorsque N tend vers l'inni, de la portion d'entiers N compris entre 1 et M tels que fN
soit une permutation cyclique, est égale à1.
Enn, on étudie le comportement ergodique des discrétisations. À toute discrétisationfN
def, on peut associer une mesureµfN, qui est la limite au sens de Cesàro des images de la mesure uniforme par les itérés defN. Cette mesure est supportée par l'ensemble invariant maximal defN; elle est uniforme sur toute orbite périodique et le poids total d'une orbite périodique est proportionnel à la taille du bassin d'attraction de cette orbite. Le résultat que l'on obtient va dans la même direction que les précédents : l'ensemble des mesuresµfN s'accumule sur le plus gros ensemble sur lequel il peut a priori s'accumuler :
Théorème. Pour un homéomorphisme conservatif générique f, l'ensemble des points d'accumulation de la suite(µfN)N∈N est exactement l'ensemble des mesures invariantes par f.
2. C'est à dire qu'il existe un Gδ dense de l'ensemble des homéomorphismes conservatifs du tore sur lequel la conclusion du théorème est vériée.
On étudie ensuite les propriétés des discrétisations des homéomorphismes dissipatifs(3) génériques. L'outil base est le shredding lemma de F. Abdenur et M. Andersson [AA12], qui implique qu'un homéomorphisme générique possède des bassins d'attraction qui recouvrent presque tout le toreTn. Ce lemme se transmet aux discrétisations, par conséquent les pro- priétés dynamiques génériques des homéomorphismes dissipatifs obtenues à l'aide du shred- ding lemma sont aussi valables pour les discrétisations ; de plus on observe un phénomène de convergence de la dynamique des discrétisationsfN vers celle def. Plus précisément il y a pistage des orbites de presque tous les points deTn sousf par les orbites defN : Théorème. Pour un homéomorphisme conservatif générique f, pour toutε >0 et tout δ >0, il existe un ouvert dense de mesure pleine O de Tn tel que pour toutx∈O et tout δ >0, pour toutN assez grand, l'orbite dexN parfN δ-piste celle dexparf.
On en déduit bon nombre de propriétés dynamiques des discrétisations : par exemple, pour un homéomorphisme conservatif générique f, le rapport des cardinaux de l'ensemble invariant maximalΩ(fN)sur celui de la grille de discrétisation tend vers 0 lorsqueN tend vers l'inni. D'autre part, la proposition implique que les bassins d'attraction de l'homéo- morphisme original se voient sur les discrétisations ; contrairement au cas conservatif, les discrétisations nous fournissent beaucoup d'informations sur la dynamique de l'homéomor- phisme. Mieux encore, toujours à l'aide du shredding lemma, on montre la proposition sui- vante portant sur les mesures invariantes :
Théorème. Pour un homéomorphisme génériquef, la suite des moyennes de Cesàro des images de la mesure de Lebesgue par les itérés def converge vers une mesure de probabilité, notéeµf. De plus il y a convergence faible des mesuresµfN vers la mesureµf.
Les résultats que nous avons énoncés peuvent se résumer informellement de la manière suivante : si on peut observer toutes les dynamiques possibles sur les discrétisations d'un homéomorphisme conservatif générique, la dynamique des discrétisations d'un homéomor- phisme dissipatif générique tend quant à elle vers celle de l'homéomorphisme que l'on dis- crétise.
Rappelons que les résultats que nous venons d'énoncer sur le tore muni de la mesure de Lebesgue peuvent s'étendre à un contexte plus général ; nous nous attachons maintenant à la dénition précise de ce contexte.
Pour confronter les résultats obtenus à la réalité des discrétisations numériques, nous avons eectué des simulations. En eet, il n'est pas du tout clair que le comportement géné- rique puisse s'observer sur les discrétisations calculables d'un homéomorphisme donné par une formule simple. D'une part, chacun de nos résultats est valable pour un homéomor- phisme générique , rien n'indique que ces résultats s'appliquent sur des exemples concrets homéomorphismes dénis par des formules simples. D'autre part, les résultats que nous ob- tenons sont du type il existe une innité d'entiers N tels que la discrétisation d'ordre
3. Autrement dit sans hypothèse de préservation de la mesure.
N. . . , mais on n'a aucun contrôle sur les entiers N concernés ; il se pourrait très bien que ces entiers soient tous beaucoup plus grands que les ordres de discrétisations calculables en pratique. Concrètement, nous avons testé les discrétisations d'homéomorphismes du toreT2 du même type que ceux testé par T. Miernowski dans sa thèse [Mie05] :
f(x, y) =Q◦P(x, y) ou f(x, y) =P◦Q◦P(x, y),
oùP et Qsont deux homéomorphismes du tore ne modiant qu'une seule coordonnée : P(x, y) = (x, y+p(x, y)) et Q(x, y) = (x+q(x, y), y),
et sur des grilles de discrétisations uniformes : EN =
i1
N, . . . ,in N
∈Tn
∀j,0≤ij≤N−1
. En pratique, nous avons testé sept homéomorphismes :
f1=P◦Q◦P, avec p(x) = 1
259cos(2π×227x) + 1
271sin(2π×253x), q(y) = 1
287cos(2π×241y) + 1
263sin(2π×217y).
