Fonction de plusieurs variables.

Notesdeoursdel'ISIMA,premièreannée

http://www.isima.fr/

∼

leborgne

Fontions de plusieurs variables et hangements de variables

GillesLeborgne

1 er

février2017

Table des matières

1 Rappelssurlesfontions

R → R

2

1.1 Continuité. . . 2

1.2 NotationsdeLandau

o

^et

O

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5}

1.3 Dérivation . . . 6

1.4 Dérivationdeproduitsetdeomposées . . . 8

1.5 Théorèmedesaroissementsnisdans

R

. . . 9

1.6 Primitivesetintégrales. . . 11

1.7 Dérivationd'ordresupérieur. . . 13

1.8 Développementlimitéd'unpolynme. . . 13

1.9 Développementslimités:formulesdeTaylor. . . 14

1.9.1 Dénition . . . 14

1.9.2 FormuledeTaylor averesteintégral. . . 14

1.9.3 Corollaire:formulesdeTaylor ave

o

^et

O

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15}

2 Fontions deplusieursvariablesàvaleurssalaires 15 2.1 Continuité. . . 16

2.2 Dérivation . . . 16

2.2.1 Dérivéediretionnelle . . . 16

2.2.2 Fontiondérivable,diérentielle,gradient . . . 18

2.3 Interprétationgéométriquedugradient. . . 21

2.3.1 Entermedeplusgrandepente . . . 21

2.3.2 Entermedenormaleaugraphe. . . 22

2.4 Règlesdedérivation . . . 24

2.5 Théorèmedesaroissementsnis . . . 24

2.6 Dérivéesd'ordressupérieurs,hessien,théorèmedeShwarz . . . 24

2.7 *Leverlesambiguïtésdesnotations:introdutiondelanotation

∂ i

^{. . . . . . . . . . . . . 27}

2.7.1 Premierproblèmeàrésoudre . . . 27

2.7.2 Seondproblèmeàrésoudre. . . 28

2.7.3 Leverlesambiguïtés:notation

∂ i

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28}

2.8 FormuledeTaylordans

R ⁿ

. . . 29

3 Fontions deplusieursvariablesàvaleursvetorielles 30 3.1 Introdutionetontinuité . . . 30

3.2 Dérivationsetmatriejaobienne . . . 31

3.3 Compositionetdérivations:produitdesjaobiennes . . . 32

4 Théorèmedesaroissements nis :as de

R ⁿ

35 5 Théorèmedupoint xede Banah 38 6 Théorèmed'inversion loale 39 7 Théorèmedesfontions impliites 42 7.1 Casdesfontion

R ^{n −1} × R → R

. . . 42

7.1.1 Courbedeniveau. . . 43

7.1.2 Casdesfontion

R × R → R

. . . 43

7.1.3 Casdesfontion

R ^{n −1} × R → R

. . . 46

7.2 Casdesfontion

R ⁿ × R ^m → R ^m

. . . 46

7.2.1 Développementlimités,fontion

R ⁿ × R ^m → R

. . . 46

7.2.2 Développementlimités,fontion

R ⁿ × R ^m → R ^p

. . . 47

7.2.3 Appliation:fontion

R ⁿ × R ^m → R ^m

. . . 47

8 Changement devariables 48

8.1 Dénitionsetrésultats . . . 49

8.1.1 Changementdevariables . . . 49

8.1.2 Coordonnéespolaires. . . 50

8.1.3 Coordonnéesylindriques . . . 51

8.1.4 Coordonnéessphériques . . . 51

8.2 Exemples . . . 53

8.3 Formulesdehangementdebase . . . 53

8.3.1 Rappel:hangementdeveteurs . . . 53

8.3.2 Rappel:hangementdeoordonnées. . . 55

9 *Complément 56 9.1 Matriesjaobiennesetinterprétation . . . 56

9.2 Systèmedeoordonnées,lignesdeoordonnées . . . 58

9.3 Basedusystèmedeoordonnées . . . 58

9.4 Lesdérivéesdansles nouvellesoordonnées . . . 59

9.5 Lesdérivéesseondesdanslesnouvellesoordonnéesetlelaplaien . . . 61

9.6 Formulesdehangementdebase . . . 63

9.6.1 Formulesdehangementdevariablesdanslabasedusystèmedeoordonnées . . . . 63

9.6.2 Legradientdanslabasedeoordonnées . . . 64

9.6.3 Divergeneetrotationneldanslesnouvellesoordonnées . . . 66

10Annexe:rappels deformulestrigonométriques 70

11Annexe:quelquesintégrales 70

12Annexe:quelquesdérivées(etprimitives)usuelles 71

13Annexe:rainesdespolynmes de degré3et4 72

Référenesbibliographiques 73

1 Rappels sur les fontions

R → R

1.1 Continuité

Ononsidèreunintervalle

I ⊂ R

,i.e.,

I

^{al'unedesformessuivantes:}

] − ∞ , ∞ [(= R )

^,

] − ∞ , b[

^,

] − ∞ , b]

^,

]a, ∞ [

^,

[a, ∞ [

^,

]a, b[

^,

[a, b[

^,

]a, b]

^,

[a, b]

^,où

a

^et

b

^{sontdeuxréels telsque}

a < b

^{(dans les}

quatrederniersas).

Dénition 1.1 Soit

f : I → R

et

x 0 ∈ I

^.Alors

f

^{est ontinueen}

x 0

^si:

lim x∈I x→x 0

f (x) = f (x 0 )

^dans

R .

^(1.1)

Quandonérit

x → x 0

^,onsous-entendbiensûrque

x ∈ I

^,sinon

f (x)

^{n'auraitpasdesens;onne}

préiseraplus

x ∈ I

^{danslasuite,i.e.onérirasimplement}

lim _x→x 0 f (x) = f (x 0 )

^.

Onrappellelesnotations:

x→a+ lim f (x)

^déf

= lim

x>a x→b

f (x)

^noté

= f (a+),

et

x→b− lim f (x)

^déf

= lim

x<b x→b

f (x)

^noté

= f (b − ).

Etladénitiondonnéepar(1.1)ontientladénitiondelaontinuitéàdroiteetàgauhe:si

I = [a, b]

^,

f

^{est ontinueàdroiteen}

a

^ssi:

f (a+) = f (a),

et

f

^{estontinueàgauheen}

b

^ssi:

f (b − ) = f (b).

Laontinuitéen

x 0

^{s'érit aussi(avelavaleurabsolue}

| . |

^dans

R

):

| x − lim x 0 |→ 0 | f (x) − f (x 0 ) | = 0.

^(1.2)

Etentermesdequantiateurs,

f

^ontinueen

x 0

^s'érit:

∀ ε > 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ I : | x − x 0 | < η = ⇒ | f (x) − f (x 0 ) | < ε,

qui s'énoneenfrançais:

En

x 0

^,pourtout

ε > 0

(sous-entenduaussipetit soit-il),il existe

η > 0

^{(qui dépend de}

ε

^et

de

x 0

^{)telque,dèsque}

x

^vérie

| x − x 0 | < η

^,ona

| f (x) − f (x 0 ) | < ε

^,ouenore:

en

x 0

^{, pour tout}

ε > 0

(sous-entendu aussi petit soit-il), il existe

η > 0

^{(qui dépend}

de

ε

^{et de}

x 0

^{) tel que, dès que}

x

^{est dans} l'intervalle

]x 0 − η, x 0 +η[

^{, on a}

f (x)

^dans l'intervalle

]f (x 0 ) − ε, f (x 0 )+ε[

^.

