Divergene et rotationnel dans les nouvelles oordonnées

Leparagraphepréédenttraitaitdesfontionsàvaleurssalaires.Ons'intéresseiiàdes

fon-tionsàvaleursvetorielles

f ~ : R ⁿ → R ⁿ

:

Etlesformulesdehangementdeoordonnéesdonnent:



Proposition9.29 Ona:

Onaainsitouteslesdérivées

∂f i

∂x j (~x)

^enfontiondes

β ℓ (~u)

^etdes

_∂u ^{∂β ℓ}

k (~u)

^.

Preuve. Eneet,

f ~ = f ˜ ~ ◦ ψ ~ ^{− 1}

^donne

J f ~ = J f ˜ ~ .J ψ ~ ⁻¹

^,etdon

[J f ~ ] ij = P

k [J f ˜ ~ ] ik [J ψ ~ ⁻¹ ] kj

^.

Exerie 9.30 Caluler

J f ~

^et

div f ~

^{enoordonnéespolaires.}

Réponse.Onpose

~u = (ρ, θ)

^.Ona

ψ 1 (~u) = ρ cos θ

^et

ψ 2 (~u) = ρ sin θ

^.Ona

J ψ ~ (~u) =

Attention:lealulaétéfaitdanslabase

(~b i )

^dusystèmedeoordonnées.Sionprendlabaseusuelle

~e ρ = ~b 1

^et

~e θ = ¹ _ρ ~b 2

^,alors

f(~x) = ~ f 1 (~x)~e 1 + f 2 (~x)~e 1 = f ρ (~u)~e ρ (~u) + f θ (~u)~e θ (~u)

^où

f ρ = β 1

^et

f θ = ρβ 2

^,et

expressionusuelledeladivergeneenoordonnéespolaires.

Proposition9.31 Soient

( ~b i (~x))

^{lesveteursdebased'unsystème deoordonnéesorthogonal}

ψ ~

(i.e.systèmedeoordonnéestelqueles

~b i (~x)

^{sont2à2othogonauxpourtout}

~x

^).Onpose

λ j (~x) =

Preuve. Ondisposede(9.22)etdonona

div f ~ (~x) = P

ψ .J ψ ~ = diag(λ ² _k )

^{parhypothèse}d'orthogonalitédusystèmedeoordonnées,et donque

(J ψ ~ ) ^{− 1} = diag( _λ ¹ 2

(voirremarque9.26),onobtient:

n

e quiestlepremiertermeherhé.

Puis:

e quiestleseondterme herhé.

Corollaire9.32 Soit

(~e i )

^{la base} orthonormée assoiée au système orthogonal

( ~b i (~x))

^{: on a}

~e u i = ^~b _λ ⁱ

Exerie 9.33 Retrouverl'expressiondeladivergeneenoordonnéespolaires.

Exerie 9.34 Montrer quepourlesoordonnéessphériques(8.4)ona:

div f ~ (~x) = ( ∂f ρ

Exerie 9.35 En déduire que pour les oordonnées sphériques (8.6) (souvent utilisées par les

physiiens):

Dénition 9.36 Et si

n = 3

^(dondans

R ³

), lerotationnel de

f ~ ∈ C ¹ ( R ³ ; R ³ )

^en

~x

^{est dénie}

par,danslabaseanoniquede

R ³

:

( rot ~ f ~ )(~x) =





∂f 3

∂x 2 (~x) − ^∂f ∂x ² 3 (~x)

∂f 1

∂x 3 (~x) − ^∂f ∂x ³ 1 (~x)

∂f 2

∂x 1 (~x) − ^∂f ∂x ¹ 2 (~x)



 ∈ R ³

(9.25)

(expressionvetorielle,dondontlesoordonnéesdépendentd'unebase.)