Cet homéomorphisme conservatif correspond à une petite perturbationC0de l'identité.
f2 =f1◦A, soitf2 =P◦Q◦P◦A, cela en fait un homéomorphisme semi-conjugué à A, mais pas conjugué. Comme pour f1, nous avons déni f2 dans l'espoir que le comportement de ses discrétisations soit assez proche de celui des discrétisations d'un homéomorphisme générique.
f3=Q◦P◦A, où
p(x) = 1
259cos(2π×x) + 1
271cos(2π×5x), q(y) = 1
287cos(2π×y) + 1
263cos(2π×7y).
Dans ce cas,f3 est une perturbation conservative non seulementC0 petite, mais aussi C1 petite, de l'automorphisme d'Anosov standard. Un tel diéomorphisme est topolo- giquement conjugué àA; le but des simulations est de vérier si cette propriété change beaucoup le comportement des discrétisations.
f4=Q◦P, avec
p(x, y) = 1
259cos(2π×227y) + 1
271sin(2π×233x), q(x, y) = 1
287cos(2π×241y) + 1
263sin(2π×217y) + 1
263cos(2π×271x).
Cet homéomorphisme dissipatif correspond à une petite perturbationC0de l'identité.
f5=f4◦A, soitf5=Q◦P ◦A, cela en fait un homéomorphisme semi-conjugué àA, mais pas conjugué.
f6=P◦Q◦P, avec p(x, y) = 1
259th 50 cos(2π×y) + 1
271th 50 cos(2π×5x) , q(x, y) = 1
287th 50 cos(2π×y) + 1
263th 50 cos(2π×7y) + 1
263th 50 cos(2π×3x) . Cet homéomorphisme dissipatif est proche de l'identité en topologieC0, mais possède un petit nombre de puits, contrairement àf4.
f7=Q◦P◦A, où
p(x, y) = 1
259cos(2π×y) + 1
271cos(2π×5x), q(x, y) = 1
287cos(2π×y) + 1
263cos(2π×7y) + 1
263cos(2π×3x).
Comme dans le cas conservatif, le but des simulations est de tester si le fait d'être topologiquement conjugué à l'automorphisme d'Anosov standard change beaucoup le comportement des discrétisations.
Pour des raisons pratiques, nous nous sommes limités à des grilles de tailles inférieures à 215×215 : les données initiales deviennent rapidement très grandes et l'algorithme créé des variables temporaires qui sont d'une taille de l'ordre de cinq fois la taille des données initiales. Par exemple, pour une grille215×215, l'algorithme occupe déjà entre25Go et30 Go de mémoire vive sur la machine.
Les résultats des simulations sont contrastés : si du point de vue quantitatif on n'observe pas du tout ce qui se passe pour un homéomorphisme générique sur les discrétisations des petites perturbations conservatives de l'identité et de l'automorphisme d'Anosov standard A, le comportement des discrétisations semble énormément dépendre des ordres de discréti- sation, notamment en ce qui concerne la simulation des mesures invariantesµfN. Il y a aussi une diérence nette entre ce qui se passe au voisinage de l'identité et celui deA, qui pourrait s'expliquer par le fait que composer un homéomorphisme proche de l'identité parAtend à beaucoup mélanger sa dynamique : par exemple les orbites périodiques des discrétisations deviennent beaucoup plus longues, et les mesuresµfN sont la plupart du temps plus régu- lières. Nous avons aussi simulé de petites perturbations de Aen topologieC1, pour voir si le fait d'être conjugué à un automorphisme d'Anosov peut se voir sur les discrétisations ; il semble que cela ne soit pas le cas, du moins pour les exemples que nous avons testé et à des ordres de discrétisation raisonnables.
Nous avons aussi eectué les simulations d'homéomorphismes dissipatifs. Les résultats des discrétisations des petites perturbations de l'identité et de l'automorphisme d'Anosov standard (en topologieC0) pourraient sembler à première vue décevants : on ne détecte pas les puits des homéomorphismes de départ, et n'observe presque pas de diérence avec le cas conservatif. Ce comportement est identique à celui mis en évidence par J.-M. Gambaudo et C. Tresser dans [GT83], où les auteurs expliquent que même avec des exemples assez simples de systèmes dynamiques dissipatifs, la taille des bassins peut être très petite, ce qui les rend indétectables en pratique. C'est pourquoi il nous a semblé judicieux de tester aussi les simulations d'un homéomorphismeC0-proche de l'identité, mais avec des puits dont les bassins sont susamment grands ; dans ce cas les simulations révèlent un comportement qui
ressemble fortement à celui décrit par les résultats théoriques, à savoir que la dynamique des discrétisations converge vers celle de l'homéomorphisme de départ. Nous avons là aussi simulé de petites perturbations (dissipatives cette fois) de l'automorphisme d'Anosov standardAen topologieC1, qui sont conjuguées àA; de nouveau il n'apparaît pas de diérence qualitative notoire avec les discrétisations de la petite perturbationC0 deA.
2. Cadre de l'étude
La variétéX et la mesureλ. Les résultats énoncés dans l'introduction sur le toreTn et la mesure de Lebesgue Leb s'étendent en fait à toute variété diérentielleX de dimension n≥2, compacte et éventuellement à bord, munie d'une métrique riemannienne d. On xe une fois pour toutes une telle variété X munie de la métrique d. Dans le cas général, la mesure de Lebesgue surTn peut être remplacée par une bonne mesure λsurX :
Dénition 1. Une mesure de probabilité borélienne λ sur X est appelée une bonne mesure, ou mesure d'Oxtoby-Ulam si elle vérie les conditions suivantes :
(i) elle est sans atome (ne charge pas les points),
(ii) elle est de support total (strictement positive sur les ouverts non vides), (iii) elle est nulle sur le bord deX.