Dénition 1.2

f

^{estdisontinueen}

x 0

^ssi

f

^{n'estpasontinueen}

x 0

^,i.e.ssi

lim x → x 0 f (x) 6 = f (x 0 )

^.

Ouenoresi:

∃ ε > 0, ∀ η > 0, ∃ x ∈ I

^t.q.:

| x − x 0 | < η

^et

| f (x) − f (x 0 ) | ≥ ε.

Dénition 1.3 Onditque

f : I → R

estontinuedans

I

^si

f

^{estontinueentoutpoint}

x

^de

I

^.

Celas'érit:

∀ x ∈ I, ∀ ε > 0, ∃ η > 0 : ∀ x ˜ ∈ I, | x ˜ − x | < η = ⇒ | f (˜ x) − f (x) | < ε.

Dénition 1.4 On appelle

C ⁰ (I; R )

^{l'ensemble des fontions ontinues}

f : I → R

, qu'on note simplement

C ⁰

^{lorsqu'iln'yapasdeonfusionpossible.}

Théorème 1.5 (desvaleursintermédiaires.)Soit

f : I → R

une fontionontinuedans

I

^{, soit}

a

et

b

^deuxpointsde

I

^telsque

a < b

^{. Alors,si}

f (a) < f (b)

^ona:

∀ y 0 ∈ ]f (a), f (b)[, ∃ x 0 ∈ ]a, b[, f (x 0 ) = y 0 ,

^(1.3)

etsi

f (a) > f (b)

^{,mêmerésultatpourtout}

y 0 ∈ ]f (b), f (a)[

^.I.e.,si

f

^{estontinue,alorstoutevaleur}

ompriseentre

f (a)

^et

f (b)

^{est atteinte.}

Enpartiulier,si

f

^{estontinuesur}

I

^{, alors}

f (I)

^estunintervalle,àsavoirl'undesintervalles

[m, M ]

^,

]m, M ]

^,

[m, M [

^ou

]m, M [

^où

m = inf x ∈ I f (x)

^et

M = sup _x∈I f (x)

^.

Preuve. Supposons

f (a) < f (b)

^{(sinonontravailleavelafontion}

− f

^).

Soit

y 0 ∈ ]f (a), f (b)[

^{, soit}

S = { x ∈ ]a, b[ : f (x) < y 0 }

^{. Ayant}

S ⊂ [a, b]

^{, on dénit}

c ∈ [a, b]

ommeétantlabornesupérieurde

S

^{: si}

x ∈ S

^alors

x ≤ c

^{,et si}

x > c

^alors

f (x) ≥ y 0

^.

Onommene parremarquer que

c

^vérie

a<c<b

^{. En eet,montrons parexempleque}

c 6 = a

(mêmeraisonnementpour

c 6 = b

^):

sinon

c = a

^{, etalorspardénitionde}

c

^,pourtout

x ∈ ]a, b[

^,ona

f (x) ≥ y 0 > f (a)

^.Maisalors

lim x → a+ f (x) ≥ y 0 > f (a)

^et

f

^{estdisontinueen}

a

^,ontraireàl'hypothèse

f

^ontinueen

a

^.Don

c = a

^{estimpossible:ona}

c > a

^.

D'oùtroisaspossibles:

1-Soit

f (c) = y 0

^{,etlethéorèmeestdémontré.}

2-Soit

f (c) < y 0

^,mais

f

^{étantontinueen}

c

^{, ona}

lim x → c f (x) = f (c)

^{et pardénition de}

c

^,

lim x → c+ f (x) ≥ y 0 > f (c)

^{.C'estabsurde.D'où}

f (c) ≥ y 0

^.

3-Soit

f (c) > y 0

^{.Mêmedémarhe:'est} impossible.

Seul le as1-est possible,d'où (1.3). Onen déduit que

f (I)

^{est unintervalle: eneet, si}

y 1 , y 2

sontdeuxpointde

f (I)

^{(i.e.il existe}

x 1 , x 2 ∈ I

^t.q.

f (x 1 ) = y 1

^et

f (x 2 ) = y2

^{,alorstoutpointde}

l'intervalle

[y 1 , y 2 ]

^{est dans}

f (I)

^,f.(1.3).Et

f (I) ⊃ ]m, M [

^.

Dénition 1.6 Ondit que

f : I → R

est uniformémentontinuedans

I

^{sila ontinuitéde}

f

^se

mesureindépendammentde(uniformémenten)

x

^:

∀ ε > 0, ∃ η ε > 0 : ∀ x, x ˜ ∈ I, | x ˜ − x | < η ε = ⇒ | f (˜ x) − f (x) | < ε.

(Onnepeutpasexprimerl'uniformeontinuitéentermesdelimite.)Donii

η

^{nedépendquede}

ε

^,

pasde

x

^:pourtout

ε

^,ilexiste

η

^{telquedèsque}

x

^et

x ˜

^vérient

| x ˜ − x | < η ε

^,ona

| f (˜ x) − f (x) | < ε

^.

Proposition1.7 Si

f

^estuniformémentontinuesur

I

^{,elleestontinueentoutpoint}

x

^de

I

^.La

réiproqueest fausse,i.e.ilexisteunintervalle

I

^de

R

etunfontionontinue

f : I → R

telleque

f

^n'estpasuniformémentontinue.

Preuve. On suppose

f

uniformément ontinue dans

I

^{. Soit}

x ∈ I

^{, alors l'uniforme ontinuité}

donne en partiulier:

∀ ε > 0, ∃ η ε > 0 : ∀ x ˜ ∈ I, | x ˜ − x | < η ε = ⇒ | f (˜ x) − f (x) | < ε

^.I.e

f

^est

ontinueen

x

^.

Laréiproqueestfausse:prendre

f : x ∈ ]0, 1] → ¹ x

^{.Cettefontionestbiensûrontinueentout}

pointde

]0, 1]

^{, mais ellen'est pas} uniformément ontinue dans

]0, 1]

^{. En eet,}

∃ ε > 0

^{, on prend}

ε = 1

^,telque

∀ η > 0

^,

∃ x > 0

^et

∃ y > 0

^,àsavoir

x = min(η, 1)

^et

y = ¹ ₂ x

^{,etonaàlafois}

| x − y | < η

et

| f (x) − f (y) | ≥ ε

^(ar

x − y = min( ^η ₂ , 1)

^et

| f (x) − f (y) | = | x ¹ − ² x | = _x ¹ = max( ¹ _η , 1) ≥ 1=ε

^.

(Oubien prendre

f : R → R

déniepar

f (x) = x ²

^.)

Exemple 1.8 Montrerquelafontion

f : x ∈ [0, 1] → f (x) = √ x ∈ R

estuniformémentontinue (sans seservirdelapropositionsuivante).

