Dénitions et résultats - Fonction de plusieurs variables.

Onsedonnedeuxouverts

U ⊂ R ⁿ

V ⊂ R ⁿ

. 8.1.1 Changementde variables

Dénition 8.1 Un hangement de variables est une fontion

ψ ~ : U → V

^qui ^est ^un

diéomor-phisme,i.e.unefontion

ψ ~

^qui^est^bijetive^et

C ¹

^telle ^que

ψ ~ ⁻ ¹ : V → U

^soit ^également

C ¹

U

êstâppelé êspae^desparamètres,et

V

^l'espaegéométrique.

Lesparamètres

(u 1 , ..., u n ) ∈ U

^sont^appelés ^oordonnéesurvilignes,et les

(x 1 , ..., x n ) ∈ V

^les

oordonnéesartésiennes.

Exemple 8.2 (Coordonnées polaires.) Soient

(u, v) = (ρ, θ) ∈ U = R ^∗

+ × ] − π, π[

^, ^et

ψ(ρ, θ) = ~ ψ 1 (ρ, θ) = ρ cos θ =

^noté

x(ρ, θ)

ψ 2 (ρ, θ) = ρ sin θ =

^noté

y(ρ, θ)

,où

V = Im ψ ~ = R ² − { (x, 0) : x ≤ 0 }

⁽

= R ²

privédudemi-axe

x ≤ 0

^). ^L'espae ^des ^paramètres ^est ^l'espae ^des

(ρ, θ)

^, ^et ^l'espae géométrique est l'espae des

(x, y)

Remarque 8.3 L'appliation

f : ] − 1, 1[ → ] − 1, 1[

^dénie^par

f (u) = u ³

^est

C ¹

^,^bijetive^d'inverse

f ⁻ ¹ (x) = x ¹ ³

^qui^est

C ⁰

^sur

] − 1, 1[

^mais^n'est^pas

C ¹

^en

0

^(pente

+ ∞

^en

0

^).^Lapropositionsuivante rappelleraqu'ilfaut

f ^′ (u) 6 = 0

^pour^tout

u

^(pas^de^pente horizontalepour

f

⁾^pour^que^:

f ∈ C ¹

^et

f

^bijetive^donne

f ⁻ ¹ ∈ C ¹

^(théorèmed'inversionloale6.1).

Notons

~u = (u 1 , ..., u n ) ∈ U

^et

~x = (x 1 , ..., x n ) ∈ V

^.^Puis ^:

ψ(~u) = ~

n

X

i=1

ψ i (~u) ~e i =





 ψ 1 (~u)

ψ n (~u)







noté

=





 x 1 (~u)

x n (~u)







noté

= ~x(~u) ∈ V,

oùles

n

^fontions

ψ i : ~u ∈ U → ψ i (~u) ∈ R

sontdonnéesdetelle sorteque

ψ ~

^est^un^hangement^de

variables(= undiéomorphisme).

Proposition8.4 1-Si

ψ ~

êstûn^hangement^de^variableâlors

det(J ψ (~u)) 6 = 0

^pour^tout

~u ∈ U

2- Si

ψ ~ ∈ C ¹ (U, V )

^, ^si

ψ ~

^est ^bijetive ^et ^si

ψ ~

^vérie

det(J ψ (~u)) 6 = 0

^pour ^tout

u ∈ U

^alors

ψ ~ ⁻ ¹ ∈ C ¹ (V, U )

3-Si

ψ ~ ∈ C ¹ (U, V )

^et

ψ ~

^vérie

det(J ψ (~u)) 6 = 0

^pour^tout

~u ∈ U

^,^alors^loalement^au^voisinage

de haque point

~u

ψ ~

^dénit ^un ^hangement ^de ^variables, ^i.e.

∀ ~u ∈ U

∃ r > 0

ψ ~ : B(~u, r) → Im(B(~u, r))

^dénit ^un^hangement^de^variables,^où

B(~u, r)

êst^la^bouleôuverte^de êntre

~u

^et^de

rayon

r

Preuve. 1- Soit

ψ ~

^un diéomorphisme, alors

ψ ~ ∈ C ¹

^ainsi ^que

ψ ~ ⁻ ¹

^et

ψ ~ ⁻ ¹ ◦ ψ ~ = I

^, ^et

det(J ψ ~ ⁻¹ (x, u)). det(J ψ ~ (u, v)) = 1

^, ^don ^les déterminants sont non nuls (on a appliqué la pro-position3.15).

2-C'estlethéorèmed'inversionloale6.2lorsque

ψ ~

^est^bijetive.