On xe une fois pour toutes une bonne mesureλsur X.
Notation 2. On désigne parHomeo(X)l'espace des homéomorphismes de la variétéX, muni de la distanceddénie par :
d(f, g) = sup
x∈X
d(f(x), g(x)).
On noteHomeo(X, λ)le sous-espace de Homeo(X)constitué des homéomorphismes préser- vant la mesure λ, muni de la même distance d. On qualiera les éléments de Homeo(X) d'homéomorphismes dissipatifs, et ceux deHomeo(X, λ)d'homéomorphismes conservatifs.
Propriétés génériques dans Homeo(X) et Homeo(X, λ). Les espaces topologiques Homeo(X) et Homeo(X, λ) sont des espaces de Baire (voir [Gui12]), c'est-à-dire qu'ils vérient la propriété suivante : toute intersection dénombrable d'ouverts denses de ces espaces est elle-même dense. Nous appelleronsGδ une intersection dénombrable d'ouverts ; une propriété vériée sur au moins un Gδ dense sera dite générique. Il est intéressant de noter que dans un espace de Baire, les propriétés génériques sont stables par intersection, autrement dit l'intersection de deuxGδ denses est elle-même unGδ dense.
On utilisera parfois l'expression pour un homéomorphisme générique f ∈ Homeo(X) (resp.Homeo(X, λ)), on a la propriété(P), on entendra par là que la propriété(P)est générique dansHomeo(X)(resp.Homeo(X, λ)) , autrement dit, il existe unGδ-denseG deHomeo(X)(resp.Homeo(X, λ)), tel que tout homéomorphismef ∈Gvérie la propriété (P) . Ainsi, parler d'homéomorphisme générique signie implicitement que l'on se xe un nombre dénombrable de propriétés génériques sur l'espace des homéomorphismes considérés (conservatifs ou dissipatifs, selon) et que l'on prend un homéomorphisme vériant simulta- nément toutes ces propriétés.
Grilles de discrétisation, discrétisations d'un homéomorphisme. On dénit maintenant une notion plus générale de grille de discrétisation que celle donnée dans l'introduction.
Certaines hypothèses sur ces grilles nous seront utiles par la suite ; cela fera l'objet du paragraphe suivant.
Dénition 3. On appelle suite de grilles de discrétisation surX toute suite(EN)N∈N
de sous-ensembles discrets deX\∂X, telle que la précision des grilles soit de plus en plus ne : pour toutε >0, il existeN0∈N tel que pour toutN ≥N0, la grilleEN estε-dense.
On noteqN la cardinal deEN.
On xe une fois pour toute une suite(EN)N∈N de grilles de discrétisations surX. Maintenant que l'on a des grilles de discrétisation, on peut dénir les discrétisations associées à ces grilles :
Notation 4. On désigne parPN une projection deX surEN (la projection d'un point x0 ∈X sur EN est un pointy0 ∈EN réalisant le minimum de la distance d(x0, y)pour y parcourantEN). Une telle projection est dénie de manière unique en dehors de l'ensemble EN0 des points x ∈ X pour lesquels il existe au moins deux points distincts réalisant le minimum de la distance dexàEN. SurEN0 on choisit arbitrairement (mais mesurablement tout de même) l'application PN. Pour x∈ X, on note xN la discrétisation d'ordre N du pointx∈X, dénie par xN =PN(x) et pour f ∈Homeo(X), on note fN : EN →EN la discrétisation d'ordreN de l'homéomorphismef, dénie parfN =PN ◦f.
Posons DN l'ensemble des homéomorphismes g tels que g(EN)∩EN0 = ∅. Par la suite on se placera parfois dans leGδ denseT
N∈NDN, qui est l'ensemble des homéomorphismes dont laN-ième discrétisation est dénie de manière unique pour toutN ∈N.
Pour σ : EN → EN et f ∈ Homeo(X), on note dN(f, σ) la distance de F|EN à σ, considérées comme des applications deEN dansX.
Remarque 5. On pourrait se demander pourquoi on demande que les points des grilles de discrétisations soient dans l'intérieur de X; la raison est simple : un homéomorphisme f de X envoie ∂X sur ∂X, le fait de considérer une grille contenant des points du bord pourrait parasiter le comportement dynamique des discrétisations fN de f, en particulier cela introduirait au moins une orbite(4) de longueur au plusCard(EN ∩∂X).
Mesures de probabilité sur X. On s'intéressera aussi aux propriétés ergodiques des dis- crétisations def, c'est-à-dire aux comportements, lorsqueN tend vers l'inni, des mesures de probabilité fN-invariantes sur EN. On notera P l'ensemble des mesures de probabilité boréliennes sur X, muni de la topologie faible-*, pour laquelle une suite (νm)m∈N de P converge vers une mesureν, notéνm* ν, si pour toute fonction continueϕ:X →R, on a
m→∞lim Z
X
ϕdνm= Z
X
ϕdν.
Lorsque rien ne sera précisé, la topologie sur l'ensemble des mesures sera la topologie faible-*.