Réponse. Regardonse quisepasseauvoisinage de

x = 0

^{, i.e. laontinuitéde}

√

en

x = 0

^:onveut

| √

˜ x − √

0 | = √

˜

x < ε

^{dès que}

| x ˜ − 0 | = ˜ x < η

^.Onprend

η = ε ²

^,etona

x < η ˜

^donnebien

√

˜ x < ε

^(la

fontion

√

estontinueàdroiteen

0

^{etonaaratérisé}

η

^enfontionde

ε

^.

Montronsmaintenantquesi

| x ˜ − x | < ε ²

^alors

| √

˜

x − √ x | < ε

^{.Poure,montronsque}

| √

˜

x − √ x | ² ≤ | ˜ x − x |

^,

i.e.quesi

x ˜ ≥ x

^alors

x ˜ + x − 2 √

˜

xx ≤ x ˜ − x

^,i.e.si

x ˜ ≥ x

^alors

2x − 2 √

˜

xx ≤ 0

^{.C'estimmédiat.Etsi}

x < x ˜

ona

| x ˜ − x | = x − x ˜

^etdemême

2˜ x − 2 √

˜ xx ≤ 0

^.

Proposition1.9 Une fontion

f ∈ C ⁰ ([a, b], R )

^{(ontinue sur un ompat) est} uniformément ontinue.

Preuve. Supposons

f

^nonuniformémentontinue:

∃ ε > 0, ∀ η > 0, ∃ x ∈ [a, b], ∃ x ˜ ∈ [a, b], | x ˜ − x | < η

^et

| f (˜ x) − f (x) | ≥ ε.

Soitdonuntel

ε

^.Alorsonxe

n ∈ N

etonpose

η = ¹ _n

^{.Puisonprenddeuxréels}

x n

^et

x ˜ n

^telsque

| x ˜ n − x n | < η

^et

| f (˜ x n ) − f (x n ) | ≥ ε

^{.Ononstruitainsideuxsuites}

(x n )

^et

(˜ x n )

^dansleompat

[a, b]

^{:onpeutdonenextrairedeux}sous-suitesonvergentesqu'onnoteraenore,poursimplier lesnotations,

(x n )

^et

(˜ x n )

^.

Comme

| x ˜ n − x n | < _n ¹

^,lesdeuxsous-suitesonvergentversunemêmevaleur,etvérientégale- ment

| f (˜ x n ) − f (x n ) | ≥ ε

^.Comme

f

^{estontinue,eiest}impossible.Don

f

^estbienuniformément ontinue.

Proposition1.10 Si

f : [a, b] → R

est ontinue,alors l'image

f ([a, b])

^{est ompate(bornée et}

fermée),et

f

^{atteintsonmaximumet sonminimum:}

∃ x M ∈ [a, b] : f (x M ) = sup

x ∈ [a,b]

f (x), ∃ x m ∈ [a, b] : f (x m ) = inf

x ∈ [a,b] f (x).

Preuve. Lethéorèmedesvaleursintermédiairesindiqueque

f ([a, b])

^{est un}intervalle,et ils'agit demontrerqueetintervalleestbornéetferméquand

f

^estuniformémentontinuesur

[a, b]

^(ave

laproposition 1.9).

Montronsquel'image

f ([a, b])

^estbornée.L'intervalle

[a, b]

^étantompat,

f

^yestuniformément ontinue,et donà

ε

^xé,ilexiste

η

^{et donil existeunnombrenidepoints}

x 0 <x 1 <...<x n

^tels

que

x i+1 − x i < η

^et

| f (x i+1 ) − f (x i ) | < ε

^{(à savoir}

x i = a + i _b−a ^2η

^pour

i = 1, ..., n

^où

n =

^partie

entièrede

b−a

2η

^{points,quitteàprendre}

η

^{susammentpetit, i.e.telque}

^b−a _2η ≥ 1

^).

Etdonpourtout

x ∈ [a, b]

^{, ilexiste}

i ∈ [1, n]

^telque:

| x − x i | < η

^et

| f (x) − f (x i ) | < ε

^.Et

don :

sup

x∈ [a,b]

f (x) ≤ max

i=1,...,n (f (x i )) + ε

^,pourtout

x ∈ [a, b]

^{: et}

f

^{est bien bornée(i.e. sonimage}

est bornée).

Montronsque

f ([a, b])

^{estfermé. Posons}

M = sup

x∈ [a,b]

( | f (x) | )

^{, untelsupexistantdans}

R

ar

f

est bornée.Ils'agitdemontrerqu'ilexiste

x M ∈ [a, b]

^telque

M = f (x M )

^:

pardénition dusup,ilexisteune suite

(x n )

^dans

[a, b]

^telleque

f (x n ) _n −→

→∞ M

^.Lasuite

(x n )

étantbornéedansleompat

[a, b]

^{,elleadmetunesoussuiteonvergente}

x n k

^dans

[a, b]

^.Notons

x M = lim

k →∞ x n k

^{. Sahant}

f

^{ontinue, ona}

f (x n k ) → f (x M )

^{, et onendéduit que}

M = f (x M )

^{, et}

don que

M ∈ f ([a, b])

^{. De même pour}

m = inf

x ∈ [a,b] ( | f (x) | ) ∈ f ([a, b])

^{,e qui prouveque}

f ([a, b])

est unintervallefermé.

Remarque 1.11 En appliquant lethéorème desaroissementsnis(voirplusloin), onmontre

quesi

f : I → R

estontinuedérivablededérivéebornéesur

I

^,alors

f

^estuniformémentontinue sur

I

^.

1.2 Notations de Landau

o

et

O

Dénition 1.12 Soit

x 0 ∈ R

,et soit

I

^intervallede

R

t.q.

x 0 ∈ I

^{.Étantdonnéesdeux fontions}

f

^et

g

^de

F (I; R )

^,onditque

f

^estpetit

o

^de

g

^{auvoisinagede}

x 0

^,etonnote

f = o(g)

^auvois.

de

x 0

^,ssi

∀ ε > ˜ 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ I, | x − x 0 | < η ⇒ | f (x) | < ε ˜ | g(x) | .

^(1.4)

On érit également abusivement

f (x) = o(g(x))

^{au vois. de}

x 0

^{, et on dit que}

f

^est négligeable devant

g

^{auvoisinagede}

x 0

^.

Exemple 1.13 Ave

g = 1 ^R

^{(lafontiononstantevalant}

1

^sur

R

),ona

f = o(1 ^R ) =

^noté

o(1)

^au

vois.de

x 0

^ssi

f (x) −→ ^x → x 0 0

(immédiat).

Dénition 1.14 Étantdonnéesdeux fontions

f

^et

g

^de

F ( R ; R )

^{, onditque}

f

^estpetit

o

^de

g

auvoisinagede

+ ∞

^,etonnote

f = o(g)

^auvois.de

+ ∞

^,ssi:

∀ ε > ˜ 0, ∃ M > 0, ∀ x > M ⇒ | f (x) | < ε ˜ | g(x) | .

^(1.5)

On enore,

f = o(g)

^{au voisinage de}

+ ∞

^ssi

F = o(G)

^{au voisinage de}

0

^{où on a posé}

F (x) = f ( ¹ _x )

^et

G(x) = g( ¹ _x )

^.

