Oscillations forcées I

Oscillations forcées

I₂₅. Microscope à force atomique (Centrale PC 2000).

1) Approche de l'origine de la force atomique.

L'interaction entre deux atomes non liés par une liaison de covalence et distants de r peut être décrite par une énergie potentielle de Lennard-Jones _LJ( ) B₁₂ A₆

U r

r r

= −

où A=10⁻⁷⁷J.m⁶ et B =10⁻¹³⁴J.m¹².

a) Représenter l'allure de la courbe représentative de la force d'interaction en fonction de la distance , cette force étant comptée comme positive si répulsive.

( )

F r r

b) Déterminer numériquement la distance inter atomique à l'équilibre.

re

c) Préciser dans quel cas la force est attractive ou répulsive.

d) Préciser dans quel cas la force est une fonction croissante de la distance.

e) Calculer numériquement et . Commenter.

(0, 9 )_e

F r F(1,1 )r_e

2) Modes statiques : mode à hauteur constante et mode asservi.

Le microscope à force atomique est constitué par une sonde, formée par une pointe très fine, fixée à une lame très flexible. Cette lame fléchit en fonction de la force entre la pointe et la surface à examiner.

Le mode de fonctionnement le plus direct, dit mode à hauteur constante,consiste àdéplacer la sonde dans un plan au dessus de l'échantillon (figure 5). On enregistre alors la valeur de la force d'interaction entre l'échantillon et la pointe en fonction des coordonnées dans ce plan. On utilise également un autre mode de fonctionnement, dit mode asservi, dans lequel la force mesurée est maintenue constante au cours du balayage, en ajustant, en chaque point de mesure, la position verticale de la sonde. Cette position verticale est contrôlée par une boucle d'asservissement qui impose un balayage à force constante de l'échantillon.

x z,

x z,

a) Justifier la représentation dans la figure 6 d'une trajectoire de la pointe parallèle à la surface de l'échantillon.

b) Ces deux modes de fonctionnement permettent-ils de déterminer la forme de la surface de l'échantillon si l'on ignore la loi d'interaction entre la pointe et l'échantillon ?

c) Quels sont, selon vous, les avantages respectifs de ces deux modes ? d) Comment peut-on procéder pour accéder à la loi d'interaction ? 3) Mode vibrant.

Une alternative aux modes statiques décrits précédemment est une étude du comportement de la sonde en régime d'oscillations forcées.

Pour simplifier l'étude du mouvement de la pointe liée à la lame, on considérera que ce mouvement est identique à celui d'un système masse-ressort, l'élongation de la masse correspondant au fléchissement de la lame portant la pointe.

a) Soit un ressort de raideur k, à l'extrémité inférieure duquel on accroche une masse m. On désigne par l’allongement du ressort et par l'écart par rapport à la position d'équilibre. Établir l'équation différentielle en η si l'extrémité supérieure est fixe et les frottements négligeables.

x η

b) On impose à l'extrémité supérieure un mouvement oscillant de loi horaire . A quelle équation différentielle obéit ?

( )t 0sin β =β ωt ( )t

η

c) Exprimer l’amplitude H des oscillations de la masse m en fonction de et de la pulsation pour laquelle cette amplitude présente une singularité.

ω ω₀

d) Expérimentalement, on trouve pour . Montrer que la forme de la relation entre et est compatible avec un frottement proportionnel à la vitesse de la masse m.

100 0

H = β ω =ω₀ H β₀

e) Préciser la valeur du facteur de qualité Q de l'oscillateur.

)

'ordre

mont ors

f) Outre la force de frottement précédente et la force de rappel élastique, la masse ^m est soumise à la force dépendant de la différence entre l’abscisse y indépendante du temps de la surface à explorer et l’abscisse ^x de la pointe ; étant la force étudiée à la question 1), la masse m est-elle soumise à la force ou ?

( F y−x

( ) F r

( )

F y−x −F y( −x)

g) L’abscisse de la pointe à l’équilibre étant , on effectue un développement limité à l 1 de F au voisinage de xeq en puissances successives de x −xeq rer que l'on obtient al un oscillateur de pulsation propre

xeq

;

* k* /

ω = une raideur effective s'exp

en fonction de la raideur k du ressort et d'une dérivée de ^{F r( )}.

m oùk* est rimant

h) Justifier pourquoi on dit qu'en mode vibrant, le microscope à force atomique est sensible aux gradients de force ?

i) Un déplacement du pic de résonance vers les basses fréquences indique-t-il une force attractive ou répulsive ? II42. Création de vagues (d’après petites mines 2003).

