Comportement en moyenne des discrétisations

On cherche maintenant à étudier le comportement en moyenne des discrétisations d'un homéomorphisme générique : par exemple on pourrait imaginer que si, pour un homéomor-phisme génériquef, l'évènement fN est une permutation cyclique a lieu une innité de fois, il reste malgré tout assez rare. Plus précisément on se propose d'étudier la fréquence d'apparition des propriétés portant sur les discrétisations des homéomorphismes génériques, au sens de Cesàro : si on se donne une propriété(P)portant sur les discrétisations, comment évolue la proportion entre 1 et M des discrétisations vériant la propriété (P) lorsque M tend vers l'inni ? Pour mener cette étude, on commence par faire une hypothèse supplé-mentaire sur la suite des grilles de discrétisation : on suppose qu'elle se rane (ce qui est le cas par exemple pour les discrétisations suivant les grilles uniformes d'ordres des puis-sances d'un entier, voir la section3). Ainsi on évite les problèmes arithmétiques délicats de superposition des grilles. Commençons par une dénition :

Dénition 42. On dit qu'une propriété (P) concernant les discrétisations est vériée en moyenne si pour tout N0 ∈ N et tout ε > 0, il existe N ≥ N0 tel que la proportion d'entiersM ∈ {0, . . . , N} tels quefM vérie(P)est supérieure à1−ε, autrement dit

lim

N→+∞

1

N+ 1Card

M ∈ {0, . . . , N} |f_M vérie(P) = 1.

On se propose de montrer que pour la plupart des propriétés dont on a établi, dans la section précédente, qu'elles apparaissent sur une innité de discrétisations d'un homéomor-phisme générique, celles-ci sont en fait vériées en moyenne. Pour commencer on énonce un lemme technique :

Lemme 43. Soit T un type d'approximation dense dans Homeo(X, λ). Alors pour un homéomorphisme générique f ∈Homeo(X, λ), pour tout ε > 0 et tout α >0, la propriété (P) : E_N contient au moins α sous ensembles disjoints, qui remplissent une part d'au moins 1−ε de E_N, tous stables par f_N, et tels que sur chacun d'eux la restriction de f_N soit conjuguée à une application deT est vériée en moyenne.

En pratique, ce lemme permet d'obtenir bon nombre de propriétés vériées en moyenne, par exemple :

les propriétés quantitatives portant sur les discrétisations, comme par exemple le fait de posséder au moinsM orbites périodiques,

les propriétés d'existence de sous-dynamiques des discrétisations, comme par exemple le fait de posséder au moins une orbite périodique dense.

Preuve du lemme43. Considérons l'ensemble C= \

ε>0 N0∈N

[

N≥N0

( f ∈Homeo(X, λ)

1

N+1Card

M ∈ {0, . . . , N} |fM vérie(P) >1−ε )

,

on veut montrer que C contient unGδ dense de Homeo(X, λ). L'ensembleC est unGδ de l'ensemble générique T

N∈NDN, il sut donc de montrer sa densité parmi T

NDN. Soit f ∈Homeo(X, λ), N0 ∈N, δ >0 et ε >0; cela revient à trouver un homéomorphismeg, qui estδ-proche def et un entierN≥N₀, tels que l'on ait

1

N+ 1Card

M ∈ {0, . . . , N} |gM vérie(P) >1−ε.

Cela est simplement obtenu en combinant la densité du type d'approximation T et le fait que les grilles sont fortement auto-similaires : on trouveN0 ∈N tel qu'il existe σ_N⁰ ₀ ∈ TN0 vériantd_N0(f, σ_N⁰

0) < δ et puisque les grilles sont auto-similaires, on peut insérer la dynamique deσ⁰_N

0 sur au moinsαsous-ensembles disjointsEe_N^j deEN dans une application σN deEN dans lui-même (comme à la proposition40) ; ces ensemblesEe^j_N remplissant une part d'au moins 1−ε de E_N. Finalement on reconstruit un homéomorphisme g dont la discrétisationg_N est égale àσ_N et tel qued(f, g)< δ, par la même technique de preuve que pour le lemme20;gest l'homéomorphisme recherché.

Ce corollaire nous permet d'obtenir un certain nombre de propriétés du comportement moyen des discrétisations. On a par exemple une amélioration du corollaire29:

Corollaire 44. Pour homéomorphisme générique f ∈Homeo(X, λ), la propriété fN

possède une orbite périodique est ε-dense, et le cardinal de Ω(f_N) est inférieur à ϑ(N) = o(q_N) est vériée en moyenne.

Ou bien une amélioration du corollaire37:

Corollaire 45. Pour homéomorphisme génériquef ∈Homeo(X, λ) et pour tout ε >0, la propriété fN estε-topologiquement faiblement mélangeant⁽¹⁵⁾ est vériée en moyenne.

