Convergence de mesures

Il reste à étudier le comportement des mesuresµ^f_N,U (voir la dénition7) et là encore ce que l'on obtient est bien diérent du cas conservatif : pour tout ouvertU, il y a convergence des mesuresµ^f_N,U vers une unique mesure, la mesureµ^f_U.

63

l'ensemble des puits. De plus il y a convergence faible des mesuresµ^f_N,U vers la mesureµ^f_U. De nouveau, on utilise le shredding lemma de manière cruciale : la mesure µ^f_U a son support inclus dans l'union ensembles W_j,i et la masse fournie à chacun de ces ensembles est proportionnelle à la taille de son bassin d'attraction. Il sut ensuite d'observer qu'il en est de même pour les discrétisations de l'homéomorphisme et donc pour les mesuresµ^f_N,U. Preuve de la proposition69. D'après le shredding lemma, l'intersection T

ε>0Cε est un G_δ dense de Homeo(X). Il sut donc de montrer que pour tout homéomorphisme f dans cette intersection, on a la conclusion de la proposition. Soitfdans cette intersectionT

ε>0Cε, U un ouvert deX et ϕ:X →Rune fonction continue. Comme le permet la remarque60, on suppose que les ensemblesWj,iont leurs ensembles attractifs disjoints.

Pour prouver la proposition, on veut montrer que d'une part l'intégraleR

Xϕdµ^f_U est bien dénie, autrement dit que les limites de Birhho contreϕ

m→+∞lim

sont bien dénies pour presque toutx∈U; et que d'autre part on a la convergence Z ce qui se ramène à montrer que (toujours par convergence dominée)

Z moins un itéré dansWj,i. Par hypothèse sur les ouvertsWj,i(voir le point 1. de la remarque 60.), les ensembles(Uj,i)isont deux à deux disjoints pourjxé. Quitte à supprimer certains de ces ensembles, on peut supposer qu'ils sont tous de mesure non nulle.

L'idée de la preuve est que la plupart des points, au sens de λ, tombent dans W_j,i, et que cette propriété est robuste par passage aux discrétisations : la part de points de EN

qui tombent dans Wj,i tend vers la part de points de X qui tombent dans Wj,i (au sens de la mesureλ). De plus, puisque les itérés desW_j,isont de diamètres petits, par uniforme continuité, la fonction ϕsera presque constante sur les f^m(Wj,i); ainsi la mesure µ^f_x sera bien dénie et presque constante sur l'ensemble des pointsxtombant dansWj,i.

Formalisons cela. Pour tout pointx∈Uj,i, il existe un itéréf^m(x)appartenant àWj,i; le choix d'un telWj,iest unique. PosonsΓj,i=_`¹

j

P`j−1

m=0ϕ(x^m), où on a choisi arbitrairement

24. C'est par ailleurs une conséquence du fait qu'un homéomorphisme générique est bizarre, voir [AA12].

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Γj,i−δ≤ lim

cette majoration est vraie sur l'ensembleS

i,jU_j,iqui est de mesure au moins1−ε≥1−δ. En faisant tendreδvers0, on en déduit que la limite

Mlim→+∞ est bien dénie pour presque tout pointx.

Passons à la convergence R

Xϕdµ^f_N,U −→ R

Xϕdµ^f_U. Pour tout j notons, comme à la page61, U_j,i^N l'union surxN ∈ EN des domaines P_N⁻¹({xN}) intersectant Uj,i. Comme on l'a déjà dit, les ensemblesU_j,i^N tendent versUj,i pour la distanced(A, B) =λ(A∆B). Alors pour tout entier N assez grand, les ensembles U_j^N et W_j,i^N vérient les points(i) à (v)du shredding lemma ; de plus pour tout couple(j, i)

1−δ≤ λ(U_j,i^N)

Z

Finissons par exposer les résultats de quelques simulations numériques portant sur les homéomorphismes dissipatifs. De nouveau, notre but a été de confronter les résultats théo-riques à la réalité des simulations numéthéo-riques : pour des homéomorphismes simples, et à des ordres de discrétisation raisonnables, a-t-on, comme le suggèrent les théorèmes énoncés précédemment, convergence de la dynamique des discrétisations vers celle de l'application de départ ?

Rappelons que nous simulons des homéomorphismes du type

f(x, y) =Q◦P(x, y) ou f(x, y) =P◦Q◦P(x, y),

oùP et Qsont deux homéomorphismes du tore ne modiant qu'une seule coordonnée : P(x, y) = (x, y+p(x, y)) et Q(x, y) = (x+q(x, y), y).