Pour créer des vagues dans une piscine, on fait effectuer des oscillations verticales à un gros corps de masse M immergé.

Ce corps de masse volumique ρ et de volume V est plongé dans l'eau de masse volumique ρeau et suspendu à un ressort de raideur k et de longueur à vide L0, accroché en un point A (voir figure).

A Soit R le référentiel terrestre supposé galiléen.

1) Ecrire la condition d'équilibre du corps de masse M portant sur la longueur h dans R. On néglige la hauteur du corps.

2) On s'intéresse au mouvement vertical du corps et on note z la cote de son centre de gravité G suivant un axe vertical orienté vers le bas, en prenant pour origine la position

d’équilibre. Ecrire l'équation différentielle déterminant z en fonction du temps t. Donner la pulsation propre ω0 de cet oscillateur. On négligera les frottements dans cette question.

M h

z

3) On tient compte désormais d'une force de frottement visqueux, colinéaire à la vitesse et d'intensité FG =−αvG , exercée par l'eau sur le corps. Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t). En se plaçant dans le cas d'un amortissement faible, donner sans calcul l'allure du graphe de z(t) pour les conditions initiales suivantes : à t = 0, z = z1

> 0 et la vitesse initiale est nulle.

4) A l'aide d'un piston, on impose à l'extrémité A du ressort, un mouvement vertical sinusoïdal selon zA(t) = ZAm

cos(ωt) centré sur la position de A précédente. Exprimer la tension du ressort en fonction de z, z_A, k, h et L0. Ecrire dans le référentiel R l'équation différentielle vérifiée par z(t).

5) Calculer l'amplitude Zm des oscillations du corps. On utilisera la notation complexe et on fera apparaître les constantes ω₀, τ = M/ α, Q = ω₀τ et la variable x = ω/ω₀.

6) Dans ce dispositif, l'intérêt du ressort est de permettre d'obtenir des oscillations du corps d'amplitude Zm supérieure à celle ZAm de l'excitation. On veut que Zm > 3ZAm . A quelle condition approximative (on ne demande pas la condition précise) sur Q existe-t-il des valeurs de ω pour lesquelles Zm > 3ZAm ?

7) Si Q = 4, dans quel intervalle doit se trouver ω pour que Z_m > 3ZAm ? III₂₁. Sismographe sans amortissement, d’après X 2004 MP.

On considère le référentiel terrestre T comme galiléen.

Un sismographe est constitué par un solide de masse ^m accroché à un bâti lié au sol par un ressort de raideur k et de longueur naturelle A₀. Jusque l’instant 0, le sol est immobile et le système est en équilibre.

m 1) Quelle est la longueur A₁ du ressort ?

2) Après l’instant 0, le sol se met en mouvement ; à l’instant t, son abscisse dans comptée

positivement vers le bas par rapport à sa position avant l’instant 0 est ^{X X} , où et ω sont des constantes. Montrer que le déplacement ^x du solide dans par rapport à sa position avant l’instant 0 obéit à l’équation différentielle ^{x x} et exprimer les constantes et ^a.

T

(1 cos )

m t

= − ω X_m

1 c s )

a t

+ω = − ω

T

2 (

0 o ω₀

3) Déterminer x t^{( )}.

4) Soient x et x les abscisses maximum et minimum du solide au cours du temps dans . Montrer que le

plus souvent se met sous la forme

max min T

max min

x x x

∆ = − ²₂ ²₂⁰

0 m

x c ω +ω X

∆ =

ω − ω , où c est un facteur numérique que l'on déterminera. Représenter schématiquement ∆^x en fonction de ω.

5) Voyez vous des cas, autre que celui où ω=ω0, où la forme annoncée de ∆x est douteuse ?