Ou encore une amélioration du corollaire39:

Corollaire 46. Pour homéomorphisme génériquef ∈Homeo(X, λ) et pour tout ε >0, la propriété ^Card(f_Card(E^N(E_N^N₎⁾⁾ < ε est vériée en moyenne.

Et une amélioration du corollaire41:

Corollaire 47. Pour homéomorphisme générique f ∈ Homeo(X, λ) et pour tout M ∈ N, la propriété fN possède au moinsM orbites périodiques est vériée en moyenne.

Néanmoins, remarquons que la propriété la plus simple portant sur les discrétisations, à savoir être une permutation cyclique, ne peut pas être prouvée à l'aide du lemme43. Pour cela, il nous faut un résultat un peu plus précis, que nous ne démontrons que pour le tore muni de discrétisations uniformes qui se ranent.

Lemme 48. Soit f ∈ Homeo(Tⁿ,Leb) et ε > 0. On munit le tore de discrétisations uniformes comme dénies dans la section3, en choisissant la suite(kN)N∈Nde telle manière que la suite de discrétisations se rane. Alors il existe N0∈N tel que pour toutN ≥N0, il existe une permutation σN de EN, à distance au plus ε de f, telle que σN soit une permutation cyclique surE_N0et que pour toutM ∈ {N₀, . . . , N−1},σ_N soit une permutation cyclique surEM+1\EM.

Pour des raisons de simplicité, nous ne démontrons ce lemme que dans le cas où n= 2 (i.e. la variété est le tore T²) et oùkN = 2^N. Les autres cas du lemme se prouvent de la même manière.

Preuve du lemme48. À l'aide du théorème de Lax (théorème 21), on commence par trouver un entierN₀et une permutation cyclique σ_N0 deE_N0 telle que d_N0(f, σ_N0)< ε.

Regardons ce qui se passe à l'ordre N0+ 1. C'est sur EN₀+1 que l'on va dénir une application σ_N⁰₀₊₁, qui sera proche de l'homéomorphisme f. Sur EN₀, on dénit σ⁰_N0+1 comme étant égal à σ_N0 (de manière naturelle). L'idée est alors de refaire la preuve du théorème de Lax (théorème21) pour les éléments deEN₀+1\EN₀. Pour cela, il faut trouver une partition deX en ensembles de mesures identiques, telle que chaque élémentAxde cette partition soit associé de manière bijective à un pointxdeEN0+1\EN0 et soit de diamètre petit . L'idée pour faire cela est de répartir équitablement la masse des cubes deE_N0aux autres cubes.

Dans ce but, on découpe chaque cube de EN₀ en huit sous-ensembles, dont quatre sont de mesure1/(6q_N0+1)et quatre autres de mesure1/(12q_N0+1)(voir la gure6) ; on aecte chacun des quatre premiers à un cube ayant un côté en commun avec le cube initial, et chacun des quatre derniers à un cube ayant seulement un sommet en commun avec le cube initial. On pose alors, pour tout élémentxdeEN₀+1\EN₀,Axla réunion du cubeCxainsi que de tous les sous-ensembles que l'on lui a aecté. Alors chaque ensembleA_xest de mesure

15. Voir la dénition35.

•

Figure 6. Construction⁽¹⁶⁾ du lemme48 pour deux grilles d'ordres 4 et 8 et zoom autour d'un point de la grille d'ordre4

5/(4qN₀+1)et est de diamètre inférieur au triple du diamètre d'un cube deEN₀+1. On peut donc appliquer le théorème de Lax à l'homéomorphisme f et à la partition {Ax}x∈EN de T², partition que l'on numérote de la même manière que la partition E_N0+1 (où l'on saute des numéros), ce qui nous donne une permutation cyclique surEN₀+1\EN₀, qui est proche def. Cela dénit l'applicationσ_N⁰ ₀₊₁là où elle ne l'était pas encore ; celle-ci est nalement proche def et permute cycliquement les éléments deE_N0 ainsi que deE_N0+1\E_N0.

On termine par récurrence, en répétant l'opérationN−N0 fois.

Corollaire 49. Soitf ∈Homeo(Tⁿ,Leb) etε >0; on rappelle que l'on suppose que la suite des grilles de discrétisation est bien répartie, bien ordonnée et fortement auto-similaire.

Alors il existeN₀∈N tel que pour toutN ≥N₀, il existe un homéomorphismeg à distance au plusεdef tel que pour toutM ∈ {N, . . . , N0}, la discrétisationgM soit une permutation cyclique deEM. On peut de plus supposer que cette propriété est vériée sur tout un voisinage deg

Preuve du corollaire49. Soitf ∈Homeo(Tⁿ,Leb)etε >0. Le lemme48nous donne un entierN0 ∈N tel que pour tout N ≥N0, il existe une permutation σN deEN, à distance au plus ε/2 de f, telle que σN soit une permutation cyclique sur EN₀ et que pour tout M ∈ {N0+ 1, . . . , N},σ_M soit une permutation cyclique surE_M \E_M−1. FixonsN ≥N₀, l'idée est de modier légèrement les orbites de σ_N de telle manière que σ_N devienne une permutation cyclique sur tous les ensemblesEM. On commence par choisirxN₀ ∈EN₀, ainsi

16. Ne pas oublier que l'on identie certains points du bord !

quex⁰_N

0+1 ∈E_N0+1 qui lui est adjacent. On modie alors σ_N en intervertissant les points xN₀ et x⁰_N les images de deux points adjacents dans des grilles de discrétisation EM et EM+1. Alors pour toutM ∈ {N0, . . . , N}, la discrétisation surEM deσ_N^M−1est une permutation cyclique.