Dans ces conditions, l'ensembleP est métrisable et compact, donc séparable :
4. Rappelons que par orbite on entend orbite positive.
Théorème 6 (Prohorov, Banach-Alaoglu-Bourbaki). Toute suite de mesures de probabilité surX possède une sous-suite convergeant pour la topologie faible-*.
En vue de l'étude ergodique des homéomorphismes et de leurs discrétisations, on dénit des mesures de probabilité invariantes naturelles associées à ces applications.
Dénition 7. Pour un ouvert non vide U de X, on noteλU la restriction normalisée deλàU sur U, autrement ditλU =λ(U)1 λ|U; on note aussiλN,U la mesure de probabilité uniforme surEN ∩U ainsi queλN =λN,X. Pourx∈X on note, lorsque la limite existe, la limite de Birkho dex:
µfx= lim
m→∞
1 m
m−1
X
i=0
f∗iδx,
et de même pourfN. Lorsque ces quantités sont bien dénies, on pose µfU = lim
m→∞
1 m
m−1
X
i=0
f∗iλU et
µfN,U = lim
m→∞
1 m
m−1
X
i=0
(fN)i∗λN,U. Enn, on noteµfN =µfN,X.
On vient de dénir deux types de mesures invariantes : d'une part à partir d'un pointx, d'autre part à partir de la mesure uniformeλ. Le lien entre les deux est fait par la proposition suivante :
Proposition 8. Lorsque U est un ouvert dont presque tous les points admettent une limite de Birkho, la mesure µfU est bien dénie et vérie, pour toute fonction continue ϕ:X →R,
Z
X
ϕdµfU = Z
U
Z
X
ϕdµfx
dλU. De la même manière, on a
Z
X
ϕdµfN,U = Z
U
Z
X
ϕdµfN,x
dλN,U.
Preuve de la proposition8. Par dénition de la topologie faible-*, pour toute fonction continueϕ:X →R,
Z
U
Z
X
ϕ dµfx
dλU = Z
U m→∞lim
Z
X
ϕd 1 m
m−1
X
i=0
f∗iδx
! dλU
= Z
U m→∞lim
1 m
m−1
X
i=0
ϕ(fi(x))
! dλU.
Et par théorème de convergence dominée, en majorant parkϕk∞, on obtient Z
U
Z
X
ϕ dµfx
dλU = lim
m→∞
Z
U
1 m
m−1
X
i=0
ϕ(fi(x))
! dλU
= lim
m→∞
Z
U
ϕ(x) d 1 m
m−1
X
i=0
f∗iλU
= Z
X
ϕdµfU. La preuve de la seconde égalité est identique.
Hypothèses sur les grilles de discrétisation. Précédemment, nous avons donné une dé- nition très générale de la notion de suite de grilles de discrétisation ; pour montrer cer- tains résultats, nous aurons besoin d'hypothèses techniques supplémentaires sur ces suites de grilles. Toutes ces hypothèses seront bien sûr vériées par les grilles de discrétisations uniformes (comme dénies dans l'introduction, voir aussi ci-après) sur le tore.
La première est essentiellement utile pour démontrer le théorème de Lax (théorème21), et par conséquent nécessaire uniquement dans la partie concernant les homéomorphismes conservatifs. On peut l'interpréter comme le fait que les grilles de discrétisation sont bien distribuées par rapport à la mesureλ.
Dénition 9. On dit qu'une suite de grilles de discrétisation(EN)N∈N est bien répartie si à tout élémentx∈EN on peut associer un sous-ensembleCN,xdeX, que nous appellerons cube d'ordreN, tel que :
pour toutN et toutx∈EN,x∈CN,x,
pour toutN,{CN,x}x∈EN est une partition mesurable deX : l'unionS
x∈ENCN,x est de mesure pleine et pourx, y deux points distincts deEN, l'intersection CN,x∩CN,y
est de mesure nulle,
le diamètre des cubes d'ordreN tend vers0:
x∈EmaxN
diam(CN,x) −→
N→+∞0.
Si(EN)N∈Nest une suite de grilles de discrétisations bien répartie et si{CN,x}N∈N,x∈EN
est une famille de cubes comme ci-dessus, on dira que la suite(EN)N∈N est bien ordonnée si, pourN xé, les cubes{CN,x}x∈EN peuvent être indexés parZ/qNZde telle manière que deux cubes consécutifs (dansZ/qNZ) soient adjacents.
Les deux dénitions suivantes posent quant à elles des hypothèses qui seront utiles pour obtenir des propriétés en moyenne, i.e. pour montrer que, pour un homéomorphisme géné- riquef, si une propriété dynamique est vériée parfN pour une innité d'entiersN, alors elle l'est en fait pour la plupart desN , en un sens que l'on précisera.
Dénition 10. On dit qu'une suite de grilles de discrétisations se rane si pour tout coupleN, N0 d'entiers tels queN ≤N0, on aEN ⊂EN0.
Dénition 11. On dit qu'une suite de grilles de discrétisation (EN)N∈N est auto- similaire si pour toutε >0 et tout N0 ∈N, il existeN1 ∈N tel que pour tout N ≥N1,
l'ensembleEN contient des sous-ensembles disjointsEeN1, . . . ,EeNαN dont l'union remplit une part d'au moins 1−εdeEN, et tels que pour toutj,ENj soit l'image de la grilleEN0 par une bijectionhj qui estε-proche de l'identité.
