La variétéX et la mesureλ. Les résultats énoncés dans l'introduction sur le toreTn et la mesure de Lebesgue Leb s'étendent en fait à toute variété diérentielleX de dimension n≥2, compacte et éventuellement à bord, munie d'une métrique riemannienne d. On xe une fois pour toutes une telle variété X munie de la métrique d. Dans le cas général, la mesure de Lebesgue surTn peut être remplacée par une bonne mesure λsurX :
Dénition 1. Une mesure de probabilité borélienne λ sur X est appelée une bonne mesure, ou mesure d'Oxtoby-Ulam si elle vérie les conditions suivantes :
(i) elle est sans atome (ne charge pas les points),
(ii) elle est de support total (strictement positive sur les ouverts non vides), (iii) elle est nulle sur le bord deX.
On xe une fois pour toutes une bonne mesureλsur X.
Notation 2. On désigne parHomeo(X)l'espace des homéomorphismes de la variétéX, muni de la distanceddénie par :
d(f, g) = sup
x∈X
d(f(x), g(x)).
On noteHomeo(X, λ)le sous-espace de Homeo(X)constitué des homéomorphismes préser-vant la mesure λ, muni de la même distance d. On qualiera les éléments de Homeo(X) d'homéomorphismes dissipatifs, et ceux deHomeo(X, λ)d'homéomorphismes conservatifs.
Propriétés génériques dans Homeo(X) et Homeo(X, λ). Les espaces topologiques Homeo(X) et Homeo(X, λ) sont des espaces de Baire (voir [Gui12]), c'est-à-dire qu'ils vérient la propriété suivante : toute intersection dénombrable d'ouverts denses de ces espaces est elle-même dense. Nous appelleronsGδ une intersection dénombrable d'ouverts ; une propriété vériée sur au moins un Gδ dense sera dite générique. Il est intéressant de noter que dans un espace de Baire, les propriétés génériques sont stables par intersection, autrement dit l'intersection de deuxGδ denses est elle-même unGδ dense.
On utilisera parfois l'expression pour un homéomorphisme générique f ∈ Homeo(X) (resp.Homeo(X, λ)), on a la propriété(P), on entendra par là que la propriété(P)est générique dansHomeo(X)(resp.Homeo(X, λ)) , autrement dit, il existe unGδ-denseG deHomeo(X)(resp.Homeo(X, λ)), tel que tout homéomorphismef ∈Gvérie la propriété (P) . Ainsi, parler d'homéomorphisme générique signie implicitement que l'on se xe un nombre dénombrable de propriétés génériques sur l'espace des homéomorphismes considérés (conservatifs ou dissipatifs, selon) et que l'on prend un homéomorphisme vériant simulta-nément toutes ces propriétés.
Grilles de discrétisation, discrétisations d'un homéomorphisme. On dénit maintenant une notion plus générale de grille de discrétisation que celle donnée dans l'introduction.
Certaines hypothèses sur ces grilles nous seront utiles par la suite ; cela fera l'objet du paragraphe suivant.
Dénition 3. On appelle suite de grilles de discrétisation surX toute suite(EN)N∈N
de sous-ensembles discrets deX\∂X, telle que la précision des grilles soit de plus en plus ne : pour toutε >0, il existeN0∈N tel que pour toutN ≥N0, la grilleEN estε-dense.
On noteqN la cardinal deEN.
On xe une fois pour toute une suite(EN)N∈N de grilles de discrétisations surX. Maintenant que l'on a des grilles de discrétisation, on peut dénir les discrétisations associées à ces grilles :
Notation 4. On désigne parPN une projection deX surEN (la projection d'un point x0 ∈X sur EN est un pointy0 ∈EN réalisant le minimum de la distance d(x0, y)pour y parcourantEN). Une telle projection est dénie de manière unique en dehors de l'ensemble EN0 des points x ∈ X pour lesquels il existe au moins deux points distincts réalisant le minimum de la distance dexàEN. SurEN0 on choisit arbitrairement (mais mesurablement tout de même) l'application PN. Pour x∈ X, on note xN la discrétisation d'ordre N du pointx∈X, dénie par xN =PN(x) et pour f ∈Homeo(X), on note fN : EN →EN la discrétisation d'ordreN de l'homéomorphismef, dénie parfN =PN ◦f.
Posons DN l'ensemble des homéomorphismes g tels que g(EN)∩EN0 = ∅. Par la suite on se placera parfois dans leGδ denseT
N∈NDN, qui est l'ensemble des homéomorphismes dont laN-ième discrétisation est dénie de manière unique pour toutN ∈N.
Pour σ : EN → EN et f ∈ Homeo(X), on note dN(f, σ) la distance de F|EN à σ, considérées comme des applications deEN dansX.
Remarque 5. On pourrait se demander pourquoi on demande que les points des grilles de discrétisations soient dans l'intérieur de X; la raison est simple : un homéomorphisme f de X envoie ∂X sur ∂X, le fait de considérer une grille contenant des points du bord pourrait parasiter le comportement dynamique des discrétisations fN de f, en particulier cela introduirait au moins une orbite(4) de longueur au plusCard(EN ∩∂X).