Réponses

I. 1.a) ^{F 12}₁₃^{B 6}₇

r r

= − A

représenté ci-contre ; 1.b)

; 1.c) répulsive pour et attractive pour ; 1.d) selon l’interprétation de l’énoncé,

ou , où

1/ 6 10

(2 / ) 3, 55.10 m

re = B A = ⁻ r <r_e

r >re r >r₁

e 1

r < <r r ^{r1 =}

( )

²⁶_7A^{B 1/ 6 =1,109re ; 1.e)}

; ; est peu

linéaire ; 2) voir corrigé ; 3.a) ^m ; 3.b) 3.c)

(0, 9 )_e 1, 56.10 10N

F r = ⁻ F(1,1 )r_e =−1, 89.10⁻¹¹N F r( )

kη )) ;

η=− mη =−k(η +β(t

0

2 2

1 / 0

H ; 3.d) la linéarité de H est compatible

avec un frottement linéaire ; 3.e) Q ; 3.f) − ; 3.g) k k ; 3.i) attractive.

= − β

ω ω = β

= − ) = −F y′ −x )

100 0

100 F y( x * ( _eq

II. 1) Mg− ρ_eauVg −k h( −L₀)=0 ; 2) Mz+kz =0 ; ₀ k ω = M ;

3) +α = ; voir ci-cont z −z ) ;

; 5) 0

Mz z+kz re ; 4) −k h( −L₀ +

c

A Am os

Mz+αz+kz =kZ ωt

(

^{1 2}

)

^{2 2}₂

m ZAm

Z x

x Q

=

− +

; 6)

; 7) 3 Q >

0

0, 864 < ω <1, 092

ω .

III. 1) 1 0 mg

= + k

A A ; 2) 0 k

ω = m ; a ^kXm

= m ;

3) ( )

2 2 2

0 c=2

0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

cos cos cos cos

m 1

a a t a t t t

x = ω +ω ω − ωω ω +ω − ωω =X ⎛⎜⎜⎜⎝ +ω ω − ωω − ω ω ⎟⎞⎟⎟⎟⎠ ; 4) ; 5) si ω ω/ 0 rationnel.

Corrigé

I. Microscope à force atomique.

1) Approche de l’origine de la force atomique.

a) La force est F ^{dU 12}₁₃^{B 6A}₇

dr r r

=− = − .

b) A l’équilibre, .

c) La force est répulsive pour et attractive pour .

1/ 6 10

0 _e (2 / ) 3, 55.10 m

F = ⇔r =r = B A = ⁻

r <re r >r_e d) Réponse formelle : 156₁₄ 42₈

'( ) B A 0

F r =− r + r < si

( )

^{1/ 6 10}

1

26 1,109 3, 9.10 m

7 ^e

r r B r

A

< = = = −

Le minimum de F r( ) a lieu pour r =r₁. La force est fonction croissante de la distance si r >r₁.

Si on considère que la question est préciser dans quel cas le module de la force est une fonction croissante de la distance, la réponse est r_e < <r r₁.

e)

134 77

13 7 10

134 77

11

13 7

12.10 6.10

(0, 9 ) 1, 56.10 N

(0, 9 ) (0, 9 )

12.10 6.10

(1,1 ) 1, 89.10 N

(1,1 ) (1,1 )

e e e

e

e e

F r

r r

F r

r r

− −

−

− −

−

= − =

= − =−

Au voisinage de la position d’équilibre est peu linéaire, puisque ces deux résultats ne sont pas l’opposé l’un de l’autre. En fait, le mode vibrant tire partie de cette non linéarité.

( ) F r

2) Modes statiques : mode à hauteur constante et mode asservi.

a) La force est une fonction de la distance entre la pointe et la surface. Imposer une force constante revient à imposer une distance constante entre la pointe et la surface, si la surface ne comprend que des atomes semblables.

b) Le mode à hauteur constante impose de connaître la loi d’interaction entre la pointe et l’échantillon ; la force tombant rapidement à zéro à grande distance, les parties éloignées sont inconnues. Le mode asservi ne nécessite pas .cette connaissance ; il suppose seulement que la loi d’interaction soit la même en tout point de la surface ; toutefois, il y a une déformation due au caractère transverse de la force là où la surface est fortement inclinée.

c) Le déplacement lors du mode à hauteur constante est plus facile à réaliser. Le mode asservi nécessite un balayage plus lent et est plus difficile à réaliser, mais donne directement la forme de la surface, si celle-ci est formée d’atomes semblables.

d) Pour accéder à la loi d’interaction, il faut déplacer verticalement la pointe, mesurer la force en fonction du déplacement et tenir compte éventuellement que la distance dépend de la flexion du support de la pointe.