Proposition1.15 Soit

x 0 ∈ I

^,etsoit

I

^intervallede

R

t.q.

x 0 ∈ I

^{.Étantdonnéesdeuxfontions}

f

^et

g

^de

F (I; R )

^{, s'il existe une fontion}

ε : R → R

telle que

ε(0) = 0

^{et qui est ontinue en}

0

(don

ε(z) −→ _z

→ 0 0

^{)et :}

f (x) = ε(x − x 0 )g(x),

^(1.6)

alors

f = o(g)

^{auvoisinagede}

x 0

^.

Preuve.Siunefontion

ε

^{vériant(1.6)existe,alors}

| f (x) | ≤ | ε(x − x 0 ) || g(x) |

^.Etdon,pour

ε > ˜ 0

donné, hoisissant

η > 0

^telque

| z | < η

^implique

| ε(z) | < ε ˜

^{(un tel}

η

^{existe par ontinuitéde}

ε

en

0

^),onobtient

| f (x) | ≤ ε ˜ | g(x) |

^dèsque

| x − x 0 | < η

^,d'où(1.4).

Enpartiulier,si

g

^{nes'annulepasdansunvoisinagede}

x 0

^,ona

f

^estpetit

o

^de

g

^auvoisinage

de

x 0

^,etonnote

f = o(g)

^auvois.de

x 0

^{,ssidansunvoisinagede}

x 0

^:

f (x)

g(x) = ε(x − x 0 )

^i.e.

lim

x → x 0

f (x) g(x) = 0.

Onenore,si

g

^{nes'annulepasdansunvoisinagede}

x 0

^sauféventuellementen

x 0

^:

x→x lim 0 x6=x 0

f (x)

g(x) = 0

^noté

= lim

x → x 0

f (x) g(x) ,

ladernièrenotationpourallégerl'ériture(sahantqueladivisionpar0est interdite).

Notation. On note

x ⁿ

^{la fontion}

x → x ⁿ

^{dénie sur}

R

. Ainsi, si

g(x) = x ⁿ

^{, si}

f = o(g)

^au

voisinagede

x 0

^,onnote

f = o(x ⁿ )

^{auvoisinagede}

x 0

^.

Exemple 1.16 Toutefontionmonme

f (x) = x ⁿ

^ave

n ≥ 1

^est

o(1)

^{auvoisinagede}

x 0 = 0

^,où

onanoté

1

^{lafontiononstante}

= 1

^sur

R

, ar

x ⁿ 1 _x −→

→ 0 0

^.

Exemple 1.17 Lafontion

f (x) = x ⁿ

^pour

n ≥ 2

^est

o(x)

^{auvoisinagede}

0

^ar

x ⁿ x −→ _x

→ 0 0

^:onnote

f (x) = o(x)

^{auvoisinagede}

0

^.

Exemple 1.18 Si

f

^{est une fontion ontinue en}

x 0

^{, alors}

f (x) − f (x 0 )

1 _x −→

→ x 0

0

^{et don}

f (x) − f (x 0 ) = o(1)

^,i.e.,

f (x) = f (x 0 ) + o(1)

^{auvoisinagede}

x 0

(développementlimitéde

f

^àl'ordre0

auvoisinagede

x 0

^).

Remarque 1.19 LanotationdeLandaun'estpasompatibleavel'addition,i.e.si

f 1 = o(g 1 )

^et

si

f 2 = o(g 2 )

^,laonlusion

f 1 +f 2 = o(g 1 +g 2 )

^{estfausse.Parexempleprendre}

f 1 (x) = f 2 (x) = x ²

et prendre

g 1 (x) = x = − g 2 (x)

^:iiona

g 1 +g 2 = 0

^et

(f 1 +f 2 )(x) = 2x ² 6 = o(0) = 0

^.

Proposition1.20 La notationdeLandau est ompatible avelamultipliation, i.e.si

f = o(g)

auvois.de

x 0

^alors

f h = o(gh)

^auvois.de

x 0

^{pourtoutefontion}

h

^.

EtlanotationdeLandauesttransitive,i.e.si

f = o(g)

^et

g = o(h)

^auvois.de

x 0

^alors

f = o(h)

auvois.de

x 0

^.

Preuve. Si

f (x) = ε(x − x 0 )g(x)

^alors

h(x)f (x) = ε(x − x 0 )h(x)g(x)

^.

Etsi

f (x) = ε 1 (x − x 0 )g(x)

^et

g(x) = ε 2 (x − x 0 )h(x)

^alors

f (x) = (ε 1 ε 2 )(x − x 0 )h(x)

^{, ave}

ε 1 ε 2

qui tendvers0quand

x → x 0

^.

Dénition 1.21 Ondénitlanotionde`omparable'oude`grand

O

^{'ommesuit:étantdonnées}

deux fontions

f

^et

g

^,onditque

f = O(g)

^{auvoisinaged'unpoint}

x 0

^ssi:

∃ C > 0, ∃ η > 0, ∀ x ∈ I, | x − x 0 | < η, | f (x) | ≤ C | g(x) | .

etonnoteégalement

f (x) = O(g(x))

^{auvoisinagede}

x 0

^{.Onditaussique}

f

^{est(auplus)dumême}

ordredegrandeurque

g

^{auvoisinagede}

x 0

^.

1.3 Dérivation

Dénition 1.22 Soit

f : I → R

,etsoit

x 0 ∈ I

^{.Quandlalimite suivanteexistedans}

R

:

x lim → x 0

f (x) − f (x 0 )

x − x 0 ∈ R ,

^(1.7)

i.e. quand il existe

c ∈ R

telque

c = lim x → x 0

f(x) − f(x 0 ) x − x 0

,on dit que

f

^{est dérivable en}

x 0

^{, et on}

note

c = f ^′ (x 0 )

^.

Don,si

f

^{estdérivableen}

x 0

^,onnote:

x lim → x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f ^′ (x 0 ).

Quandonérit

x → x 0

^,onsous-entendbiensûrque

x ∈ I

^,sinon

f (x)

^{n'auraitpasdesens.Cette}

dénitionontientdonladénitiondeladérivéeàdroite(oudérivéeparladroite)orrespondant

auasoù

x 0 = a

^(etdon

I = [a, b[

^ou

[a, b]

^ou

[a, ∞ [

^)notée:

x→x lim 0 +

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f ^′ (x 0 +) ∈ R ,

^ouenore

lim

h → 0+

f (x 0 + h) − f (x)

h = f ^′ (x 0 +)

^(1.8)

avelanotationimmédiate:

lim

x → x 0 + = lim

x>x 0 x→x 0

. Demêmepourladérivée àgauhe.

Unedénitionéquivalenteest:

f (x) − f (x 0 )

x − x 0 − f ^′ (x 0 ) = o(1)

^auvois.de

x 0 ,

^(1.9)

ouenore:

f (x) − f (x 0 ) x − x 0

= f ^′ (x 0 ) + o(1)

^auvois.de

x 0 ,

^(1.10)

ouenore:

f (x) = f (x 0 ) + f ^′ (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 )

^auvois.de

x 0 ,

^(1.11)

appelédéveloppementlimité de

f

^àl'ordre

1

^{auvoisinagede}

x 0

^.

Lavaleur

f ^′ (x 0 )

^{estaussiappeléelapente de}

f

^en

x 0

^{(=rapporttéopposé/téadjaent):}

f ^′ (x 0 ) =

^{pente en}

x 0 = lim

x → x 0

∆y

∆x ,

oùonanoté

∆y = f (x) − f (x 0 )

^et

∆x = x − x 0

^.

