www.etude-generale.com TCSI–2nde Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
La droite dans le plan (Étude Analytique de la droite)
Coordonnées d’un point–coordonnées d’un vecteur
Repère du plan
Dé…nition 1 Un repère du plan est dé…ni par trois points non alignés (O; I; J). Le point O est l’origine du repère, la droite (OI) est appelée l’axe des abscisses, la droite (OJ) est appelée l’axe des ordonnées.
On peut aussi dé…nir un repère à l’aide des vecteurs. Si on pose OI! = !i et OJ! = !j le repère sera noté O;!i ;!j avec !i et !j deux vecteurs non colinéaires. Dans ce cas
O;!i est l’axe des abscisses et O;!j est l’axe des ordonnées.
Exemple 2
Cas particuliers :
Si les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Si les pointsO; I et J forment un triangle rectangle isocèle en O (c’est-à-dire siOI =OJ et (OI)?(OJ)) alors le repère est dit orthonormal (ou orthonormé).
Exemple de repère orthonormal :
Coordonnées d’un point
Propriété 3 Dans un repère O;!i ;!j , pour tout point M du plan il existe un couple unique de nombres réels (x; y) tels que : OM!=x!i +y!j :
On dit que (x; y) est le couple de coordonnées du point M et on notera M(x; y). On appelle x l’abscisse de M et y son ordonnée.
Coordonnées d’un vecteur
Dé…nition 4 Dire que le vecteur !u a pour coordonnées x et y dans le repère veut dire que : !u =x!i +y!j :
Pour indiquer les coordonnées du vecteur on utilise la notation : (x; y):
Propriété 5 Soient !u(x; y) et !v(x0; y0) deux vecteurs d’un plan muni d’un repère.
!u =!v équivauxx=x0 et y=y0: Propriété 6 Soit O;!i ;!j un repère.
Si A(xA; yA) et B(xB; yB) alors : !
AB(xB xA; yB yA):
Exemple 7 SiA(1; 4)etB( 3;7)alors:AB!( 3 1;7 ( 4));c’est-à-dire:AB!( 4;11):
Coordonnées de la somme de deux vecteurs et du produit d’un vecteur par un nombre réel.
Propriété 8 Dans un plan muni d’un repère, si !u (x; y) et !v (x0; y0) et k est un nombre réel. Alors :
le vecteur !u +!v a pour coordonnées : (x+x0; y+y0): le vecteur k!u a pour coordonnées : (kx; ky):
Exemple 9 Le plan étant muni d’un repère, soit !v (6; 1) et !w ( 7;2):Calculer les coor- données du vecteur !v + 2!w :
comme !w( 7;2) et 2!w ( 14;4): Donc : !v + 2!w(6 14; 1 + 4).
C’est-à-dire : !v + 2!w( 8;3):
Condition analytique de la colinéarité de deux vecteurs.
Déterminant de deux vecteurs
Dé…nition 10 Dans un repère O;!i ;!j du plan. On appelle déterminant des vecteurs
!u (x; y) et !v (x0; y0) dans ce repère le nombre noté det (!u ;!v) tel que : det (!u ;!v ) = x x0
y y0 =xy0 x0y
Exemple 11 Dans un repère O;!i ;!j du plan. On considère les vecteurs !u (4;5) et
!v ( 2;1):
Le déterminant des vecteurs !u et !v est le nombre : det (!u ;!v) = 4 2
5 1 = 4 1 ( 2) 5 = 14 Propriété 12 (Déterminant de vecteurs colinéaires)
Dans un repère O;!i ;!j du plan. On considère les vecteurs !u (x; y) et !v (x0; y0): Les vecteurs !u et!v sont colinéaires si, et seulement si leur déterminant est nul c’est-à-dire si, et seulement si det (!u ;!v ) = 0:
Démonstration 13 On suppose que les vecteurs !u et !v sont colinéaires.