Onpeutégalementnoté, avelaonventiond'indie

f 4 = f 1

^,

f 5 = f 2

^,

x 4 = x 1

^et

x 5 = x 2

^:

( rot ~ f ~ )(~x) =

3

X

i=1

( ∂f i+2

∂x i+1

(~x) − ∂f i+1

∂x i+2

(~x)) ~e i

noté

= ( ∇ ∧ f ~ )(~x)

^noté

= det(





~e 1 ~e 2 ~e 3

∂

∂x

∂

∂y

∂

f 1 f 2 f ∂z 3



)(~x).

Exerie 9.37 Calulerlerotationnelenoordonnéespolaires.

Exerie 9.38 Soient

( ~b i (~x))

^{lesveteursdebased'unsystèmedeoordonnéesorthogonaldans}

R ³

(les

~b i (~u)

^{sont2à2othogonauxpourtout}

~u ∈ U

^).Soient

λ i (~x) = || ~b i (~x) ||

^,etsoient

~e u i (~x) = ^~ _λ ^{b i (~ x)}

i (~ x)

lesveteursorthonormauxdebase.

Onpose

f ~ (~x) = f 1 (~x)~e 1 + ... + f 3 (~x) = f u 1 (~u)~e u 1 (~u) + ... + f u 3 (~u)~e u 3 (~u)

^{.Montrerque,dans}

R ³

et labase

(~e u i )

^:

rot ~ f ~ = 1 λ 1 λ 2 λ 3 det



 λ 1 ~e u 1

∂

∂u 1 λ 1 β 1

λ 2 ~e u 2

∂

∂u 2 λ 2 β 2

λ 3 ~e u 3

∂

∂u 3 λ 3 β 3





10 Annexe : rappels de formules trigonométriques

Lafontion

t → sin t

^{s'annule auxpoints}

t = kπ

^pour

k ∈ Z

,et lafontion

t → cos t

^s'annule

auxpoints

t = ^π ₂ + kπ

^pour

k ∈ Z

. Onérit lesformulesgénériques,àonsidérerlàoùellessont bien dénies.

1.

sin ² t + cos ² t = 1

^.

2.

sec t

^déf

= 1

cos t

^,

tan t = sin t cos t

^.

3.

sin( − t) = − sin t

^,

cos( − t) = cos t

^.

4.

sin( π

2 − t) = cos t

^,

cos( π

2 − t) = sin t

^.

5.

sin( π

2 + t) = cos t

^,

cos( π

2 + t) = − sin t

^.

6.

sin(t ± s) = sin t cos s ± cos t sin s

^,

cos(t ± s) = cos t cos s ∓ sin t sin s

^.

7.

sin(2t) = 2 sin t cos t

^,

cos(2t) = cos ² t − sin ² t = 2 cos ² t − 1 = 1 − 2 sin ² t

^.

8.

tan(2t) = _{1 −} ^{2 tan} _tan 2 ^t t

^.

9.

sin t 2 = ±

r 1 − cos t

2

^,

cos t 2 = ±

r 1 + cos t

2

^.

10.

(sin t − cos t) ² = 1 − sin(2t)

^.

11.

tan(s + t) = tan s + tan t 1 − tan s tan t

^.

12.

sin t sin s = − 1

2 (cos(t + s) − cos(t − s))

^,

cos t cos s = 1

2 (cos(t + s) + cos(t − s))

^.

13.

sin t cos s = 1

2 (sin(t − s) + sin(t + s))

^,

cos t sin s = 1

2 (sin(t + s) − sin(t − s))

^.

14.

sin t + sin s = 2 sin( t + s

2 ) cos t − s

2 )

^,

sin t − sin s = 2 cos( t + s

2 ) sin t − s 2 )

^.

15.

cos t + cos s = 2 cos( t + s

2 ) cos t − s

2 )

^,

cos t − cos s = − 2 sin( t + s

2 ) sin t − s 2 )

^.

16. Pour

sin t + cos s

^,érireque

cos s = sin( π

2 − s)

^parexemple.