Mesures de probabilité sur X. On s'intéressera aussi aux propriétés ergodiques des dis-crétisations def, c'est-à-dire aux comportements, lorsqueN tend vers l'inni, des mesures de probabilité fN-invariantes sur EN. On notera P l'ensemble des mesures de probabilité boréliennes sur X, muni de la topologie faible-*, pour laquelle une suite (νm)m∈N de P converge vers une mesureν, notéνm* ν, si pour toute fonction continueϕ:X →R, on a
m→∞lim Z
X
ϕdνm= Z
X
ϕdν.
Lorsque rien ne sera précisé, la topologie sur l'ensemble des mesures sera la topologie faible-*.
Dans ces conditions, l'ensembleP est métrisable et compact, donc séparable :
4. Rappelons que par orbite on entend orbite positive.
Théorème 6 (Prohorov, Banach-Alaoglu-Bourbaki). Toute suite de mesures de probabilité surX possède une sous-suite convergeant pour la topologie faible-*.
En vue de l'étude ergodique des homéomorphismes et de leurs discrétisations, on dénit des mesures de probabilité invariantes naturelles associées à ces applications.
Dénition 7. Pour un ouvert non vide U de X, on noteλU la restriction normalisée deλàU sur U, autrement ditλU =λ(U)1 λ|U; on note aussiλN,U la mesure de probabilité
et de même pourfN. Lorsque ces quantités sont bien dénies, on pose µfU = lim
On vient de dénir deux types de mesures invariantes : d'une part à partir d'un pointx, d'autre part à partir de la mesure uniformeλ. Le lien entre les deux est fait par la proposition suivante :
Proposition 8. Lorsque U est un ouvert dont presque tous les points admettent une limite de Birkho, la mesure µfU est bien dénie et vérie, pour toute fonction continue ϕ:X →R,
Preuve de la proposition8. Par dénition de la topologie faible-*, pour toute fonction continueϕ:X →R,
Et par théorème de convergence dominée, en majorant parkϕk∞, on obtient La preuve de la seconde égalité est identique.
Hypothèses sur les grilles de discrétisation. Précédemment, nous avons donné une dé-nition très générale de la notion de suite de grilles de discrétisation ; pour montrer cer-tains résultats, nous aurons besoin d'hypothèses techniques supplémentaires sur ces suites de grilles. Toutes ces hypothèses seront bien sûr vériées par les grilles de discrétisations uniformes (comme dénies dans l'introduction, voir aussi ci-après) sur le tore.
La première est essentiellement utile pour démontrer le théorème de Lax (théorème21), et par conséquent nécessaire uniquement dans la partie concernant les homéomorphismes conservatifs. On peut l'interpréter comme le fait que les grilles de discrétisation sont bien distribuées par rapport à la mesureλ.
Dénition 9. On dit qu'une suite de grilles de discrétisation(EN)N∈N est bien répartie si à tout élémentx∈EN on peut associer un sous-ensembleCN,xdeX, que nous appellerons cube d'ordreN, tel que :
pour toutN et toutx∈EN,x∈CN,x,
pour toutN,{CN,x}x∈EN est une partition mesurable deX : l'unionS
x∈ENCN,x est de mesure pleine et pourx, y deux points distincts deEN, l'intersection CN,x∩CN,y
est de mesure nulle,
le diamètre des cubes d'ordreN tend vers0:
x∈EmaxN
diam(CN,x) −→
N→+∞0.
Si(EN)N∈Nest une suite de grilles de discrétisations bien répartie et si{CN,x}N∈N,x∈EN
est une famille de cubes comme ci-dessus, on dira que la suite(EN)N∈N est bien ordonnée si, pourN xé, les cubes{CN,x}x∈EN peuvent être indexés parZ/qNZde telle manière que deux cubes consécutifs (dansZ/qNZ) soient adjacents.
Les deux dénitions suivantes posent quant à elles des hypothèses qui seront utiles pour obtenir des propriétés en moyenne, i.e. pour montrer que, pour un homéomorphisme géné-riquef, si une propriété dynamique est vériée parfN pour une innité d'entiersN, alors elle l'est en fait pour la plupart desN , en un sens que l'on précisera.
Dénition 10. On dit qu'une suite de grilles de discrétisations se rane si pour tout coupleN, N0 d'entiers tels queN ≤N0, on aEN ⊂EN0.
Dénition 11. On dit qu'une suite de grilles de discrétisation (EN)N∈N est auto-similaire si pour toutε >0 et tout N0 ∈N, il existeN1 ∈N tel que pour tout N ≥N1,
l'ensembleEN contient des sous-ensembles disjointsEeN1, . . . ,EeNαN dont l'union remplit une part d'au moins 1−εdeEN, et tels que pour toutj,ENj soit l'image de la grilleEN0 par une bijectionhj qui estε-proche de l'identité.
On dit qu'une grille de discrétisation (EN)N∈N est fortement auto-similaire si elle est auto-similaire et si pour toutN ≥N0, l'un au moins deshj est égal à l'identité.
Remarque 12. On vérie facilement que l'hypothèse être fortement auto-similaire contient à la fois les hypothèses être auto-similaire et se raner .