On dit qu'une grille de discrétisation (EN)N∈N est fortement auto-similaire si elle est auto-similaire et si pour toutN ≥N0, l'un au moins deshj est égal à l'identité.
Remarque 12. On vérie facilement que l'hypothèse être fortement auto-similaire contient à la fois les hypothèses être auto-similaire et se raner .
3. Quelques exemples de grilles de discrétisation
Dans la section précédente, nous avons énoncé des propriétés portant sur les discrétisa- tions à savoir être bien répartie, être bien ordonnée, se raner, être auto-similaire ou fortement auto-similaire qui nous serviront par la suite. Dans ce paragraphe, on montre non seulement qu'elles ne sont pas vides, mais on donne aussi quelques exemples concrets de grilles qui vérient certaines de ces hypothèses.
Grilles de discrétisations uniformes sur le tore. L'exemple le plus simple, qui servira d'ailleurs pour les simulations numériques, est celui du tore Tn = Rn/Zn de dimension n ≥ 2 muni des discrétisations selon les grilles de discrétisation uniformes d'ordres N, dénies à partir du domaine fondamentalIn = [0,1]n deTn :
EN = i1
N, . . . ,in
N
∈In
∀j,0≤ij≤N−1
.
On vérie facilement que la suite(EN)N∈N est bien répartie et bien ordonnée, en prenant les cubes centrés en les points deEN (voir la fugure1) :
CN,(i1/N,...,in/N)=
n
Y
j=1
ij
N − 1 2N , ij
N + 1 2N
.
On montre aussi facilement que la suite(EN)N est auto-similaire, avec leshjqui sont toutes des composées de translations avec des homotéties. Néanmoins, ces grilles ne se ranent pas.
Pour obtenir des grilles qui se ranent, on modie un peu la dénition des grillesEN : on prend une suite(kN)N∈N strictement croissante d'entiers et pose
EN = i1
kN
, . . . , in
kN
∈In
∀j, 0≤ij ≤kN −1
, ainsi que
CN,(i1/N,...,in/N)=
n
Y
j=1
ij
kN
− 1 2kN
, ij
kN
+ 1 2kN
.
De même qu'auparavant, on vérie facilement que cette suite de grilles est bien répartie, bien ordonnée et auto-similaire, et si on suppose de plus que pour tout entierN,kN divise kN+1 ce qui est le cas par exemple lorsquekN =pN avecpun entier plus grand que 2 alors la suite est fortement auto-similaire (donc se rane). Le cas oùkN =pN corres- pond à la discrétisation uniforme deTn selon la décomposition en basepdes nombres de
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Figure 1. Grilles de discrétisation uniformes d'ordre5sur le toreT2(à gauche) et sur le cubeI2 (E0N au milieu etE1N à droite) et cubes associés
Rn/Zn; lorsqu'on prendp= 2 (resp.p= 10), on retrouve ce que l'on peut attendre d'une discrétisation numérique : eectuer une discrétisation binaire (resp. décimale) à l'ordreN, autrement dit discrétiser selon les sommets des cubes d'ordre2N (resp.10N), cela revient à tronquer chaque coordonnée binaire (resp. décimale) du pointx∈In à laN-ième décimale, i.e. à travailler avec une précision numérique xée(5).
Grilles de discrétisations uniformes sur le cube. De la même manière, on peut dénir des discrétisations uniformes sur le cube In = [0,1]n en posant, toujours avec une suite (kN)N∈N strictement croissante d'entiers,
EN0 = i1
kN
, . . . , in kN
∈In
∀j, 1≤ij ≤kN −1
, auxquelles on associe les cubes(6) (voir la gure1)
CN,(i1/N,...,in/N)=
n
Y
j=1
ij−1 kN−1, ij
kN−1
.
De même qu'auparavant, on vérie facilement que cette suite de grilles est bien répartie, bien ordonnée et auto-similaire (voir la gure 2), et si on suppose de plus que pour tout entierN, kN divisekN+1, alors la suite est fortement auto-similaire (donc se rane).
On peut aussi prendre des discrétisations non plus selon les bords de cubes, mais selon leurs centres, en prenant
EN1 =
i1+ 1/2 kN
, . . . ,in+ 1/2 kN
∈In
∀j, 0≤ij ≤kN −1
, avec des cubes qui, cette fois-ci, sont bien plus naturels (voir la gure1) :
CN,(i1/N,...,in/N)=
n
Y
j=1
ij
kN
, ij+ 1 kN
.
5. Même si en pratique l'ordinateur travaille en format ottant, ce qui fait que le nombre de chires après la virgule après lequel on tronque n'est pas le même selon que l'on se place au voisinage de 0 ou loin de 0.
6. Attention, ces cubes ont leurs sommets sur les points de la grille d'ordrekN−1.
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Figure 2. Auto-similarité des grillesE0N
Et de nouveau, on vérie aisément que cette suite de grilles est bien répartie, bien ordonnée et auto-similaire (mais ne se rane jamais).
Grilles de discrétisation sur une variété quelconque. En fait, on peut généraliser les discrétisations E0N sur le cubeIn au cas d'une variété quelconqueX, à l'aide du théorème d'Oxtoby-Ulam(7) :
Théorème 13 (Oxtoby, Ulam). Sous les hypothèses que l'on a faites sur X et λ, il existe une applicationφ:In→X telle que :
1. φsoit surjective
2. φ|I˚n soit un homéomorphisme sur son image
3. φ(∂In)soit un sous-ensemble fermé d'intérieur vide de X, disjoint deφ( ˚In) 4. µf(φ(∂In)) = 0
5. φ∗(λ) = Leb, oùLeb est la mesure de Lebesgue.
