Exercice n °1 sur les suites

(1)

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Exercice n °1 sur les suites

Exercice 1 :(avec solution)

On considère la suite

 

Un définie par :

 

0 1

1

5 2

n n

U

U _ U n IN

 

    



1/

Calculer U et ₁ U . ₂

2/ Montrer par récurrence que : 3/ Etudier la monotonie de

 

Un

En déduire que :



^{ }ⁿ ^IN



^;Un ¹. Correction Exercice 1 :

⁰1

 

1

5 2

n n

U

U _ U n IN

 

    

 1/

2/ Montrons par récurrence que :

 Pour n=0 donc (Ι) est vraie

 Supposons (Ι) est vraie pour et montrons que (Ι) est vraie pour (n+1) (Ι) vraie pour :

Conclusion : On a montré par récurrence que :

3/ Calculons U_n_₁U_n pour tout nIN :

Or : 1

2 0

n 2 n

U >  U 1>

U_n_₁U_n>0 Donc

 

Un est croissante.

On a U₀ 1 et

 

Un strictement croissante donc :

D’où :

( ) 1

n 2 n IN U

  

1

5

0

2 =5 2 3

U U

  





2 5 1 2

=5x3 2 =13

U U

  



 

¹

 

n 2

n IN U

   

0 1 1

U  



ⁿ^^IN



nIN

1

 

1 5

2 5 2

5 1

5 2 2 5 2

2 2

1 vraie pour (n+1) 2

n n

n

U U

U _

   

      

   

 

¹

n 2

n IN U

  

1

5 2

2(2 1)

n n n n

n

U U U U

U



   

 



 n IN U



_n U_n_1U_n_2 ...U01

  

n IN U



n

Exercice n °1 sur les suites