Onalerésultatimmédiat:

Proposition1.23 Si

f

^{estdérivableen}

x 0

^,alors

f

^{est ontinueen}

x 0

^.

Preuve. Parhypothèse,

f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 )f ^′ (x 0 ) + o(x − x 0 )

^{,et don,si}

x → x 0

^onabien

f (x) → f (x 0 )

^.

Silesvaleurs

f ^′ (x 0 )

^{existentpourtousles}

x 0 ∈ I

^,où

I ⊂ R

,ondénitlafontiondérivéepar:

f ^′ :

( I → R x 7→ f ^′ (x).

Exemple 1.24 L'appliation ane

f (x) = ax + b

^{est dérivable en tout point}

x ∈ R

, et a pour dérivée

f ^′ (x) = a =

^{onstantepourtout}

x ∈ R

(alul immédiat). Etlareprésentationde

f

^dans

R × R = R ²

par son graphe

{ (x, f (x)) : x ∈ R }

^{est une droite de pente}

a

^{passantpar le point}

(0, b)

^.

Exemple 1.25 L'appliation

f (x) = | x |

^{estdérivablesur}

R − { 0 }

^.En

0

^{,lalimiteàdroiteest}

+1

^,

et lalimite àgauheest

− 1

^{.Cettefontionn'estdonpasdérivableen}

0

^.

Exemple 1.26 L'appliation

f (x) = x ⁿ

^pour

n ∈ N

est dérivable en tout point

x 0 ∈ R

, et sa dérivéeen

x 0

^est

f ^′ (x 0 ) = nx ⁿ ₀ ^{− 1}

^(pour

n ≥ 1

^).Eneet:

x ⁿ − x ⁿ ₀ = (x − x 0 )(x ^{n − 1} + x ^{n − 2} x 0 + . . . + xx ⁿ ₀ ^{− 2} + x ⁿ ₀ ^{− 1} )

^(1.12)

etdon

x ⁿ − x ⁿ ₀ x−x 0

tendvers

nx ⁿ ₀ ^{− 1}

^quand

x

^tendvers

x 0

^{.Etparlinéaritéondéduitquetoutefontion}

polynomialeestdérivablesur

R

,etsadérivéeest immédiateàaluler.

Exemple 1.27 L'appliationexponentielle

x → exp(x) = e ^x

^{est dénie ommeétant lafontion}

qui estégaleàsadérivéeentoutpoint

x ∈ R

,i.e.,pourtout

x ∈ R

, ona

exp ^′ (x) = exp(x)

^.

On note

C ¹ (I; R )

^{l'ensemble des fontions}

f : I → R

qui sont dérivables sur

I

^{de dérivée}

f ^′

^{ontinue sur}

I

^(i.e.

f ^′ ∈ C ⁰ (I; R )

^{), et onnote simplement}

C ¹

^{lorsqu'il n'y apasde onfusion}

possible.

Remarque 1.28 Une fontion

f

^{peut être ontinue dans tout}

R

et dérivabledans tout

R

sans que sadérivée soit ontinuedans tout

R

: parexemple,

f

^{dénie sur}

R ^∗

par

f (x) = x ² sin( ¹ _x )

^et

en

0

^par

f (0) = 0

^{estontinuesur}

R

. Cettefontionestdérivablesur

R ∗

dedérivée

f ^′ (x) = 2x sin( ¹ _x ) − cos( _x ¹ )

^{,etettedérivéen'est}

pasprolongeableparontinuitéen

0

^.Pourtant

f ^′ (0)

^existeetvaut

0

^ar

^f(x) _x ⁻ ₋ ^f(0) ₀ = x sin( ¹ _x )

^tend

vers

0

^quand

x → 0

^.

Cettefontionest dondérivableen

0

^{sansquesadérivée}

f ^′

^{soit une fontionontinueen}

0

^.

Lesfontionsdérivablesn'ontdonpasforémentleursdérivéesontinues.

Ladérivation est l'opérationqui onsiste àaluler ladérivée.Etantdonné que

a+b

c = ^a _c + ^b _c

dans

R

dèsque

c 6 = 0

^,onaimmédiatementlethéorème:

Théorème 1.29 L'opération de dérivation est une opération linéaire, i.e., si

f

^et

g

^{sont deux}

appliations dérivablesen

x

^{et si}

λ ∈ R

alors:

(f + λg) ^′ (x) = f ^′ (x) + λg ^′ (x)

^(1.13)

Dénition 1.30 Si

f

^{estdérivableen}

x 0

^{,alorslafontionanedéniepar:}

g x 0 (x) = f (x 0 ) + f ^′ (x 0 )(x − x 0 ),

^(1.14)

i.e.par:

g x 0 (x) = ax + b

^ave

a = f ^′ (x 0 )

^et

b = f (x 0 ) − f ^′ (x 0 )x 0 ,

^(1.15)

estappeléeappliationanetangenteà

f

^en

x 0

^{.Songraphedans}

R ²

estunedroitetangenteen

x 0

augraphede

f

^.

Dénition 1.31 Deuxfontions

f : R → R

et

g : R → R

sontditestangentesenunpoint

x 0

^ssi:

x lim → x 0

f (x) − g(x) x − x 0

= 0.

En partiulier, si

g

^{est ane, alors}

g

^s'érit

g(x) = a(x − x 0 ) + b

^où

g(x 0 ) = b

^et

g ^′ (x 0 ) = a

^,

et si

f

^{est dérivableen}

x 0

^{, alors}

f (x) = f (x 0 ) + (x − x 0 )f ^′ (x 0 ) + o(x − x 0 )

^{au voisinagede}

x 0

^.

Et on retrouve immédiatement que si

g

^{est tangente à}

f

^{alors on doit avoir}

g(x 0 ) = f (x 0 )

^et

g ^′ (x 0 ) = f ^′ (x 0 )

^{,et legraphede}

g

^{estladroitetangenteaugraphede}

f

^en

x 0

^.

1.4 Dérivation de produits et de omposées

Onrappellequesi

f

^et

g

^{sontdeuxfontionsdéniessurunmêmeintervalle}

I

^{,alorsleproduit}

f g

^{est lafontiondénie sur}

I

^par

f g(x) = f (x)g(x)

^{.Si de plus}

g

^{nes'annulepassur}

I

^,alors

^f _g

estlafontiondéniepar

f

g (x) = ^f(x) _g(x)

^.Etsi

g

^estdéniesur

f (I)

^,alors

g ◦ f

^{estlafontiondénie}

sur

I

^par

(g ◦ f )(x) = g(f (x))

^.

Voiiquelquesrèglesusuellesdedérivation,baséessurlesdérivéesdesfontionsanes

f (x) = a 0 + a 1 x

^et

g(y) = b 0 + b 1 y

^{(on onsidère les} développements limités au premier ordre, i.e. les partiesanesde

f

^et

g

^{auvoisinaged'unpoint).}

Danseas

(f g)(x) = f (x)g(x) = (a 0 + a 1 x)(b 0 + b 1 x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + a 1 b 1 x ²

^,d'où

(f g) ^′ (x) = a 0 b 1 + a 1 b 0 + 2a 1 b 1 x = a 1 (b 0 + b 1 x) + (a 0 + a 1 x)b 0 = (f ^′ g + f g ^′ )(x)

^.