17.

e ^it = cos t + i sin t

^,

cos t = e ^it + e ^−it

2

^,

sin t = e ^it − e ^−it 2i

^.

18.

cos(3t) = 4 cos ³ t − 3 cos t

^,

sin(3t) = 3 sin t − 4 sin ³ (t)

(partiesréelleset imaginairesde

e ^3it = (e ^it ) ³

^).

19.

cht = e ^t + e ^{− t}

2

^,

sht = e ^t − e ^{− t}

2

^.

20.

ch ² t − sh ² t = 1

^,

ch(2t) = ch ² t + sh ² t

^,

sh(2t) = 2cht sht

^.

21.

4ch ³ t = ch3t + 3cht

^,

4sh ³ t = sh3t − 3sht

^.

11 Annexe : quelques intégrales

1.

Z _∞

0

x ⁿ e ^−x dx = n! = Γ(n + 1)

^.

2.

Z ∞

−∞

e ^{− ax 2} dx =

√ π a

^.

3.

Z 1 0

x ^m (1 − x) ⁿ dx = m!n!

(m + n + 1)!

^.

4.

Z ^π ₂

0

sin ⁿ x dx = Z ^π ₂

0

cos ⁿ x dx =



 

  π 2

1.3....(n − 1)

2.4....n

^si

n

^pair

, 2.4....(n − 1)

3.5...n

^si

n

^impair

,

5.

Z _∞

0

sin ² x x ² dx =

Z _∞

0

sin x x dx = π

2

^.

12 Annexe : quelques dérivées (et primitives) usuelles

Voiiunelistededérivées (equi réiproquementdonneégalementlesprimitives):

1. si

f

^{est unefontiononstante,elleest dérivablededérivée nulle.}

2.

(x ⁿ ) ^′ = nx ^{n− 1}

^{, pourtout}

n = 1, 2, . . .

^{(preuveenonsidérantladérivée duproduit}

xx ^{n− 1}

^etpar

réurrene).

3.

(x ^α ) ^′ = αx ^{α− 1}

^,pourtout

α 6 = 0

^,

x > 0

^,

α ∈ R

(preuveparlaomposée

exp(α log x)

^).

4.

(e ^αx ) ^′ = αe ^x

^{(pardénitiondelafontion}

exp

^pour

α ∈ R

).

5.

(lnαx) ^′ = ^α _x

^pour

x > 0

^et

α > 0

^{(pardérivationde}

(exp ◦ ln)(y) = y

^).

6.

(xlnx − x) ^′ = lnx

^pour

x > 0

^{(pardérivationde}

(ln ◦ exp)(y) = y

^).

7.

(sin x) ^′ = cos x

^et

(cos x) ^′ = − sin x

^(preuvepar

sin x = _2i ¹ (e ^ix − e ^{− ix} )

^et

cos x = ¹ ₂ (e ^ix + e ^{− ix} )

^).

8.

(shx) ^′ = chx

^et

(chx) ^′ = shx

^(preuvepar

shx = ¹ ₂ (e ^x − e ^−x )

^et

chx = ¹ ₂ (e ^x + e ^−x )

^).

9.

(tan x) ^′ = 1

cos ² x = 1 + tan ² x

^,pour

x ∈ ] ^−π ₂ , ^π ₂ [

^{(pardérivationduquotient}

tan x = ^sin _cos ^x _x

^).

10.

(cotanx) ^′ = − 1

sin ² x

^,pour

x ∈ ]0, π[

^{(pardérivationduquotient}

cotanx = ^cos _sin ^x _x

^).

11.

(arcsin x) ^′ = 1

√ 1 − x ²

,pour

x ∈ ] − 1, 1[

^(puisque

sin(arcsin θ) = θ

^).

12.

(arccos x) ^′ = − 1

√ 1 − x ²

,pour

x ∈ ] − 1, 1[

^(puisque

cos(arccos θ) = θ

^).