Si : !u =!0, alors : x=y= 0: Donc : xy0 x0y = 0: C’est-à-dire : det (!u ;!v ) = 0:
Si : !u 6= !0, donc il existe k de R tel que : !v = k!u : Ceci signi…e que : x0 = kx et y0 =ky:
Donc :
det (!u ;!v) = xy0 x0y =xky kxy = 0 Réciproquement : On suppose que xy0 x0y = 0:
Si : !u 6=!0 donc : x6= 0 ou y6= 0:
On suppose que : x6= 0 (même démarche si y6= 0): On a : xy0 x0y = 0. C’est-à-dire : y0 = xx0y.
On pose k = xx0: Donc : y0 = ky et x0 = kx: Ce qui signi…e que : !v = k!u : Donc les vecteurs !u et !v sont colinéaires.
Si : !u =!0: Alors !u et !v sont colinéaires.
Dans les deux cas si xy0 x0y= 0, alors !u et !v sont colinéaires.
Exemple 14 Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Montrer que les points M(4; 1), N(7; 3) et P ( 5;5) sont alignés.
On cherche les coordonnées des vecteurs !
M N et ! M P :
On a:M N!(xN xM; yN yM);donc:M N!(3; 2):De même on a:M P!(xp xM; yp yM); donc : M P!( 9;6):
Calculons det ! M N ; !
M P :
det M N ;! M P! = 3 9 2 6 = 0
On conclut que les vecteursM N! etM P!sont colinéaires, par suite les points sont alignés.
Milieu et longueur d’un segment
Milieu d’un segment
Propriété 15 Dans un plan muni d’un repère étant donné deux pointsA(xA; yA)etB(xB; yB), le milieu du segment [AB] a pour coordonnées xA+x2 B;yA+y2 B :
Longueur d’un segment
Propriété 16 Dans un plan muni d’un repère orthonormé, si A(xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points alors la distance de A à B est AB=
q
(xB xA)2+ (yB yA)2:
Exemple 17 La distance entre les points A(3;1) et B( 1;2) dans un repère orthonormé.
AB = q
(xB xA)2+ (yB yA)2
= q
( 1 3)2+ (2 1)2
= p
17
Droite dé…nie par un point et un vecteur directeur
Vecteur directeur d’une droite
Dé…nition 18 Soit une droite (d) dé…nie par deux points A et B. Un vecteur directeur !u de la droite (d) est le vecteur AB:!
Remarque 19 Le vecteur !u n’est pas unique, car 2points quelconques de la droite dé…nis- sent un vecteur directeur.
Remarque 20 Si !u et !v sont deux vecteurs directeurs de la droite (d), alors les vecteurs
!u et !v sont colinéaires. On a doncdet (!u ;!v) = 0:
Exemple 21 Soit la droite (d) dé…nie par : A(3; 5)et B(2;3): Le vecteur !
AB est un vecteur directeur de la droite (d), on a alors : !
AB( 1;8):
Représentation paramétrique d’une droite
Propriété 22 Dans le plan muni d’un repère. On considère la droite (D) passant par le point A(xA; yA) et de vecteur directeur !u (a; b): Le point M(x; y) appartient à la droite (D) si et seulement si : x=xA+at
y=yA+bt ; (t2R): Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite (D):
Démonstration 23 :
M 2 (D) () !u et !
AM sont colinéaires () il existe un réel t tel que AM!=t!u () (x xA; y yA) =t(a; b)
() x xA=at
y yA =bt ;(t2R) () x=xA+at
y=yA+bt ;(t2R)
Exemple 24 Dans le plan muni d’un repère. On considère la droite (D) passant par le point A(3; 5) et de vecteur directeur !u ( 2;3):
Une représentation paramétrique de la droite (D) est : x= 3 2t
y= 5 + 3t ;(t2R) Exemple 25 Dans le plan muni d’un repère O;!i ;!j .
On considère dans le plan la droite (D) passant par les points A(3; 2) et B(5;4): Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D):
Équation cartésienne d’une droite dans le plan
L’équation cartésienne d’une droite est la relation qui relie les coordonnées de tout point de cette droite.
Dé…nition 26 Soit O;!i ;!j un repère.
L’équation cartésienne d’une droite s’écrit comme suit : ax+by+c= 0 où a; b et csont des réels a et b ne sont pas tous nuls.