3-Supposons que

ψ ~ ∈ C ¹

^et

det(J ψ ~ (~u)) 6 = 0

^pour ^tout

~u ∈ U

^. Âlorsônâpplique ^le^théorème

d'inversionloale6.2:ilexiste

r > 0

^tel^que

ψ ~

^est ^inversible^sur

B(~u, r)

Exerie 8.5 Soit

G : R ³ → R ³

appliation dénie par

G(u, v, w) =





u + v + w ² v + w + u ² w + u + v ²





^. ^Montrer

que

G

^dénit^undiéomorphismedansunvoisinagede

~ 0

^(on^dit^que

G

^dénit^undiéomorphisme loal auvoisinagede

~ 0

^).

Réponse.

G

^est

C ¹

^sur

R ²

don en

~ 0

^, ^don

J G

^est

C ⁰

^sur

R ²

don en

~ 0

^. ^Et

det(J G ( ~ 0)) = 2

^, ^don

det(J G ( ~ 0))>0

^dans^un ^voisinage ^de

~ 0

^.^Don ^on^peut ^appliquer^le^théorème d'inversionloale 6.2 ouson expression donnée par laproposition 8.4 . Onpourra également montrer que pour

| u | , | v | , | w | < ¹ ₄

^, ^on^a

det(J G (~u)) > 0

8.1.2 Coordonnéespolaires

Onsedonneunrépère

(O, ~e 1 , ~e 2 )

^dans^l'espae^ane

R ²

.Labase

(~e 1 , ~e 2 )

^est^la^base^anonique,

etondisposeégalementduproduitsalaireanonique,i.e.delaformebilinéaire

g : R ² → R

dénie positivequiestdéniesurlesveteursdebasepar

g(~e i , ~e j ) = δ ij

^pour

j = 1, 2

^.^Ce^produit^salaire

anoniqueestusuellementnoté

g(~v, ~ w) = (~v, ~ w)

^,êt^permet^de^dénir^lesângles^à^l'aide^duôsinus.

Dénition 8.6 Lesoordonnéespolairesd'unpoint

~x ∈ R ²

sontpardénition,ladistane

ρ = || ~x ||

parrapportàl'origine,et l'angle

θ = (~e \ 1 , ~x)

^(entre

~e 1

^et

~x

^).

Unpoint

~x = (x, y)

^est^don^repéré^par^sa^distane

ρ

^à^l'origine^et ^son^angle

θ

^par^rapport^au

demiaxedesabsissespositives,etseranoté

~x = ~x(ρ, θ) = (x(ρ, θ), y(ρ, θ))

Onnoteradanslasuite

~u = (ρ, θ)

êt ônâpplique^les^dénitions ^du^paragraphe^8.1^préédent.

La fontion permettant de passer des oordonnées polaires aux oordonnéesartésiennes est

parexemple(àunedistane

ρ

êtûnângle

θ

ônâssoieûn^point

~x = ψ(ρ, θ) ~

⁾^:

où

U

^est

R ²

privédudemi-axedes

x

^négatifs.^Cette^appliation^est^bijetive,d'appliationinverse:

ψ ~ ⁻ ¹ :

La fontion

ψ ~

^dénit ^undiéomorphisme : on aexhibéson inverse, et onomposedes fon-tions

C ¹

^dans^des^ouverts.

Remarque 8.7 Sionsouhaiteréupérerundiéomorphismedansunvoisinagedudemi-axedes

x

négatifs,ilsutdeonsidérerdeonsidérer

˜ ~

ψ

^où

U =]0, ∞ [ × ]0, 2π[

^(i.e.^ave

θ ∈ ]0, 2π[

^),^qui^dans

e asexlutledemi-axedes

x

^positifs.

De manière générale, la fontion

ψ ~

^étant ^périodique ^de ^période

2π

^, ^on ^peut ^tout ^aussi ^bien

onsidérer

ψ ~

^ave

U =]0, ∞ [ × ]θ 0 , θ 0 + 2π[

^où

θ 0

^est ^un^réel^quelonque.

Laformuledonnant

θ = 2 arctan ^y

x+ √

n'estpastrèsutilisée.Onpréfèresouventutiliserla

formuleusuelle

θ = arctan ^y _x

^(qui^dit ^que^:

tan θ =

^té^opposé

téadjaent ).