3) Mode vibrant.

a) Soit x l’allongement du ressort à un instant quelconque et l’allongement du ressort à l’équilibre. Ecrivons pour le mouvement la loi fondamentale de la dynamique et pour l’équilibre la loi de la statique :

Retranchons membre à membre en posant : xeq

0 _eq

kx kx

−

mx mg

mg

= +

=− +

)) x xeq

η = − mη =−kη b)

( ( ))

0 _eq

mx k x t mg

kx mg

β

=− + +

=− +

Retranchons membre à membre : ^mη=−^k(η+β^(t

(k−mω η2) =−kβ k ^{0 0}

= η = β = β

H k

ω =ω =

d) Si la force de frottement est proportionnelle à la vitesse de la masse suspendue, l’équation différentielle gouvernant est linéaire et a une solution sinusoïdale correspondant au régime permanent dont l’amplitude H est proportionnelle à l’amplitude de l’excitation. Ceci est compatible avec la donnée expérimentale .

η

β0 H =100β₀

Si la force de frottement n’est pas proportionnelle à la vitesse, l’amplitude de la réponse n’est pas proportionnelle à celle de l’excitation. Supposons la force de frottement proportionnelle à la puissance n de la vitesse, soit de la forme

signe( ) ⁿ

f η η

− ; l’équation différentielle est mη+kη =^kβ₀^sinω^t−^f η^{nsigne( )}η ; en régime permanent, le travail des forces non conservatives ^kβ₀^sinω^t−^f η^{nsigne( )}η sur un cycle doit être nul, donc l’amplitude ^H des oscillations à la résonance est telle que kβ₀ est de l’ordre de f(ωH)ⁿ : H est de l’ordre de

1

1 k 0 n

f β ω

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜⎝ ⎠ . Ceci incite à penser que le cas du frottement solide ( ) pose problème, l’amplitude des oscillations augmentant indéfiniment au cours du temps.

0 n =

e) Divisons l’expression de la loi fondamentale de la dynamique par m : ( ² i ^{0 2}₀) Q

η ω− + ωω +ω =−ω β²₀ . Comme la résonance est aiguë, elle a lieu pour ω voisin de ω₀ et = η ω( = ₀) = β₀ ⇒Q=100

−

H ω Q

f) La force est −F y( x), où F est la fonction obtenue en 1).

g)

( ( )) ( ) 0

0 _eq ( _eq)

mx k x t mg F y x m x Q kx mg F y x

β ω

=− + + − − −

=− + − −

Retranchons membre à membre en posant η =x −x_eq :

( ( )) ( _eq) ( ) m x0

m k t F y x F y x

Q

η =− η+β + − − − − ω

. Pour les petites les oscillations :

. D’où

( _eq) ( ) ( _eq) ( _eq

F y−x −F y−x ≈ x−x F y′ −x ) * ( ) m ⁰

m k , où

. La pulsation de résonance est

k t Q

η =− η− β − ω η

)

* ( _eq

k =k−F y′ −x k *

ω = m .

h) Si on déplace la pointe, la fréquence varie si la force varie avec la position donc s’il y a un gradient de force.

i) Un déplacement du pic de résonance vers les basses fréquences indique que k k , ce qui a lieu, vu le graphique de F r trouvé en 1), quand r où

*< ⇒F y′( −x_eq)>0

>r

( ) ₁ r₁ =( )¹³₇ ^{1/ 6}r_e =1,109r_e est la distance pour laquelle est minimum. La force est alors attractive.

( ) F r

Ce résultat traduit le fait que si r est inférieur à r , la force entre la pointe et la surface est une force de rappel et augmente la raideur effective, tandis que si r est supérieur à , la force entre la pointe et la surface est une force qui tend à écarter la pointe de sa position d’équilibre et donc à diminuer la raideur effective.

1

r1

II. Création de vagues.

1) La somme des forces est nulle, soit Mg − ρ_eauVg−k h⁽ −L0⁾=0.

2) D’après la loi fondamentale de la dynamique,Mz . En tenant compte de la

relation trouvée à la question 1, ou en remarquant que comme z est la position d’équilibre les termes constants doivent se simplifier,

( ₀

eau )

Mg Vg k h L z

= − ρ − − +

0

Mz+kz = , qui est l’équation d’un oscillateur harmonique de pulsation ₀ k

ω = M .