De plus, l'applicationσ^N_N est à distance au plus ε/2 deσ_N. Cela nous permet, à l'aide de la proposition19, d'interpoler σ_N^N en un homéomorphismeg à distance au plus εde f tel que pour toutM ∈ {N0, . . . , N}, la discrétisation à l'ordre M de g soit une permutation cyclique deEM. Le lecteur attentif aura remarqué que dans ce cas les discrétisations degne sont pas dénies de manière unique et que selon les choix faits lors de la dénition deP_N sur E_N⁰ , celles-ci peuvent ne pas être des permutations cycliques. Si on veut éviter ce problème, il sut de modier légèrement l'applicationσ^M_N ; cela assure de plus que les conclusions du corollaire sont vériées sur tout un voisinage deg.

Proposition 50. Pour un homéomorphisme générique f ∈ Homeo(Tⁿ,Leb), la pro-priété f_N est une permutation cyclique est vériée en moyenne.

Preuve de la proposition50. Soit l'ensemble

C= \ entierN ≥N0, tels que pour tout homéomorphismeg⁰ susament proche deg, on ait

1

N+ 1Card

M ∈ {0, . . . , N} |g_M⁰ ∈P >1−ε,

mais un tel homéomorphismegest donné par une application directe du corollaire49, dans lequel on choisitN ≥N0 tel que de plusεkN > kN₀.

Remarque 51. À l'aide de l'applicationφdonnée par le théorème13, on peut montrer un résultat similaire pour les images du cubeIⁿ muni de ses discrétisationsE_N⁰.

Remarque 52. En revanche, la propriété d'approximation par des permutations bicy-cliques ne passe pas en moyenne avec cette technique.

Remarque 53. Un calcul simple montre que tout ce que l'on a fait dans cette sec-tion s'applique également au comportement des discrétisasec-tions en moyenne de moyenne de

Cesàro, en moyenne de moyenne de moyenne de Cesàro, etc., autrement dit lorsqu'on étudie

Jusqu'à présent nous nous sommes intéressés uniquement aux comportements ensembliste et topologique des discrétisations. Dans cette partie, nous étudions leur comportement er-godique, et montrons qu'il varie lui aussi fortement suivant l'ordre de la discrétisation. Plus précisément, nous étudions la mesure µ^f_N qui est la mesure invariante naturelle pour f_N : c'est la limite au sens de Cesàro des poussées en avant de la mesure uniforme sur EN par les itérés de la discrétisationfN (voir la dénition7) :

µ^f_N = lim

La mesureµ^f_N est supportée par l'ensemble invariant maximal def_N; elle est uniforme sur toute orbite périodique et le poids total d'une orbite périodique est proportionnel à la taille du bassin d'attraction de cette orbite. Un premier pas dans l'étude des mesures invariantes par les discrétisations a été eectué par T. Miernowski en 2006 ; dans la partie 8. de son article [Mie06], il démontre la proposition suivante :

Proposition 54. Soit f : X → X un homéomorphisme uniquement ergodique et µ^f son unique mesure de probabilité invariante. Pour tout N ∈N, soient γN ⊂EN un cycle périodique def_N etν_N la mesure de probabilité uniforme surγ_N. Alors on a la convergence faible ν_N * µ^f, et cela indépendamment des choix des cyclesγ_N.

La preuve de cette proposition est une conséquence facile du théorème de Prohrov (théo-rème 6) qui traduit la compacité de l'ensemble des mesures de probabilité sur X. De la même manière, on peut montrer un résultat similaire en remplaçant ν_N parµ^f_N : si f est uniquement ergodique, alors il y a convergence faible des mesures µ^f_N vers l'unique mesure µ^f invariante parf. Partant de là, on pourrait s'attendre à ce que pour un homéomorphisme génériquef ∈Homeo(X, λ), les mesuresµ^f_N tendent vers la mesureλ. Il n'en est rien, la suite des mesures(µ^f_N)s'accumule en fait sur toutes les mesures de probabilitéf-invariantes⁽¹⁷⁾; plus précisément on a le théorème suivant :

17. Il est facile de voir que si(νN)N∈N est une suite de mesures, chacune invariante parfN, alors son ensemble d'accumulation est formé de mesuresf-invariantes. Cela traduit de nouveau le fait que le compor-tement des discrétisations d'un homéomorphisme générique est le plus chaotique possible .