13.

(arctan x) ^′ = 1

1 + x ²

^(puisque

tan(arctan) = I

^).

14.

(arctan x

α ) ^′ = α

x ² + α ²

^,pour

α 6 = 0

^.

15.

(ln( | 1

cos x + tan x | )) ^′ = 1 cos x

^.

16.

(ln( | 1

sin x − cotanx | )) ^′ = 1

sin x = − (ln( | 1

sin x + cotanx | )) ^′

^.

17.

( tan x

cos x + ln | 1

cos x + tan x | ) ^′ = 2 cos ³ x

^.

18.

ln( | x + a |

| x − a | ) ^′ = 2a

a ² − x ² = 2 tanh ^{− 1} ( x

a ) ^′

^,pour

x 6 = a

^.

19.

ln( | x + p

x ² + a | ) ^′ = 1

√ x ² + a

.

20.

x p

x ² + a ′

= 2x ² + a

√ x ² + a

.

21. D'où :

x p

x ² + a ′

+aln( | x + p

x ² + a | ) ^′ = 2 p x ² + a

^.

22. si

b ² − 4ac > 0

^:

ln( | 2ax + b − √

b ² − 4ac |

| 2ax + b + √

b ² − 4ac | ) ^′ =

√ b ² − 4ac ax ² + bx + c

^.

23. si

b ² − 4ac < 0

^:

arctan( 2ax + b

√ 4ac − b ² ) ^′ = 1 2

√ 4ac − b ² ax ² + bx + c

^.

24. si

b ² − 4ac = 0

^:

( 2

2ax + b ) ^′ = 1 ax ² + bx + c

^.

25. si

a > 0

^:

ln( | 2ax + b + 2 √ a p

ax ² + bx + c | ) ^′ =

√ a

√ ax ² + bx + c

.

26.

argsh ^′ (x) = √ ¹

1+x ²

^,et

argch ^′ (x) = √ ¹ x ² − 1

^.

27.

(argsh(x) + x √

1 + x ² ) ^′ = 2 √ 1 + x ²

^.

28. Uneprimitivede

tan ² x

^est

tan x − x + c

(ar

tan ² x = 1

cos ² x − 1

^).

29. Uneprimitivede

1

1 + sin x

^est

tan x − 1 cos x + c

(onmultipliepar

1 − sin x

^{,i.e.onalulelaprimitivede}

1 − sin x

1 − sin x ² = 1 − sin x

cos ² x

^).

30. Primitivesde

1

1 + a sin x + b cos x + c tan x

^{: fairelehangementde variable}

u = tan x

2

^{, qui}

s'ex-prime également

sin x = 2u

1 + u ²

^,

cos x = 1 − u ²

1 + u ²

^{, et qui donne}

dx = 2 du

1 + u ²

^{. Et on obtient la}

primitived'unefrationrationnelle.

31. N.B.:lesfontions

cos(x ² )

^et

1 p b − sin ² x

(parexemple)n'ontpasdeprimitiveélémentaire(la

der-nièreprimitiveestuneintégraleelliptique).Onalulelesintégralesorrespondantesdemanière

approhée(intégrationnumérique).

13 Annexe : raines des polynmes de degré 3 et 4

Pourlesrainiesd'unpolynmededegré2:

ax ² + bx + c = 0

^{,onrappelleque}

x = ^{− b ±} _2a ^{√ ∆}

^où

∆ = b ² − 4ac

^(raineséventuellementomplexes).

Onvérieimmédiatementque

(x − ^{− b+ √} 2a ^{b 2 − 4ac} )(x − ^{− b − √} 2a ^{b 2 − 4ac} ) = x ² + ^b _a x + _a ^c

^,puisque'est

((x + _2a ^b ) − ^{√ b 2} 2a ^{− 4ac} )((x + _2a ^b ) + ^{√ b 2} _2a ^{− 4ac} )

^.