Comme on l'a dit, ce théorème nous permet de dénir des grilles de discrétisations sur X à partir des discrétisations uniformes sur le cube : pour une application φ vériant les conclusions du théorème d'Oxtoby-Ulam et(kN)n∈N une suite strictement croissante d'en- tiers, l'image parφ des discrétisations uniformes (strictes) EN0 d'ordres kN sur le cubeIn dénit une suite de grilles de discrétisations sur la variétéX. Les propriétés vériées par les grilles sur In se transmettent facilement aux grilles de X : on vérie facilement que cette suite de grilles est bien répartie, bien ordonnée et auto-similaire, et qu'elle est fortement auto-similaire pour peu que pour tout entierN,kN divisekN+1.
7. Que les auteurs ont prouvé dans l'article traitant de la généricité de l'ergodicité dans l'ensemble des homéomorphismes conservatifs (voir [OU41]).
Remarque 14. L'exemple englobe aussi le cas oùX=In,λ= Lebet où les grilles sont les images des grilles EN par un unique homéomorphisme de X préservant la mesure de Lebesgue.
On peut même être plus général :
Proposition 15. Si on a une suite (EN)N de grilles sur le cube In dont les éléments ne sont par sur le bord du cube, alors son image parφdénit une suite de grilles sur X qui vérient les mêmes propriétés que la grille initiale sur le cube.
Remarque 16. Avec cette méthode, on peut retrouver les discrétisations uniformes sur le tore à partir de discrétisations sur le cube : il sut de prendre les grilles sur le cube :
EN = i1
N, . . . ,in
N
∈In
∀j,0≤ij≤N−1
, les cubes
CN,(i1/N,...,in/N)=
n
Y
j=1
ij
N , ij+ 1 N
, et de prendre pourφla surjection classique du cubeIn sur le toreTn.
PARTIE I
DISCRÉTISATIONS D'UN HOMÉOMORPHISME CONSERVATIF GÉNÉRIQUE
Rappelons que l'on a xé une fois pour toutes une variétéX et une bonne mesureλsur X, ainsi qu'une suite de grilles de discrétisation(EN)N∈N(voir la dénition3). On suppose de plus que cette suite de grilles est bien répartie et bien ordonnée (voir la dénition 9).
Dans cette partie, on s'intéressera aux discrétisations des éléments de Homeo(X, λ); ainsi les homéomorphismes seront systématiquement supposés conservatifs.
4. Types d'approximation denses
Plutôt que de parler de propriété portant sur les discrétisations, on utilisera la notion plus précise de types d'approximation :
Dénition 17. Un type d'approximation T = (TN)N∈N est une suite de parties de l'ensembleF(EN, EN)des applications deEN dans lui-même.
SoitU un ouvert de Homeo(X, λ); un type d'approximation T est dit dense dansU si pour tout f ∈ U, tout ε > 0 et tout N0 ∈ N, il existe N ≥ N0 ainsi que σN ∈ TN tels quedN(f, σN)< ε(on rappelle quedN est la distance def|EN àσN considérées comme des applications deEN dansX).
Le but de ce paragraphe est d'établir que chaque type d'approximation dense apparaît une innité de fois parmi les discrétisations d'un homéomorphisme générique.
Théorème 18. Soient U un ouvert(8) de Homeo(X, λ) et T un type d'approximation dense dans U. Alors pour un élément générique f de U et pour tout N0 ∈ N, il existe N ≥N0 tel que fN ∈ TN.
Ce théorème constituera (presque) systématiquement la seconde étape conduisant à l'ob- tention d'une propriété des discrétisations d'un homéomorphisme générique, la première étant de montrer que le type d'approximation qui nous intéresse est dense. Nous tâcherons, dans la section 6, d'établir le plus de corollaires possibles de ce théorème, montrant par là que la démarche prouver qu'un type d'approximation est dense puis appliquer le théorème 18 constitue une méthode générale d'obtention de propriétés de discrétisations(9).
Passons à la preuve du théorème18. En pratique, nous partons d'un type d'approxima- tions dense, donc d'applications discrètes, et nous voulons obtenir des propriétés vériées par des homéomorphismes. L'outil qui nous permet de reconstruire un homéomorphisme à partir d'une application nie σN : EN → EN, autrement dit de faire l'opération inverse d'une discrétisation, est la proposition d'extension des applications nies :
Proposition 19 (Extension des applications nies). Soient (x1, x2, . . . , xk) et (y1, y2, . . . , yk) deux k-uplets de points deux à deux distincts de X \∂X ( i.e. pour tout i 6= j, on a xi 6= xj et yi 6= yj). Alors il existe f ∈ Homeo(X, λ) tel que pour tout i∈ {1, . . . , k},f(xi) =yi. De plusf peut être choisi de telle sorte que simaxid(xi, yi)< δ, alors d(f,Id)< δ.
L'idée de la preuve est assez simple : il s'agit de composer des homéomorphismes qui ont un support de taille ε et qui sont des symétries centrales à l'intérieur de ce support.