Et

(g ◦ f )(x) = g(a 0 + a 1 x) = b 0 + b 1 (a 0 + a 1 x)

^{, d'où}

(g ◦ f ) ^′ (x) = b 1 a 1 = g ^′ (f (x))f ^′ (x)

^.

Casgénéral:

Théorème 1.32 Soient

f

^et

g

^{deuxfontionsdérivablesen}

x ∈ R

.Alors,leproduit

f g

^{estdérivable}

en

x

^,etsi

g ^′ (x) 6 = 0

^alors

^f _g

^{est dérivableen}

x

^{, et:}

(i) (f g) ^′ (x) = f ^′ (x)g(x) + f (x)g ^′ (x), (ii)

f g

′

(x) = f ^′ (x)g(x) − f (x)g ^′ (x)

g(x) ² .

(1.16)

En partiulier,

1 g

′

(x) = − g(x) ^{g ′ (x) 2}

Etsi

f

^{estdérivableen}

x

^{,et si}

g

^{estdérivableen}

y = f (x)

^,alors

g ◦ f

^{estdérivableen}

x

^et:

(iii) (g ◦ f ) ^′ (x) = g ^′ (f (x))f ^′ (x)

^(1.17)

Enpartiulier,si

f

^{estinversibleauvoisinagede}

x

^,si

f ^′ (x) 6 = 0

^,etsi

f ^{− 1}

^{estdérivableen}

y = f (x)

^,

alors:

(iv) (f ^{− 1} ) ^′ (y) = 1

f ^′ (x) = 1

f ^′ (f ^{− 1} (y)) .

^(1.18)

Preuve. Soit

x 0 ∈ R

.

Démontrons(i),i.e.,herhonssilalimitesuivanteexiste:

x lim → x 0

f (x)g(x) − f (x 0 )g(x 0 ) x − x 0

(1.19)

Ona:

f (x)g(x) − f (x 0 )g(x 0 ) x − x 0

= (f (x) − f (x 0 )) x − x 0

g(x) + f (x 0 ) (g(x) − g(x 0 )) x − x 0

(1.20)

Mais

g

^{ontinueetdérivableen}

x 0

^et

f

^{est dérivableen}

x 0

^{et don:}

f (x)g(x) − f (x 0 )g(x 0 ) x − x 0

= (f ^′ (x 0 ) + o(1))(g(x 0 ) + o(1)) + f (x 0 )(g ^′ (x 0 ) + o(1)).

^(1.21)

L'opérationpassageàlalimiteétantlinéaire,etlalimited'unproduitétantégalauxproduitsdes

limites, ondéduit l'existenedelalimite et(i).

Demêmepour(ii)quand

f = 1

^:ona

1

g(x) − g(x ¹ 0 )

x − x 0

= g(x 0 ) − g(x) x − x 0

1

g(x)g(x 0 )

^(1.22)

d'oùl'existenedelalimiteet(ii)quand

f = 1

^{.Puis(ii)déouledeettedernièreformuleetde(i)}

puisque

f

g = f ¹ _g

^.

Pour(iii),herhonsl'existenedelalimitequand

x → x 0

^de:

g(f (x)) − g(f (x 0 )) x − x 0

= g(y) − g(y 0 ) x − x 0

,

^(1.23)

oùonaposé

y = f (x)

^et

y 0 = f (x 0 )

^.Comme

g

^{estdérivableen}

y 0

^,ilvient:

g(y) = g(y 0 ) + g ^′ (y 0 )(y − y 0 ) + o(y − y 0 ) = g(y 0 ) + g ^′ (y 0 )(f (x) − f (x 0 )) + o(f (x) − f (x 0 )).

^(1.24)

Etladérivabilitéde

f

^en

x 0

^s'érit

f (x) − f (x 0 ) = f ^′ (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 )

^.D'où:

g(y) = g(y 0 ) + g ^′ (y 0 )[f ^′ (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 )] + o(f ^′ (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 )).

^(1.25)

Etonobtient:

g(y) − g(y 0 ) = g ^′ (y 0 )f ^′ (x 0 )(x − x 0 ) + o(x − x 0 ),

^(1.26)

i.e.ladérivéede

g ◦ f

^en

x 0

^vaut

g ^′ (y 0 )f ^′ (x 0 )

^.

Ennpour(iv),si

f ^{− 1}

^{est dérivableen}

y = f (x)

^ave

f

^dérivableen

x

^,de

(f ◦ f ^{− 1} )(y) = y

^on

déduit :

f ^′ (f ^{− 1} (y))(f ^{− 1} ) ^′ (y) = 1,

i.e.(1.18).

Remarque 1.33 Dans la dérivation de fontions omposées, il fallait omparer l'aroissement

g(f (x)) − g(f (x 0 ))

^avel'aroissement

x − x 0

^.Formellement,onauraitpuérire:

g(f (x)) − g(f (x 0 )) x − x 0

= g(f (x)) − g(f (x 0 )) f (x) − f (x 0 )

f (x) − f (x 0 )

x − x 0 −→ g ^′ (f (x 0 ))f ^′ (x 0 )

^(1.27)

equiauraitdonnerdiretementlerésutat.Cependant,ilsepeutquelafontion

f

^{osillebeauoup}

autour de

x 0

^{, et on ne peut pas alors diviser par}

f (x) − f (x 0 )

^{(exemple :}

f (x) = x sin( ¹ _x )

^ave

f (0) = 0

^{).C'est pourquoion aomposéles}aroissementssansfaireapparaître

f (x) − f (x 0 )

^au

dénominateur.

Théorème 1.34 (Leibniz) Si

f

^et

g

^sont

n

^{-foisdérivablesen}

x

^alors

f g

^est

n

^{-foisdérivableen}

x

et :

(f g) ⁽ⁿ⁾ (x) =

n

X

k=0

n k

f ^(k) (x)g ^(n−k) (x)

^(1.28)

oùles

n k

= _k!(n−k)! ^n! = C _n ^k

^{sontlesoeientsbinomiaux.}

Preuve. Démonstrationparréurrene,sahantque

n − 1 k − 1

+ ^{n −} _k ¹

= ⁿ _k

(règledutrianglede

Pasal).

1.5 Théorème des aroissements nis dans

R

Théorème 1.35 (Fermat)Si

f : [a, b] → R

présente unextremumloal(minimumoumaximum) en

x 0 ∈ ]a, b[

^etsi

f

^{est dérivableen}

x 0

^,alors

f ^′ (x 0 ) = 0

^.

Preuve. Supposons

f

^maximaleen

x 0

^:

f (x) ≤ f (x 0 )

^,don

f ^′ (x 0 +) = lim

x>x0 x→x 0

f (x) − f (x 0 ) x − x 0 ≤ 0

^et

f ^′ (x 0 − ) = lim

x<x0 x→x 0

f (x) − f (x 0 )

x − x 0 ≥ 0

^.Comme

f

^{estdérivableen}

x 0

^ona

f ^′ (x 0 +) = f ^′ (x 0 − ) = f ^′ (x 0 )

^.

