il existez ∈C v´erifiant f(z) =γ? (iv) Soit f : R → R une fonction de classe C1

Facult´e des Sciences de TOURS Pr´eparation `a l’Agr´egation

Aoˆut 2013 ANALYSE

Quelques (petites) questions d’Analyse r´eelle

Echauffement :´

(i) Exprimer, en utilisant des suites, la n´egation de l’assertion :

∀ε >0, ∃α >0, |x−y|< α=⇒ |f(x)−f(y)|< ε.

(ii) Montrer que la suite d´efinie par la relation de r´ecurrence : un+1 = sin(un),

converge vers 0, quelque soit u₀. Peut-on avoir une estimation de|u_n|?

(iii) Soit f :C→R une fonction continue. Est-il vrai que, pour tout γ ∈[f(0), f(i)], il existez ∈C v´erifiant f(z) =γ?

(iv) Soit f : R → R une fonction de classe C¹. Soit x0 ∈ [0,1] tel que f(x0) = max

y∈[0,1]f(y). A-t-on n´ecessairement f⁰(x₀) = 0 ?

(v) Soit O un ouvert de R et f une fonction de classe C¹ sur O. On suppose que f⁰(x) = 0 pour tout r´eel x∈ O. A-t-on

– f est constante

– f ne prend qu’un nombre fini de valeurs

– f ne prend qu’un nombre d´enombrable de valeurs

(vi) Montrer qu’une fonction monotone n’admet qu’au plus un nombre d´enombrable de points de discontinuit´es.

Continuit´e (dans l’effort)

Soit f : [0,+∞[→R. Les deux assertions suivantes sont-elles ´equivalentes ? – f est continue sur R

– f v´erifie le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires sur tout intervalle I contenu dans R?

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Soitf : [0,+∞[→Rune fonction continue coercive, i.e.f(x)→+∞quandx→+∞.

Montrer quef atteint son minimum sur [0,+∞[.

Jouer le bon Rolle :

Soit g : [a, b] → C une fonction continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[. En g´en´eral, existe-t-ilc∈]a, b[ tel que :

g(b)−g(a) =g⁰(c)(b−a)?

Indication : quid de x7→e^ix

Soit f : [a, b] → R une fonction d´erivable sur [a, b]. Si x < y sont deux ´el´ements de l’intervalle ]a, b[, est-il vrai que pour tout γ ∈ [f⁰(x), f⁰(y)] (ou [f⁰(y), f⁰(x)] suivant la position de f⁰(x) et f⁰(y)), il existe z ∈[x, y] tel quef⁰(z) =γ?

Indication : on pourra consid´erer la fonctiont7→f(t)−γtet s’int´eresser aux minimas ou aux maximas de cette fonction sur l’intervalle [x, y]. On montrera qu’ils ne peuvent pas tous ˆetre sur le bord de l’intervalle...

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Soit f, g : R → R deux fonctions continues, d´erivables sur R\ {0}. On suppose que f(0) =g(0) = 0, que g, g⁰ ne s’annule pas dans un voisinage de 0 (priv´e de 0) et que f⁰

g⁰ a une limite en 0. Prouver qu’alors f

g a la mˆeme limite que f⁰ g⁰ en 0.

Indication : On pourra consid´erer la fonction t 7→ f(t)−Ag(t) sur l’intervalle [0, x] et penser au titre de cette s´erie d’exos afin de choisir A.

Mon Taylor est plus riche qu’on ne le croit (ou pratique du taylorisme non local) :

NB : Ces deux exercices (mˆeme si cela n’a pas ´et´e fait comme cela mercredi) avaient pour but de r´eviser la formule de Taylor avec reste int´egral : une des questions qui reste, c’est de savoir si ces r´esultats s’´etendent pour des fonctions deRⁿdansRavec des ´enonc´es ad´equats, soit par la m´ethode propos´ee par Benoit mercredi soit en utilisant Taylor avec reste int´egral (si ¸ca existe dans Rⁿ...). On pourra se souvenir du traitement de l’exercice (iii) de l’´echauffement...

Soit f :R→R une fonction de classeC². On suppose qu’il existe η >0 tel que, pour tout x∈R, f⁰⁰(x)≥η >0. Prouver que, pour tout y, x∈R :

f(y)≥f(x) +f⁰(x)(y−x) + 1

2η(y−x)² .

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(iii) Soit f : R →R une fonction de classe C². On suppose que f, f⁰, f⁰⁰ sont born´es sur R et on pose :

M₀ := sup

x∈R

|f(x)|, M₁ := sup

x∈Rⁿ

|f⁰(x)|, M₂ := sup

x∈R

|f⁰⁰(x)|. Prouver que :

M₁² ≤4M₀.M₂.