– Correction - Analyse –

Correction CC1-S1

- CC2-S1 - - 2017-2018 -

– Correction - Analyse –

Exercice 1

On considère la série entière réelle

X

n≥2

xⁿ n(n−1)

1. Déterminer son rayon de convergenceR.

∀n≥2, ∀x6= 0,

n(n−1) n(n+ 1)

n→+∞−→ 1.

La règle de D’Alembert donne le rayon de convergence égal à1.

2. Calculer la somme de la série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

∀x∈]−1,1[,

+∞

X

n=2

xⁿ n(n−1) =

+∞

X

n=2

xⁿ n−1 −xⁿ

n

=x

+∞

X

n=0

xⁿ⁺¹ n+ 1−

+∞

X

n=1

xⁿ⁺¹

n+ 1 (toutes les séries entières ont le même rayon de convergence1).

Enfin, comme∀x∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

xⁿ⁺¹

n+ 1 =−ln(1−x), on peut conclure que

∀x∈]−1,1[,

+∞

X

n=2

xⁿ

n(n−1) = (1−x) ln(1−x) +x

Exercice 2

On considère la série entière réelle

X

n≥0

x³ⁿ (3n)!

1. Déterminer son rayon de convergenceR. On notef(x)sa somme dans l’intervalle ouvert de convergence.

∀x6= 0,

x³ⁿ⁺³

(3n+ 3)! ×(3n)!

x³ⁿ

=

1

(3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)x³

n→+∞−→ 0.

Le critère de D’Alembert, donne la série numérique X x³ⁿ

(3n)! absolument convergente quel que soitx.

Le rayon de convergence de la série entière est donc égal à+∞.

2. Montrer que la fonctionf est solution d’une équation différentielle du3^èmeordre, homogène, à coefficients constants.

∀x ∈ R, f(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ

(3n)!. f est alors C^∞ sur l’intervalle ouvert de convergence, à savoir R. De plus,

∀x∈R, f⁰(x) =

+∞

X

n=1

x³ⁿ⁻¹

(3n−1)!, puisf⁰⁰(x) =

+∞

X

n=1

x³ⁿ⁻²

(3n−2)!, et enfinf⁽³⁾(x) =

+∞

X

n=1

x³ⁿ⁻³

(3n−3)! =f(x).

f est donc solution surRde l’équation différentielle :y⁽³⁾−y= 0.

3. Déterminerf(0), f⁰(0)et f⁰⁰(0).

On sait de plus que, si∀x∈R, f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ, alors∀n∈N, an= f⁽ⁿ⁾(0) n! . Ici,a0= 1, a1=a2= 0doncf(0) = 1et f⁰(0) =f⁰⁰(0) = 0.

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Correction CC1-S1

Exercice 3

SoitX

a_nxⁿ une série entière réelle de rayon de convergence 1. On pose :

∀x∈]−1,1[, f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

∀n∈N, sn =

n

X

k=0

ak et tn= 1 n+ 1

n

X

k=0

ak

1. SoitRle rayon de convergence de la série entièreX s_nxⁿ. a. A l’aide d’un produit de Cauchy, montrer queR≥1.

Xsnxⁿ=X

n

X

k=0

ak

!

xⁿ =X

n

X

k=0

ak×1

!

xⁿ doncX

snxⁿ est le produit de Cauchy deX xⁿ et de X

anxⁿ, toutes deux de rayon de convergence1. On en déduit que le rayon de convergenceR deX

snxⁿ est tel queR≥min(1,1)et doncR≥1.

b. En remarquant que

∀n≥1, an =sn−s_n−1 justifier que R≤1.

∀x∈]−1; 1[,

+∞

X

n=0

anxⁿ=s0+

+∞

X

n=1

(sn−s_n−1)xⁿ=s0+

+∞

X

n=1

snxⁿ−

+∞

X

n=1

s_n−1xⁿ (puisque R≥1).

Donc six∈]−R;R[,

+∞

X

n=0

anxⁿ converge absolument et ainsiR≤1. On conclut queR= 1.

2. Exprimer la somme de la série entièreX

s_nxⁿ à l’aide def(x), pour x∈]−1,1[.

Des questions précédentes, on conclut que :∀x∈]−1; 1[,

+∞

X

n=0

snxⁿ=

+∞

X

n=0

anxⁿ×

+∞

X

n=0

xⁿ = f(x) 1−x. 3. Déterminer le rayon de convergence de la série entièreX

tnxⁿ. Le rayon de convergence de la série entièreX

t_nxⁿ est 1puisque c’est celui de X sn

n+ 1xⁿ⁺¹, qui est égal au rayon deX

snxⁿ (par primitivation).

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