Exemple 27 On considère un repère O;!i ;!j du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (D) passant par les points A(1;2) et B( 1;3):
Méthode.
Soit M(x; y) un point du plan.
M 2(D) signi…e que les vecteurs !
AM et !
AB sont colinéaires.
Donc : det AM ;! AB! = 0; et comme : AM!(x 1; y 2)et AB!( 2;1): Alors :
det !
AM ; !
AB = x 1 2
y 2 1 = 0
() x 1 2
y 2 1 = 0
() (x 1) ( 2) (y 2) = 0 () x+ 2y 5 = 0
Donc une équation cartésienne de la droite (D) est :x+ 2y 5 = 0:
Propriété 28 (Admis)
Soit O;!i ;!j un repère et a; b et c des réels tels que : a6= 0 oub 6= 0:
L’ensemble des points M(x; y)tels queax+by+c= 0 est une droite de vecteur directeur
!u ( b; a):
Exemple 29 Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d) passant par le point A(3;1) et de vecteur directeur !u ( 1;5):
On a : !u ( 1;5) est un vecteur directeur de (d), une équation cartisienne de (d) est de la forme : 5x+y+c= 0:
Pour déterminer c;il su¢ t de substituer les coordonnées deAdans l’équation. On obtient :
5 3 + 1 +c= 0 () c= 16
Donc une équation cartésienne de la droite (D) est : 5x+y 16 = 0:
Remarque 30 L’équation cartésienne d’une droite n’est pas unique. On peut toujours mul- tiplier les coe¢ cients par un facteur k non nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l’exemple l’equation cartésienne suivante : 10x+ 2y 32 = 0 en multipliant par 2:
Exemple 31 Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Déterminer une équation cartésienne de la droite(D)dé…nie par la représentation paramétrique suivante :
x= 1 + 2t
y= 3 4t ;(t 2R) Soit t2R:
On a :
x= 1 + 2t y= 3 4t
() x 1 = 2t
y 3 = 4t () t = x21
t= 34y
Donc, on obtient : x21 = 34y; on écrit cette équation sous la forme : ax+by+c= 0:
x 1
2 = 3 y
4 () 2 (x 1)
4 = 3 y
4 () 2x+y 5 = 0 Donc une équation cartésienne de la droite (D) est : 2x+y 5 = 0:
Exemple 32 Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) dé…nie par l’équation car- tisienne suivante : 3x 2y+ 4 = 0:
On sait que le vecteur !u ( b; a) est un vecteur directeur de la droite (D) tel que : a = 3 et b = 2:
Ceci signi…e que le vecteur!u (2;3)est un vecteur directeur de la droite(D):On prend le point A(0;2) appartient à(D):
Donc, Une représentation paramétrique de la droite (D) est : x= 2t
y= 2 + 3t ;(t 2R):
Équation réduite d’une droite
Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Une équation cartésienne de la droite (d) est donc du type : ax + by + c = 0 avec (a; b)6= (0;0):
Comme b6= 0;on peut diviser cette équation par b, on obtient alors : a
bx+y+ c
b = 0 () y = a b x c
b
En posant :m = ba et p= bc; on obtient: y=mx+p
Cette équation est appelée "équation réduite" de la droite (d): m est appelé la pente ou le coe¢ cient directeur de la droite(d): pest appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d):
Exemple 33 On considère la droite(d) d’équation cartésienne : 4x+y 6 = 0:
4x+y 6 = 0 () y= 4x+ 6 Donc, l’équation réduite de la droite (d) est : y= 4x+ 6:
Propriété 34 (Droites particulières)
Une droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) a comme équation : y=a:
Une droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) a comme équation : x=b:
Exemple 35 Soit O;!i ;!j un repère du plan.