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morphismes dissipatifs qui sont des perturbations de l'identité ou bien de l'automorphisme d'Anosov standard

A= 1 1

1 2

: Pour commencer nous avons étudiéf4=Q◦P, avec

p(x, y) = 1

259cos(2π×227y) + 1

271sin(2π×233x), q(x, y) = 1

287cos(2π×241y) + 1

263sin(2π×217y) + 1

263cos(2π×271x)

Cet homéomorphisme dissipatif correspond à une petite perturbationC⁰de l'identité, dont la dérivée possède de très nombreuses oscillations d'amplitude proche de1, ce qui crée de nombreux points xes puits, sources et selles.

Ensuite nous avons simulé f5 la composition de f4 avec l'automorphime d'Anosov standardA, soit f₅=Q◦P◦A, ce qui en fait une perturbationC⁰petite deA, semi-conjuguée àA, mais pas conjuguée : moralement, chaque orbite périodique puits deA correspond pourf5 à de nombreuses orbites périodiques puits.

Il nous a aussi semblé utile d'étudier un homéomorphisme proche de l'identité en to-pologie C⁰, mais qui cette fois possède un petit nombre de puits. En eet, comme l'ont expliqué J.-M. Gambaudo et C. Tresser de manière heuristique dans [GT83], un homéomorphisme tel que f4 peut avoir un grand nombre de puits, dont les bassins d'attraction sont tous de taille minuscule ; ainsi il s'avère que l'on ne détecte pas le comportement dissipatif def₄aux ordres de discrétisations qu'il nous est possible d'at-teindre. On dénit donc un autre homéomorphisme proche de l'identité en topologie C⁰, mais qui lui possède beaucoup moins de puits, soit f6=P◦Q◦P, avec

p(x, y) = 1

259th 50 cos(2π×y) + 1

271th 50 cos(2π×5x) , q(x, y) = 1

287th 50 cos(2π×y) + 1

263th 50 cos(2π×7y) + 1

263th 50 cos(2π×3x) . Enn nous nous sommes intéressés à l'homéomorphismef₇=Q◦P◦A, où

p(x, y) = 1

259cos(2π×y) + 1

271cos(2π×5x), q(x, y) = 1

287cos(2π×y) + 1

263cos(2π×7y) + 1

263cos(2π×3x).

Dans ce cas, f7 est une perturbation non seulement C⁰ petite, mais aussi C¹ petite, de l'automorphisme d'Anosov standard. Comme dans le cas conservatif, un tel diéo-morphisme est topologiquement conjugué àA; le but des simulations est de tester si le fait d'être topologiquement conjugué à l'automorphisme d'Anosov standard change beaucoup le comportement des discrétisations.

67

le cardinal de l'ensemble invariant maximalΩ(fN), la taille maximale d'une orbite périodique pourf_N.

Nous avons calculé ces quantités pour des discrétisations d'ordres128kpourkallant de1 à 100 et les avons représenté sous forme de graphiques. Pour information, siN = 128×100, alorsqN '1,6.10⁸.

68

milieu à droite) etf6 avec une échelle diérente (en bas à droite), sur les grilles EN, avecN= 128k,k= 1, . . . ,100

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pour les discrétisations des homéomorphismes conservatifs. Dans cette optique il est ici intéressant de comparer les comportements de Ω(f_N)dans un contexte conservatif et dans un contexte dissipatif ; le résultat est décevant : les courbes dans le cas conservatif et dans le cas dissipatif se ressemblent comme deux gouttes d'eau, alors qu'elles devraient, en théorie, être très diérentes.

Tout de même, pour l'homéomorphismef₆, il y a très peu de puits, et autour de chacun, il y a juste quelques points attractifs de la discrétisation(f6)N (chaque puits est pointu ), si bien que le cardinal de Ω((f6)N) est plus ou moins constant ; c'est le seul cas où le comportement des discrétisations semble clairement typique du cas dissipatif.

70

droite) etf6 avec une échelle diérente (en bas à droite), sur les grillesEN, avec N= 128k,k= 1, . . . ,100

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discrétisations converge vers celle de l'homéomorphisme de départ : on peut entre autres regarder s'il est du même ordre que le nombre de puits de l'homéomorphisme. En pratique, son comportement va dans le même sens que celui du cardinal de l'ensemble invariant maxi-malΩ(fN): son évolution est très régulière pourf4, beaucoup moins pourf5etf7, et oscille régulièrement (à partir deN = 15) entre30et 90pourf6. Comme dans le cas conservatif, la comparaison avec la gure 17 indique que la longueur moyenne d'un cycle périodique est d'environ 3 pour f4 et f6, alors qu'elle est de l'ordre de 1000 pour f5 et f7; on peut interpréter cela de la manière suivante : si on a beaucoup de points xes au voisinage de l'identité, le fait de composer avec l'automorphisme d'Anosov standard tend à transformer ces points xes en des points périodiques de grande période.