Mais omme

arctan : ] − ∞ , + ∞ [ → ] − ^π 2 , ^π ₂ [

^ne ^peut ^donner ^que ^des ^valeurs^de

θ ∈ ] − ^π 2 , ^π ₂ [

(orrespondantà

x > 0

^),^on^distingue^les^as^suivants^:

θ =

Exerie 8.8 Montrer que la matrie jaobienne de

ψ ~

^en

(ρ, θ)

^est ^donnée ^par

J ψ ~ (ρ, θ) =

Cesontlesoordonnéespolairesplongéesdans

R ³

:ilnesepasserienen

z

ψ ~ :

Les variables

(ρ, θ)

^sont ^totalement^déouplées ^de ^la^variable

z

^, ^et ^traiter^des ^oordonnées

ylin-driquesn'esttehniquementpasautrehosequetraiterdesoordonnéespolaires,oùonajouteun

omposantevertiale(en

z

⁾^qui^est^l'identité^:

ϕ 3 (z) = z

8.1.4 Coordonnéessphériques

Onseplaedans

R ³

.Lesoordonnéessphériquessontbaséessurlesoordonnéespolaires:un veteur

~x ∈ R ³

s'érit

Surlasphèreterrestre,

θ

^dénit^la^longitude^(sur^lesparallèles)et

ϕ

^la^latitude^(sur^lesméridiens).

Etonaimmédiatement:

ρ = p

x ² +y ² +z ² , θ = 2 arctan y x+ p

x ² +y ² , ϕ = arctan z

p x ² +y ² .

^(8.5)

(Ouplussimplement

θ = arctan y

x

^,^si

x > 0

^,^voir^préédent.)

Remarque 8.10 Au lieu de

~x = ψ(ρ, θ, ϕ) = ~





x = ρ cos θ cos ϕ y = ρ sin θ cos ϕ

z = ρ sin ϕ





^, ^les ^méaniiens ^onsidèrent

également:

~x = ψ(ρ, θ, ˜ ~ ϕ) = ˜





˜

x = ρ cos θ sin ˜ ϕ

˜

y = ρ sin θ sin ˜ ϕ

˜

z = ρ cos ˜ ϕ



 , ρ ∈ ]0, ∞ [, θ ∈ ] − π, π[, ϕ ˜ ∈ ]0, π[,

^(8.6)

etl'angle

ϕ ˜

^mesure^l'angleêntre^le^ple^nordêtûn^parallèle.^Si^'estêtte^formule^que^vousômptez

utiliser,omme

ϕ = π/2 − ϕ ˜

^,^dans^la^suite^du^ours^on^remplaera

ϕ

^par^sa^valeur^en

ϕ ˜

^:^en^eet,

cos ϕ = sin ˜ ϕ

sin ϕ = cos ˜ ϕ

Maisattentionauxsignesquandondérive:

∂ ~ ψ

∂ϕ (ρ, θ, ϕ) = − ^∂ ∂ ^ψ ϕ ^˜ ^~ ˜ (ρ, θ, ϕ) ˜

∂ x ˜

∂ ϕ ˜ = ρ cos θ cos ˜ ϕ

⁽

= +ρ cos θ sin ϕ

^),^alors^que

^∂x _∂ϕ = − ρ cos θ sin ϕ

∂ y ˜

∂ ϕ ˜ = ρ sin θ cos ˜ ϕ

⁽

= +ρ sin θ sin ϕ

^),^alors^que

^∂y _∂ϕ = − ρ sin θ sin ϕ

^, ^et

∂ z ˜

∂ ϕ ˜ = − ρ cos ˜ ϕ

⁽

= − ρ sin ϕ

^),^alors^que

_∂ϕ ^∂z = +ρ sin ϕ

touslessignesdedérivationen

ϕ ˜

^sont^inversés^par^rapport^auxdérivationsen

ϕ

Remarque 8.11 Pour

θ

^,^voir^remarque^8.7.

Exemple 8.12 Montrerquepourlesoordonnéessphériques,lesmatriesjaobiennessont

don-néespar:

J ψ ~ (ρ, θ, ϕ) =





cos θ cos ϕ − ρ sin θ cos ϕ − ρ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ − ρ sin θ sin ϕ

sin ϕ 0 ρ cos ϕ



 ,

^(8.7)

etquelesveteursolonnes

J ψ ~ (~u).~e j

^onstituant^la^jaobienne^sontorthogonauxetontpournorme

1 ρ cos ϕ

^et

ρ

Montrerquelejaobien(déterminantdelajaobienne)estdonnépar:

det(J ψ ~ (~u)) = ρ ² cos ϕ.

Et:

J ⁻ _~ ¹

ψ (x, y, z) =





cos θ cos ϕ sin θ cos ϕ sin ϕ

− ρ ^sin cos ^θ ϕ

cos θ

ρ cos ϕ 0

− ^sin ^ϕ ρ ^cos ^θ − ^sin ^ϕ ρ ^sinθ cos ϕ

ρ



 .

^(8.8)

Onrappellequeledéterminantdonnelevolumeforméparlesveteursolonnesdelamatrie,

et qu'enpartiulier,quand esolonnessontdesveteursorthogonauxlevolumeestdonnéparle

produit desnormesdesveteursolonnes.