Don

f ^′ (x 0 ) = 0

^.Etsi

f

^aunminimumen

x 0

^,alors

− f

^estmaximumen

x 0

^et

− f ^′ (x 0 ) = 0

^.

Exerie 1.36 Montrer lethéorèmeditdeDarboux:si

f

^{est dérivablesur}

[a, b]

^,si

f ^′ (a) < f ^′ (b)

et si

λ

^esttelque

f ^′ (a) < λ < f ^′ (b)

^{,alorsil existe}

ξ ∈ ]a, b[

^telque

λ = f ^′ (ξ)

^.

Réponse.L'inonnuedu problème estun point

ξ

^{tel que}

f ^′ (ξ) = λ

^{,i.e. t.q.}

f ^′ (ξ) − λ = 0

^.Soit

g(x) = f(x) − λx

^dedérivée

g ^′ (x) = f ^′ (x) − λ

^{.Onherhedonunpoint}

ξ

^où

g

^{admetunextremum.}

g

^estontinue

sur

[a, b]

^{etdonyatteintsonmaximumenun point}

ξ

^.

g

^{étantdérivable, lethéorèmedeFermatindique}

que

g ^′ (ξ) = 0 = f ^′ (ξ) − λ

^.

Théorème 1.37 (Rolle) Si

f

^{est ontinue sur}

[a, b]

^{,dérivablesur}

]a, b[

^{,et si}

f (a) = f (b)

^alorsil

existe

ξ ∈ ]a, b[

^telque

f ^′ (ξ) = 0

^.

Preuve.

f

^{étantontinuesur}

[a, b]

^{yadmetunextremumloal,et}

f

^{étantdérivable,onapplique}

lethéorèmedeFermat.

Théorème 1.38 (desaroissementsnis)Si

f : [a, b] → R

estontinuesur

[a, b]

^{et dérivablesur}

]a, b[

^,alors:

∃ c ∈ ]a, b[, f (b) − f (a)

b − a = f ^′ (c).

^(1.29)

I.e., ilexiste

c ∈ ]a, b[

^telque

f ^′ (c)

^{soitlapentemoyenne.Ouenore:}

∃ θ ∈ ]0, 1[, f (b) − f (a) = (b − a)f ^′ (a+θ(b − a)).

(CethéorèmeestaussiparfoisappeléthéorèmedeLagrange.Etlepoint

c = a+θ(b − a)

^s'érit

aussi

c = (1 − θ)a+θb

^{,quiest l'éritureusuelledubaryentrede}

a

^et

b

^.)

Preuve.Ladroitejoignant

a

^et

b

^{apouréquation}

y = f (a) + ^f(b) _b ^−f(a) _{− a} (x − a)

^{.Ononsidèrealors}

la fontion

g(x) = f (x) − f (a) − ^f(b) b ⁻ − ^f(a) a (x − a)

^{, qui vérie}

g(b) = g(a)

^{, et on lui applique le}

théorèmedeRolle: ilexiste

ξ ∈ ]a, b[

^telque

g ^′ (ξ) = 0 = f ^′ (ξ) − ^f(b) b ⁻ − ^f(a) a

^.

Exerie 1.39 Montrer quesi

f

^{est ontinuesur}

[a, b]

^{etdérivablesur}

]a, b[

^{et si}

f ^′ (x) = 0

^pour

tout

x

^dans

]a, b[

^,alors

f (x)

^{estonstante sur}

[a, b]

^.

Réponse :Lethéorèmedes aroissementsnisindiqueque,pourtout

y ∈ ]a, b]

^,ilexiste

c ∈ ]a, y[

^tel

que

f(y) − f(a) = f ^′ (c)(y − a) = 0

^,d'où

f(y) = f(a)

^pourtout

y ∈ [a, b]

^.

Exerie 1.40 Montrer quesi

f

^{estdérivabledans}

]a, b[

^(où

a < b

^{),et si}

m ≤ | f ^′ (t) | ≤ M

^pour

tout

t ∈ ]a, b[

^,alors

m ≤ | f (b) − f (a) | b − a ≤ M

^.

Réponse:Lethéorèmedesaroissementsnisindiqueque

f(b) − f(a) = f ^′ (c)(b − a)

^pourun

c ∈ ]a, b[

^.

D'où

| f(b) − f(a) | = (b − a) | f ^′ (c) |

^,d'où

m(b − a) ≤ | f(b) − f(a) | ≤ M (b − a)

^.

Théorème 1.41 (aroissementsnisgénéralisés)Si

f

^et

g : [a, b] → R

sontontinuessur

[a, b]

^et

dérivablessur

]a, b[

^,alors:

∃ c ∈ ]a, b[, (f (b) − f (a))g ^′ (c) = (g(b) − g(a))f ^′ (c).

En partiulier,si

g(b) 6 = g(a)

^{,il existe}

c ∈ ]a, b[

^telque

^f(b) _g(b) ⁻ _−g(a) ^f(a) = ^f _g ′ ^′ (c) ^(c) =

f(b)−f(a) b−a g(b)−g(a)

b−a

.

Preuve. L'inonnuedeeproblèmeest

c

^.Onpose:

F(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x)

et onherhes'ilexiste

x

^telque

F ^′ (x) = 0

^{.On a:}

F (b) − F (a) = (f (b) − f (a))g(b) − (g(b) − g(a))f (b) − (f (b) − f (a))g(a) + (g(b) − g(a))f (a) = 0,

et don on peut appliquer le théorème de Rolle :

∃ c ∈ ]a, b[

^t.q.

F ^′ (c) = 0

^{. Et}

F ^′ (c) = (f (b) − f (a))g ^′ (c) − (g(b) − g(a))f ^′ (c)

^.

Corollaire1.42 (Règle del'Hpital)Si

f

^et

g : [a, b] → R

sontontinues sur

[a, b]

^{et dérivables}

sur

]a, b[

^,alors:

x lim → a +

f (x) − f (a) g(x) − g(a) = lim

x → a +

f ^′ (x) g ^′ (x)

dans leasoùeslimites existent.En partiulier,si

f

^et

g

^{sontdérivablesàdroite en}

a

^alorses

limites valent

f ^′ (a)

g ^′ (a)

^.

Preuve. Onappliquelethéorème préédentqui donne

(f (x) − f (a))g ^′ (c x ) = (g(x) − g(a))f ^′ (c x )

ave

a < c x < x

^,pour

x

^{quelonque dans}

]a, b]

^{,d'oùlerésultatquand}

x → a

^.

(C'est uneautre façond'érire que

f (x) − f (a)

g(x) − g(a) = f (x) − f (a) x − a

. g(x) − g(a)

x − a

^{quandça aunsens,}

ouenorededirequelesomportementsde

f

^et

g

^{sontaratérisésparleur}développementlimité àl'ordre1.)

Théorème 1.43 (ThéorèmedeRolleGénéralisé).Si

f

^{estunefontion}

C ² ([a, b])

^{qui s'annuleen}

les 3points

a

^,

b

^et

c ∈ ]a, b[

^{, alorsil existe}

ξ ∈ ]a, b[

^telque

f ^′′ (ξ) = 0

^{(ily aalorsun pointou la}

ourbureestnulle).