On construit alors une suite (zj)1≤j≤k telle que z1 = x1, zk = y1 et d(zj, zj+1) < ε/10. En composant k−1 homéomorphismes comme au dessus, tels que chacun envoie zj sur zj+1, on obtient un homéomorphisme conservatif qui envoie x0 sur y0. La mise en ÷uvre de ces remarques est alors essentiellement technique. Le lecteur désirant trouver une preuve détaillée pourra consulter la partie 2.2 de [Gui12].
Cela nous permet de construire des homéomorphismes à partir d'un type d'approximation dense :
Lemme 20. Soient U un ouvert de Homeo(X, λ) et T = (TN)N∈N un type d'approxi- mation dense dans U. Alors pour tout N0 ∈ N, l'ensemble des homéomorphismes f pour lesquels il existeN ≥N0 tel que la discrétisationfN def soit dansTN, est dense dansU.
8. Bien souvent, nous prendrons simplementU= Homeo(X, λ).
9. Même si certaines propriétés peuvent être prouvées de manière diérente : par exemple on peut montrer le corollaire 39 en insérant des fers à cheval dans la dynamique d'un homéomorphisme donné, à l'aide du théorème de modication locale (théorème32, pour une présentation de la technique dans un autre cadre voir la partie 3.3 de [Gui12]) ; on peut aussi montrer une variante du corollaire27en modiant un homéomorphisme donné de telle manière à ce qu'il ait une orbite périodique dont les points sont presque sur les grillesEN (qui sont supposées se raner), au module de continuité def près, pour que la vraie orbite du point périodique et l'orbite discrétisée coïncident.
Preuve du lemme20. Soient f ∈ U, N0 ∈ N et ε > 0. Puisque T est un type d'ap- proximation dense dans U, il existe N ≥N0 et σN ∈ TN tels que dN(f, σN) < ε. Soient x1, . . . , xqN les éléments deEN. Alors pour tout entier`, d(f(x`), σN(x`))< ε. On modie σN en une application bijective σ0N : EN → X dont la discrétisation sur EN est égale à σN : on pose σN0 (x1) = σ(x1) et dénit σ0N par récurrence en choisissant σN0 (x`) de telle manière queσ0N(x`)soit diérent desσN0 (xi)pouri≤`, quePN(σN0 (x`)) =PN(σN(x`))et qued(f(x`), σN0 (x`))< ε.
Puisqueσ0N est bijective, on peut appliquer la proposition19aux pointsf(x`)etσN0 (x`); cela nous donne un homéomorphisme préservant la mesure ϕ tel que ϕ(f(x`)) = σ0N(x`) pour tout`et qued(ϕ,Id)< ε. Posantf0 =ϕ◦f, on ad(f, f0)≤εetf0(x`) =σN0 (x`)pour tout`et par conséquentfN =σN.
Le théorème18s'en déduit facilement :
Preuve du théorème 18. Notons (xN,`)1≤`≤qN les éléments de EN et considérons l'en- semble (notantρN la distance minimale entre deux points deEN)
\
N0∈N
[
N≥N0
σN∈TN
nf ∈ U | ∀`, dN f(xN,`), σN(xN,`)
< ρN 2
o.
Cet ensemble est clairement une intersection dénombrable d'ouverts, et sa densité est une conséquence directe du lemme20. De plus, on voit facilement que ses éléments vérient les conclusions du théorème.
5. Théorème de Lax
Maintenant que l'on a montré le théorème 18, il nous faut obtenir des types d'approxi- mation denses. Et là encore, nous disposons d'un théorème que nous utiliserons systéma- tiquement : le théorème de Lax, plus précisément une amélioration énoncée par S. Alpern [Alp76] qui permet d'approcher tout homéomorphisme par une permutation cyclique des éléments d'une grille de discrétisation.
Théorème 21 (Lax, Alpern). Soient f ∈ Homeo(X, λ) et ε > 0. Alors il existe un entierN0 tel que pour toutN ≥N0, il existe une permutation cyclique des éléments de EN notéeσN telle que d(f, σN)< ε.
De la même manière qu'un ensemble compact métrique peut être vu comme un en- semble ni à ε près , la philosophie du théorème de Lax est que les discrétisations d'un homéomorphisme conservatif sont des permutations cycliques àε près . En pratique, ce théorème sert à casser les homéomorphismes en petits morceaux. La combinaison du théorème de Lax et de la proposition d'extension des applications nies (théorème19) per- met de montrer facilement la généricité de la transitivité dansHomeo(X, λ)(de nouveau, voir [AP00] ou la partie 2.4 de [Gui12]) ; dans notre cas, en appliquant le théorème 18, on en déduit qu'une innité de discrétisations d'un homéomorphisme générique sont des permutations cycliques. L'objet de la section6 est de trouver des variantes du théorèmes
de Lax, qui en sont en même temps des corollaires, pour obtenir d'autres propriétés des discrétisations d'un homéomorphisme générique.
Nous donnons brièvement la très jolie preuve du théorème de Lax(10), essentiellement combinatoire, et basée sur le lemme des mariages ainsi que sur un lemme d'approximation d'une permutation par une permutation cyclique dû à S. Alpern. Le lecteur désirant trouver les preuves de ces lemmes pourra consulter la partie 2.1 de [Gui12]. C'est dans cette preuve que l'on utilise le fait que les discrétisations sont bien réparties et bien ordonnées.