Figure 19. Longueur de la plus longue orbite périodique de(fi)N en fonction deN pourf4 (en haut à gauche),f5 (en haut à droite),f6 (en bas à gauche) et f7 (en bas à droite), avecN= 128k,k= 1, . . . ,100

72

discrétisations (fi)N soit presque toujours un multiple de celle d'une orbite périodique at-tractive de f_i. Comme dans le cas conservatif, la longueur de la plus longue orbite (gure 19) a plus ou moins le même comportement qualitatif pour tous les homéomorphismes testés (f4,f5,f6et f7) ; par contre les valeurs de ces longueurs des plus longues orbites changent beaucoup selon les cas. Elles sont inférieures à25pour f6, ce qui est normal puisqu'on est censés détecter les puits de l'homéomorphisme ; les variations de la longueur de la plus longue orbite sont certainement dues aux erreurs commises lors de la discrétisation aux voisinages des puits réels def6. De plus, on remarque qu'il certaines valeurs de taille de la plus longue orbite qui sont beaucoup atteintes : par exemple pour30entiersN distincts, la plus longue orbite périodique est de longeur4, pour19entiersN distincts elle est de longueur8et pour 10entiersNdistincts elle est de longueur10. Cela est certainement dû au pistage des orbites périodiques def6 par celles des discrétisations. La plus longue orbite périodique des discré-tisations de f₄ est toujours de longueur inférieure à 3000, alors qu'elle atteint quasiment 20000pour f5 et 100000pourf7. Comme on l'a déjà dit, les diérences observées entre les perturbations de l'identité et celles de l'automorphisme d'Anosov standard seraient dues au fait que l'automorphisme A a tendance à mélanger les orbites périodiques existantes, et à les répartir uniformément dans le tore.

13.2. Comportement des mesures invariantes. Comme dans le cas conservatif, nous avons calculé les mesures invariantes µ^f_Nⁱ des homéomorphismes dissipatifs f4, f5, f6

et f7 comme dénis à la page 67. Le but est de tester si la proposition 69 s'applique en pratique ou bien s'il y a des contraintes techniques qui font que l'on n'observe pas de tels comportements sur nos exemples.

Nous présentons des images de tailles 128×128 pixels représentant en échelle logarith-mique la densité de la mesureµN : on colorie chaque pixel en fonction de la mesure portée par l'ensemble des points deE_N qu'il recouvre, le bleu correspondant à un pixel qui est de mesure très petite et le rouge à un pixel qui est de mesure grande. Les échelles à droite de chaque image correspondent à la mesure du pixel en échelle logarithmique de base10: si le vert code le nombre−3, alors un pixel vert sera de mesure10⁻³. Pour information, lorsqu'on représente ainsi la mesure de Lebesgue, les pixels ont tous une valeur d'environ−4,2.

L'algorithme de calcul de ces mesures invariantes est de complexité linéaire en la taille de la grille de discrétisation, (voir page44).

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N= 128k,k= 1, . . . ,100

Si on n'a pas de résultat théorique clair quant au comportement de la valeur maximal de la mesureµ^f_N (gure20), on peut au moins observer qu'une convergence de cette quantité serait un bon indicateur du fait que l'homéomorphisme considéré est dissipatif. Comme dans le cas conservatif, le comportement deµ^f_N est bien diérent selon les cas : alors queµ^f_N⁴ varie toujours très fortement selon la valeur deN, on observe des pics pourf₅: il existe quelques rares valeurs deN pour lesquelles la valeur maximale deµ^f_N est bien plus élevée qu'ailleurs.

Ce qui se passe pourf7 est semblable à ce qui se passe pourf5, à ceci près que les valeurs deµ^f_N⁷ sont bien plus faibles. Par contre, le comportement de la valeur maximale deµ^f_N⁶ est bien diérent : sa valeur est très élevée (beaucoup plus que pourf₄) et oscille entre0,02et 0,3, avec beaucoup de valeurs autour de 0,06et0,12, ainsi que quelques valeurs autour de 0,25. Les rapports arithmétiques évidents de ces valeurs peuvent s'expliquer par le fait que certains puits des discrétisations fusionnent pour certaines valeurs de N seulement. Ainsi, il existe des orbites qui attirent beaucoup de points ; cela semble reéter le comportement typique des homéomorphismes génériques.