Etplusgénéralement,si

f ∈ C ⁿ ([a, b])

^s'annuleen

n + 1

^{pointsdistintsde}

[a, b]

^{,alorsilexiste}

ξ ∈ ]a, b[

^telque

f ⁽ⁿ⁾ (ξ) = 0

^.

Preuve.LethoéorèmedeRolleindiqueque

f ^′

^{s'annuleendeuxpointsdistints:unefoissur}

]a, c[

et unefoissur

]c, b[

^,etdon

(f ^′ ) ^′

^{s'annuleunefoissur}

]a, b[

^{.Parréurrene,on}généralise.

1.6 Primitives et intégrales

Dénition 1.44 À

f : I → R

fontiondonnée,sileproblème:

trouverune fontion

F : I → R

telle que

F ^′ (x) = f (x)

^pourtout

x ∈ I

aunesolution

F

^{,onditquelafontion}

F

^{est uneprimitivede}

f

^sur

I

^.

On note immédiatement que si

F

^{est une primitivede}

f

^{, alors pour toute onstante}

c ∈ R

,

F + c

^{estaussiuneprimitivede}

f

^.Réiproquement:

Théorème 1.45 Si

F 1

^et

F 2

^{sontdeux primitivesde}

f

^{alors ilexiste}

c ∈ R

telque

F 1 = F 2 + c

^,

i.e., deuxprimitivesde

f

^{dièrentauplusd'uneonstante.}

Preuve. Lafontion

g(x) = F 1 (x) − F 2 (x)

^{esttelle que}

g ^′ (x) = 0

^{.Alorslethéorèmedesarois-}

sementsnisindiqueque`

g = constante

^{',voirexerie1.39.}

Onpeutalorsdénir:

Dénition 1.46 Ondit qu'unefontion

f

^{estintégrablesur}

I

^{sielleadmetuneprimitivesur}

I

^.

En fait, ladénition d'uneintégrale de

f

^{est plusgénérale : voirunours surles sommesde}

Riemannpourl'intégraledeRiemann, ousurl'intégraledeLebesguepourl'intégraledeLebesgue.

Dénition 1.47 Onappelleintégrale(dénie)de

f

^sur

I = [a, b]

^ladiérene

F (b) − F (a)

^(sielle

existe),où

F

^{estuneprimitivede}

f

^sur

I

^,etonnote:

Z b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

^noté

= Z b

a

f.

^(1.30)

Don l'intégrale d'une fontion ne dépend que de la valeur d'une primitive aux extrémités de

l'intervalle.

Et

R b

a f

^{représentel'airesouslaourbe(voirlessommesdeRiemann).}

Enpartiulier,si

f

^{estdérivablesur}

I

^,alors

f ^′

^{est intégrablesur}

I

^et:

Z b

a

f ^′ (x) dx = f (b) − f (a).

^(1.31)

Etonretrouvelesformulesdebase del'intégration:

Théorème 1.48 L'intégrationest une opérationlinéaire,i.e.

R b

a (f + λg) = R b

a f + λ R b

a g

^{, pour}

tout

λ ∈ R

ettoutesfontionsintégrables

f

^et

g

^.Etpourtout

c ∈ [a, b]

^{, relationdeChasles:}

Z b

a

f = Z c

a

f + Z b

c

f.

^(1.32)

Preuve.Si

F

^et

G

^{sontdesprimitivesde}

f

^et

g

^alorsimmédiatement

(F +λG) ^′ (x) = F ^′ (x)+λG ^′ (x)

^.

Puis

F (b) − F (a) = F (b) − F (c) + F (c) − F(a)

^.

Onnote,pourune fontion

F

^donnée:

F (b) − F (a)

^noté

= [F] ^b _a

^noté

= [F (x)] ^b _a .

Théorème 1.49 (Intégration parparties) Si

f

^et

g

^{sontdeux fontionsdérivablessur}

I = [a, b]

et si

f ^′ g

^et

f g ^′

^{admettentdesprimitivessur}

I

^alors:

Z b

a

f ^′ (x)g(x) dx + Z b

a

f (x)g ^′ (x) dx = [f g] ^b _a (= f (b)g(b) − f (a)g(a)),

^(1.33)

soit :

Z b a

f ^′ (x)g(x) dx = − Z b

a

f (x)g ^′ (x) dx + [f (x)g(x)] ^b _a .

^(1.34)

Preuve.

f g

^{est dérivableet}

(f g) ^′ = f ^′ g + f g ^′

^.

Théorème 1.50 (Changement devariables) Si

f

^{est dérivablesur}

I = [a, b]

^{, si}

g

^{est intégrable}

sur

f (I)

^,etsi

(g ◦ f )f ^′

^{estintégrablesur}

I

^alors:

Z b

x=a

g(f (x))f ^′ (x) dx = Z f(b)

y=f(a)

g(y) dy.

^(1.35)

Preuve.Soit

G

^{uneprimitivede}

g

^{.Alorsaveladérivationdefontionsomposées,}

(G ◦ f ) ^′ (x) = g(f (x))f ^′ (x)

^,d'où:

Z b a

(G ◦ f ) ^′ (x) dx = [(G ◦ f )(x)] ^b _a = G(f (b)) − G(f (a)) = Z f(b)

f(a)

g(y) dy.

^(1.36)

Théorème 1.51 (Théorèmedelamoyenne)Si

f

^{possèdeuneprimitivesur}

[a, b]

^alors:

∃ ξ ∈ [a, b], Z b

a

f (x) dx = f (ξ)(b − a),

^(1.37)

i.e. il existe

ξ ∈ [a, b]

^{telquel'airesouslegraphede}

f

^entre

a

^et

b

^{est égaleàl'aireduretangle}

debase

[a, b]

^etdehauteur

f (ξ)

^.

Preuve. C'estuneappliationduthéorèmedesaroissementsnisà

F

^{une primitivede}

f

^.

Dénition 1.52 Onappellevaleurmoyennede

f

^sur

[a, b]

^{(ouhauteurmoyennede}

f

^entre

a

^et

b

⁾

lenombre

f ¯ = _{b −} ¹ _a R b

a f (x) dx(= f (ξ))

^.

Corollaire1.53 Onsuppose

f

^et

g

intégrablessur

[a, b]

^:

(i)Si

f ≥ 0

^sur

[a, b]

^alors

R b

a f (x) dx ≥ 0

^.

(ii)Si

f (x) ≥ g(x)

^alors

R b

a f (x) dx ≥ R b

a g(x) dx

^.

(iii)Si

m ≤ f (x) ≤ M

^sur

[a, b]

^,alors

m(b − a) ≤ R b

a f (x) dx ≤ M (b − a)

^.

(iv)

| R b

a f (x) dx | ≤ R b

a | f (x) | dx

^.

(v)Si

f (x) ≥ 0

^{est ontinuesur}

[a, b]

^etsi

f 6≡ 0

^alors

R b

a f (x) dx > 0

^.

(vi)Si

g ≥ 0

^sur

[a, b]

^,si

f

^,

g

^et

f g

^sontintégrablessur

[a, b]

^ave

f

^{ontinue sur}

[a, b]

^,alors

(théorèmegénéralisédelamoyenne):

∃ ξ ∈ [a, b], Z b

a

f (x)g(x) dx = f (ξ) Z b

a

g(x) dx.

^(1.38)