Pourlesrainesd'unpolynmededegré3(GirolamoCardano(1501-1576)):

ax ³ + bx ² + cx + d = 0,

onherheuneraine

r

^{(puisondéomposesouslaforme}

a(x − r)(x ² +αx +β) = 0

^).Onommene

par mettrel'équation souslaforme

y ³ + Ay = B

^{. Ilsut pourela deposer}

x = y − ^3b a

^{, e qui}

donne:

y ³ + Ay = B, A = 1 a (c − b ²

3a ), B = − 1

a (d + 2b ³ 27a ² − bc

3a ).

Puis onherhe

y

^souslaforme

y = s − t

^où

s

^et

t

^{sontsolutiondusystème:}

( 3st = A,

s ³ − t ³ = B.

On vérieimmédiatementqu'un tel

y = s − t

^{estsolutionde}

(s − t) ³ + A(s − t) = B

^{, ave}

A

^et

B

donnési-dessus.

Substituant

s = ^A _3t

^{dansla2èmeéquation,onobtient:}

t ⁶ + Bt ³ − ^A 27 ³ = 0

^,soit

T ² +BT − ^A 27 ³ = 0

où

T = t ³

^.D'où

t ³ = T = ^{− B ±}

q B ² − ^4A 27 ³

2

^{.Ongardeparexemple}

t = ( ^{− B ±}

q B ² − ^4A 27 ³

2 ) ^{1 3}

^,d'où

s

^,d'où

y = s − t

^,d'où

x

^.

Lerésultatnalest:

x = (q + p

q ² + (r − p) ² ) ^{1 3} + (q + p

q ² − (r − p) ² ) ^{1 3} + p,

où

p = ^−b _3a

^,

q = p ³ + ^bc− _6a ^3ad 2

^et

r = _3a ^c

^{.(Il est bien sûrhorsdequestion}d'apprendre esformules paroeur.)

Référenes:

http://www.sosmath.om/algebra/fator/fa11/fa11.html

http://atlas.math.vanderbilt.edu/

∼

shetex/ourses/ubi/

Pourlesformulesdonnantune rained'unpolynmededegré4,voirparexemple:

http://www.sosmath.om/algebra/fator/fa12/fa12.html

Référenes

[1℄ Arnaudiès J.M., Fraysse H. : Cours de mathématiques 2, Analyse, lasses préparatoires.

Dunod1988.

[2℄ AvezA. :Caluldiérentiel.Masson,1983.

[3℄ Ayres F., Mendelson E. : Calul diérentiel et intégral, ours et problèmes. Série Shaum,

MGraw-Hill,1993.

[4℄ CartanH.:Coursdealul diérentiel.Hermann méthodes,1977.

[5℄ CourantR., JohnF. : Introdutionto Calulusand Analysis. Volume1, 2.Springer-Verlag,

1989.

[6℄ CouzeixM.,MignotA.:Analysenumériquedeséquationsdiérentielles.Masson,1992.

[7℄ GeroyJ.:Équationsdiérentielles.Puf,1983.

[8℄ GermainP.:Méaniquesdesmilieusontinus,oursdel'EolePolytehique1982.Editionde

l'EolePolytehnique,1982.

[9℄ KartahevA., RojdestvenskiB.: Analysemathématique.Éditions Mir,1988.

[10℄ LangS.:CalulusofSeveralVariables.Springer-Verlag,ThirdEdition,1994.

[11℄ O'NeilP.:Advaned EngineeringMathematis.PWS,1995.

[12℄ Reinhard:équationsdiérentielles.Dunod.

[13℄ ShatzmanM.:Analysenumérique, oursetexeriespourlaliene.InterEdition,1991.

[14℄ StrangG.:Calulus.WellesleyCambridgePress1991.

[15℄ http://www.les-mathematiques.net

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