Tracer la droite (d) d’équation réduite : y= 2x+ 3:
Méthode
La droite (d) d’équation y = 2x+ 3 a pour ordonnée à l’origine 3: Donc le point A de coordonnées (0;3) appartient à (d):
Soit B le point d’abscisse 2 appartenant à la droite (d). Les coordonnées de B véri…ent l’équation de (d), donc:yB = 2 ( 2) + 3 = 1:Le point B de coordonnées ,( 2; 1) appartient à la droite (d):
On peut ainsi tracer la droite (d) passant par A et B:
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
x y
La Position relative de deux droites
Propriété 36 Dans un repère du plan. Soit la droite (D) d’équation cartésienne ax+by+ c = 0 avec (a; b) 6= (0;0) et la droite (D0) d’équation cartésienne a0x+b0y+c0 = 0 avec (a0; b0)6= (0;0):
Les deux droites (D) et (D0) sont parallèles si et seulement si : b b0
a a0 = 0:
Les deux droites (D) et (D0) sont sécantes si et seulement si : b b0
a a0 6= 0:
Démonstration 37 :
Les droites (D) et (D0) sont parallèles signi…e que leur vecteur directeur sont colinéaires.
C’est-à-dire: !u ( b; a)et !v ( b0; a0) sont colinéaires. Donc: det (!u ;!v) = 0:Ce qui signi…e que : b b0
a a0 = 0:
Démonstration similaire dans le cas des droites sécantes.
Remarque 38 À l’aide de l’équation réduite
Soient les deux droites (D) : y =m1x+p1 et (D0) : y=m2x+p2: On a: (D)k(D0) signi…e que:m1 =m2:
(D) et (D0) sont sécantes signi…e que : m1 6=m2:
Exemple 39 Démontrer que les droites(D1)et(D2)d’équations respectives6x 10y 5 = 0 et 9x+ 15y= 0 sont parallèles.
Le vecteur !u (10;6) est un vecteur directeur de la droite (D1): Le vecteur !v ( 15; 9) est un vecteur directeur de la droite (D2): Calculons : 10 15
6 9
10 15
6 9 = 10 ( 9) ( 15) 6 = 0 Donc les droites (D1) et (D2) sont parallèles.
Résolution des systèmes linéaires
Dé…nition 40 On appelle système d’équations linéaires de deux équations à deux inconnues, le système dé…ni par :
(S) : ax+by =c a0x+b0y=c0
Résoudre un système d’équation linéaires à deux inconnues x et y et à deux équations, c’est trouver tous les couples (x; y) véri…ant simultanément les deux équations.
Exemple 41 Soit le système dé…ni par:
(S) : x+ 2y = 1 3x 5y= 4
(S) est donc un système linéaire de deux équations à deux inconnues.
Chaque équation d’un système linéaire à deux inconnue(S)est assimilable à une équation cartésienne d’une droite. On peut donc assimiler le système linéaire de deux équations à l’intersection de deux droites.
Résolution par le calcul (algébrique) :
Méthode de résolution par substitution :
Exemple 42 Résoudre par substitution le système: x 7y = 4 4x+ 3y= 2 x 7y= 4
4x+ 3y= 2 () x= 7y+ 4 (1)
4x+ 3y= 2 (2) On remplace l’inconnue x dans l’équation (2), on obtient :
4 (7y+ 4) + 3y= 2 () 25y 18 = 0 () y= 18 25 On remplace l’inconnue y par 2518 dans la première équation. On obtient :
x 7 18
25 = 4 () x= 26 25 Donc
S= 26
25 ; 18 25 Par élimination ou combinaisons linéaires 1) On choisit l’inconnue à éliminer : x ( ou y).
2) On multiplie chacune des deux équations par un coe¢ cient bien choisi pour faire appa- raitre le même nombre dex (ou de y ) dans chaque équation.
3) On ajoute ensuite membre à membre chaque équation. L’inconnue choisie disparait.
4) On peut donc calculer l’autre. Puis on remplace l’inconnue par sa valeur dans une des deux équations du départ pour trouver la 2ème inconnue.
Exemple 43 Résoudre par élimination le système : 3x 7y= 4 4x+ 3y= 2 3x 7y= 4 (4)
4x+ 3y = 2 (3) () 12x 28y = 16 (1) 12x+ 9y= 6 (2) On additionne terme à terme (1) et (2). On obtient :
19y= 22 () y = 22 19
On remplace y par 1922 dans la première équation. On obtient :
3x 7y= 4 () 3x 7 22
19 = 4 () x= 26 19 Donc :
S= 26
19 ; 22 19 FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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