3) Mz+αz+kz =0 . Le graphe de z t^{( )} est représenté ci-contre : 4) La tension du ressort est − − . D’après la loi fondamentale de la dynamique,

, d’où

( _{0 A})

k h L +z −z

( ₀ )

eau A

Mz=Mg− ρ Vg−k h−L +z−z − αz

Amcos

Mz+αz+kz =kZ ωt .

5) En utilisant z =Z e_m ^{i tω} z =i zω z =⁽iω⁾²z , l’équation donne

( )

2 2 2

2 2

2 2 2

0 0

1 1

i t i t

Am Am Am

m

kZ e Z e Z

z z Z

k M i i x

x Q

ω ω

= = = =

− ω + αω ω ω

−ω +ω τ − +

.

6) Si Z_m >Z_Am,

(

1 ²

)

^{2 2}₂ ^{1 ( )}

(

1 ²

)

^{2 2}₂ ¹

3 9

x x

x f x x

Q Q

− + < = − + < .

Comme la résonance est importante, le minimum de f x^{( )} a lieu au voisinage de x =1, donc est voisin de

( )1 1/ ²

f = Q ; la condition est approximativement Q >3.

7) Il faut résoudre

(

^1−x2

)

^{2 +}₁₆^{x2 = 1}₉ dont les racines sont 0,864 et 1,092, d’où

0

0, 864< ω <1, 092

ω .

III.

1) Le solide est en équilibre sous l’action du poids et de la tension du ressort :

( _{1 0}) _{1 0} mg

mg k

= A −A ⇒A = A + k .

2) L’allongement du ressort est A₁ −A₀ +x −X . La loi fondamentale de la dynamique dans le référentiel

:

T ⁽ _{1 0} ⁾ k k

mx mg k x X x x X

m m

= − − + − ⇒ + =

A A qui est de la forme demandée, si 0 k

ω = m et kX^m a = m .

3) Solution générale de x+ω²₀x =0 : x =Acosω₀t +Bsinω₀t. +ω =

Solution particulière de x ²₀x a : ₂

0

= a ω +ω =−a ω

x .

( ) ( )

2 2

0 2 2 2 2

0 0

exp cos

exp a i t a t

x x a i t x ω x ω

+ω =− ω = =

ω − ω ω − ω

Solution particulière de x ²₀x cos t : −ω .

D’où la solution générale : _{0 0 2 2}

0 0

cos sin a acos t

t B t ω2

= ω + ω + +

ω ω − ω

x A .

Les conditions initiales sont :

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

0 0 0 0 2 2

0 0

0 0 0

0 0 sin cos sin

t

a a a

x A A

dx a t

A t B t B

dt ₌

= ⇒ + + = = ω

ω ω − ω ω ω − ω

ω ω

⎡ ⎤

= =⎢−ω ω + ω ω − ⎥ ⇒ =

ω − ω

⎢ ⎥

⎣ ⎦ 0

D’où la solution :

( )

2 2

0 0

2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

cos cos cos cos

m 1

a a t a t t t

x = ω +ω ω − ωω ω +ω − ωω =X ⎛⎜⎜⎜⎝ +ω ω − ωω − ω ω ⎟⎞⎟⎟⎟⎠

2 0

4) Les fonctions et sont bornées par 1 et –1. Si n’est pas rationnel, ces bornes sont atteintes à des instants d’autant plus rapprochés qu’on considère une plus grande durée ; les bornes de ^x(qui ne sont pas effectivement atteintes ; en effet, si elles étaient atteintes simultanément serait rationnel) sont donc :

cosωt cosω₀t ω ω/ ₀

/ 0

ω ω

2 2

min 02 2

0 m 1

x =X ^⎛⎜⎜⎜⎝ − ^ωω − ω^{+ω ⎟⎞}⎟⎟⎟⎠ et

2 2

min 02 2

0 m 1

x X .

0 2X_m

ω

∆x

ω0

⎛ ω +ω ⎟⎞

= ⎜⎜⎜⎝ + ω − ω ⎟⎟⎟⎠

2 2

0

2 2

0

2 _m 2

x X ω +ω c

∆ = ⇒ =

ω − ω .

5) Si rationnel, le plus souvent les bornes des fonctions et ne sont pas approchées simultanément et est en général plus petit.

/ 0

ω ω cosωt cosω₀t

∆x

Si ω=0, X =x =0 et ∆x =0.