Onrappelleque pour une matriedont lesolonnes sontorthogonales, lamatrie inverse est

obtenue àpartir de la matrie transposéeen divisantles lignes de lamatrie transposée par la

norme auarré. En eet,







1 || ~ v 1 || ² ~v ^T ₁

1 || ~ v n || ² ~v _n ^T





 . ~v 1

...

~v n = [ _|| ^~ ^v _~ _v ^t ⁱ ^.~ _i ^v _|| ^j 2 ] = Id

^lorsque

~v i ⊥ ~v j

^pour

tout

i 6 = j

Onrappelleaussiquelorsquelesolonnessontorthogonales,iln'yaauuneraisonpourqueles

ligneslesoit,àmoinsquelesveteursn'aientmêmenorme.Exemple

2 − 2

4 1

dontlesolonnes

sontorthogonales,maispasleslignes,ouenorelamatrie

J ψ ~

^dont^les^olonnes^sontorthogonales et pasleslignes.

Exerie 8.13 Montrer quepour

˜ ~

ψ

^déniên^(8.6),ônâ^:

J ψ ˜ ~ (ρ, θ, ϕ) =





cos θ sin ˜ ϕ − ρ sin θ sin ˜ ϕ ρ cos θ cos ˜ ϕ sin θ sin ˜ ϕ ρ cos θ sin ˜ ϕ ρ sin θ cos ˜ ϕ cos ˜ ϕ 0 − ρ sin ˜ ϕ

Dénitions et résultats

U ⊂ R n

V ⊂ R n

ψ ~ : U → V

ψ ~

C 1

ψ ~ − 1 : V → U

C 1

U

V

(u 1 , ..., u n ) ∈ U

(x 1 , ..., x n ) ∈ V

(u, v) = (ρ, θ) ∈ U = R ∗

+ × ] − π, π[

ψ(ρ, θ) = ~ ψ 1 (ρ, θ) = ρ cos θ =

x(ρ, θ)

ψ 2 (ρ, θ) = ρ sin θ =

y(ρ, θ)

V = Im ψ ~ = R 2 − { (x, 0) : x ≤ 0 }

= R 2

x ≤ 0

(ρ, θ)

(x, y)

f : ] − 1, 1[ → ] − 1, 1[

f (u) = u 3

C 1

f − 1 (x) = x 1 3

C 0

] − 1, 1[

C 1

0

+ ∞

0

f ′ (u) 6 = 0

u

f

f ∈ C 1

f

f − 1 ∈ C 1

~u = (u 1 , ..., u n ) ∈ U

~x = (x 1 , ..., x n ) ∈ V

ψ(~u) = ~

n

X

i=1

ψ i (~u) ~e i =





 ψ 1 (~u)

ψ n (~u)







=





 x 1 (~u)

x n (~u)







= ~x(~u) ∈ V,

n

ψ i : ~u ∈ U → ψ i (~u) ∈ R

ψ ~

ψ ~

det(J ψ (~u)) 6 = 0

~u ∈ U

ψ ~ ∈ C 1 (U, V )

ψ ~

ψ ~

det(J ψ (~u)) 6 = 0

u ∈ U

ψ ~ − 1 ∈ C 1 (V, U )

ψ ~ ∈ C 1 (U, V )

ψ ~

det(J ψ (~u)) 6 = 0

~u ∈ U

~u

ψ ~

U ⊂ R ⁿ

V ⊂ R ⁿ

C ¹

ψ ~ ⁻ ¹ : V → U

C ¹

(u, v) = (ρ, θ) ∈ U = R ^∗

V = Im ψ ~ = R ² − { (x, 0) : x ≤ 0 }

= R ²

f (u) = u ³

C ¹

f ⁻ ¹ (x) = x ¹ ³

C ⁰

C ¹

f ^′ (u) 6 = 0

f ∈ C ¹

f ⁻ ¹ ∈ C ¹

ψ ~ ∈ C ¹ (U, V )

ψ ~ ⁻ ¹ ∈ C ¹ (V, U )

ψ ~ ∈ C ¹ (U, V )

ψ ~ ∈ C ¹

ψ ~ ⁻ ¹

ψ ~ ⁻ ¹ ◦ ψ ~ = I

det(J ψ ~ ⁻¹ (x, u)). det(J ψ ~ (u, v)) = 1

ψ ~ ∈ C ¹

G : R ³ → R ³

u + v + w ² v + w + u ² w + u + v ²

C ¹

R ²

C ⁰

R ²

| u | , | v | , | w | < ¹ ₄

R ²

g : R ² → R

~x ∈ R ²

R ²

ψ ~ ⁻ ¹ :

C ¹