Lemme 22 (Lemme des mariages). Soient E et F deux ensembles nis et ≈ une relation entre les éléments de E et de F. On suppose que l'ensemble des éléments de F associés à un sous-ensemble E0 deE est de cardinal plus grand que celui deE0, autrement dit que :
∀E0⊂E, Card(E0)≤Card{f ∈F | ∃e∈E0:e≈f}.
Alors il existe une application injectiveΦ :E→F telle que pour tout e∈E,e≈Φ(e). Lemme 23 (Approximations cycliques dans Sq, [Alp76])
Soientq∈N∗ etσ∈Sq (on voitSq comme le groupe des permutations deZ/qZ). Alors il existe τ ∈Sq telle que |τ(k)−k| ≤2 pour tout k (où|.| désigne la distance dansZ/qZ) et telle que la permutationτ σ soit cyclique.
Preuve du théorème 21. Soit f ∈ Homeo(X, λ) et ε > 0. Considérons un entier N0 tel que pour toutN≥N0, les cubes d'ordreN (donnés par l'hypothèse être bien répartie ), ainsi que leurs images par f, ont un diamètre plus petit que ε. On dénit une relation ≈ entre les cubes d'ordreN−1comme suit :C≈C0 si et seulement sif(C)∩C06=∅. Puisque f préserve la mesure λ, l'image de l'union de`cubes intersecte au moins ` cubes, on peut donc appliquer le lemme des mariages (lemme 22) : il existe une application injective ΦN
de l'ensemble des cubes d'ordreN dans lui-même (donc bijective) telle que pour tout cube C,f(C)∩ΦN(C)6=∅. Posant σN l'application qui envoie le centre de tout cubeC sur le centre du cubeΦN(C), on obtient :
dN(f, σN)≤sup
C
diam(C) + sup
C
diam(f(C))
≤2ε
Reste à montrer que l'on peut prendre pour σN une permutation cyclique. Numérotant les cubes de manière à ce que deux cubes consécutifs soient adjacents (c'est possible car les grilles sont bien ordonnées), on utilise le lemme 23, qui nous donne une permutation cycliqueσN0 qui est2 sup(diam(C))-proche de σN. On a donc trouvé un entier N0 et pour toutN ≥N0, une permutation cyclique σN0 deEN qui est4ε-proche def.
6. Comportement individuel des discrétisations
On peut désormais aborder les premiers résultats à propos du comportement des discréti- sations d'un homéomorphisme conservatif générique ; on étudie le comportement individuel des discrétisations, c'est à dire ne concernant qu'un ordre de discrétisation et un seul. Comme on l'a déjà dit, en s'aidant du théorème 18, il sut de trouver des types d'approximations
10. Qui sera reprise lors de la démonstration du lemme48.
denses pour obtenir directement des résultats sur les discrétisations. En pratique, ces types d'approximation denses sont tous obtenus à partir de variantes du théorème de Lax (théo- rème21).
On rappelle que l'on a xé une suite (EN)n∈N de grilles de discrétisation qui est bien répartie et bien ordonnée (voir la dénition9), que l'on note fN la discrétisation de l'ho- méomorphismef etΩ(fN)l'ensemble invariant maximal pourfN.
Nous nous eorcerons de montrer que pour les propriétés dynamiques(P)les plus simples portant sur les applications nies, pour un homéomorphisme conservatif génériquef, la suite (fN)N∈N des discrétisations def contient une innité d'éléments vériant (P) mais aussi une innité d'éléments vériant son contraire. Par exemple, on montre que pour un homéo- morphisme génériquef, l'ensemble invariant maximalΩ(fN)est tantôt de cardinal maximal, i.e.Ω(fN) =EN (corollaire24), tantôt de cardinal petit (corollaire27), et même mieux, que le cardinal de l'image defN est petit pour une innité d'entiersN (corollaire39). Le temps de stabilisation(11), lui aussi, est tantôt nul (corollaire24, par exemple), tantôt de l'ordre de Card(EN)(corollaire29). Enn, concernant la dynamique de l'applicationfN|Ω(f
N), tantôt cette application est une permutation cyclique (corollaire24), voire bicyclique (remarque25, voir aussi le corollaire37), tantôt c'est une application ayant beaucoup d'orbites (corollaire 41).
En premier lieu, on déduit directement du théorème de Lax que les permutations cycliques des ensemblesEN, forment un type d'approximation dense dansHomeo(X, λ). En combinant cela avec le théorème18, on a :
Corollaire 24 (Miernowski, [Mie05]). Pour un homéomorphisme générique f ∈ Homeo(X, λ), pour tout N0 ∈ N, il existe N ≥ N0, tel que fN soit une permutation cyclique.
Remarque 25. On peut faire la même chose avec des permutations bicycliques, qui sont des permutations ayant exactement deux orbites, dont les longueurs sont premières entre elles (voir [Gui12]).
La première variante du théorème de Lax concerne l'approximation par des applications dont l'ensemble invariant maximal est petit, ce qui est contraire à ce qui se passe dans le corollaire24.
Proposition 26 (Première variante du théorème de Lax)
Soitf ∈Homeo(X, λ). Alors pour toutε >0et tout ε0>0, il existeN0∈N tel que pour toutN ≥N0, il existe une applicationσN :EN →EN, telle que dN(f, σN)< εet
Card(Ω(σN))
Card(EN) = Card(Ω(σN)) qN
< ε0,
et telle que EN soit recouvert par une unique orbite (pré-périodique) deσN.
11. Autrement dit le plus petit entierktel quefNk(EN) = Ω(fN).