74

Le comportement des mesures invariantes parf4, qui est rappelons-le une perturbation C⁰ dissipative de l'identité, est relativement semblable à celui des mesures invariantes par f₁, i.e. au cas conservatif correspondant : lorsque l'ordre de discrétisation est assez grand, il y a une forte variation de la mesure µ^f_N⁴ selon l'ordre N; de plus cette mesure possède une composante absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue non négligeable.

Il y a néanmoins des diérences avec le cas conservatif : la valeur maximale de µ^f_N⁴ est très importante, beaucoup plus que pourf₁. On observe qu'il y a des orbites qui attirent beaucoup de points ; cela semble reéter le comportement d'un homéomorphisme dissipatif générique. D'autre part, il y a un phénomène que l'on espère purement anecdotique : ces orbites sont situées sur des bandes verticales ; cela est sans doute lié à des phénomènes arithmétiques particuliers dus à la forme spécique de l'homéomorphismef₄.

Il est normal de ne pas pouvoir observer tous les puits de f4 dans ces simulations : comme l'ont fait remarquer J.-M. Gambaudo et C. Tresser dans [GT83], la taille de ces puits peut être très petite par rapport aux nombres intervenant dans la dénition def₄; ainsi, même à des ordres de discrétisation comme 2¹⁵, le fait de discrétiser ne permet pas de détecter le caractère dissipatif de l'homéomorphisme, et c'est pour cette raison que l'on a l'impression que les discrétisations def4ressemblent beaucoup à celles def1.

Comme pour le cas conservatif correspondant, en l'occurrence f2, les simulations des mesures invariantes def5 sur des grilles de tailles2^k×2^k pourraient laisser penser qu'il y a une convergence lente des mesuresµ^f_N⁵ vers la mesure de Lebesgue ; mais cela s'avère faux lorsqu'on fait des séries de simulations sur beaucoup d'ordres N : il y a quelques valeurs de N pour lesquelles la mesure µ^f_N⁷ possède un forte composante étrangère à la mesure de Lebesgue, le plus souvent portée par une seule orbite périodique de (f5)N. On pouvait s'y attendre : vu que ce qui se passe en discrétisant f₄ est similaire à ce qui se passe en discrétisant f1, on peut s'attendre à ce que les comportements de µ^f_N² et µ^f_N⁵ soient très proches.

Si ce qui se passe pourf4est assez proche de ce qui se passe pourf1, les simulations des mesures invariantes def₆sur des grilles de tailles2^k×2^k mettent quant à elles en avant ce que l'on espère d'un homéomorphisme dissipatif générique : les mesuresµ^f_N⁶ tendent assez vite vers une unique mesure (ce que l'on observe aussi sur des séries de simulations), qui est portée par l'ensemble des puits def6. Le fait de ne créer que quelques puits pourf6permet cette fois-ci, et contrairement à ce que l'on avait vu sur f₄, de retrouver les puits réels de l'homéomorphisme de départ à partir de simulations sur des grilles d'ordres raisonnables (typiquement de taille2¹¹×2¹¹).

De la même manière que dans le cas conservatif, ce qui se passe pour f7, perturbation C¹ dissipative de l'automorphisme d'Anosov standard, est à peu près la même chose que pour f₅, même si les variations observées sont beaucoup moins grandes : comme dans le cas conservatif, on est porté à croire, en observant les simulations sur des grilles de tailles 2^k ×2^k, qu'il y a convergence des mesures µ^f_N⁷ vers la mesure de Lebesgue, et cela de manière bien plus évidente que pourf5. Pourtant, en faisant des séries de simulations, on se rend vite compte qu'il y a, là encore, certaines valeurs deN pour lesquelles les mesures ont une forte composante qui semble étrangère à la mesure de Lebesgue (gure 27). On pourrait rapprocher ce phénomène du second théorème de l'article de F. Abdenur et M.

Andersson (voir [AA12]) qui explique qu'étant donnée une application continuef du cercle dans lui-même, générique parmi les conjugués du doublement de l'angle, la suite(µ_N)_N∈N s'accumule sur l'ensemble des mesures invariantes def. De nouveau, les similitudes avec ce qui se passe pour f3 laissent penser que l'on ne peut pas détecter le caractère conservatif d'un homéomorphismef en observant les mesuresµ^f_N.

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mathématiques CNRS UMR 8628, Université Paris-Sud 11, Bât. 425, 91405 Orsay Cedex FRANCE

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