Exercice type : suites auxiliaires.
1. 𝑢0 = 2 𝑢1 = 3
5𝑢0+ 1 = 6
5+ 1 =11
5 Et donc 𝑢2 = 3
5×11
5 + 1 =58
25. 2. D’après la formule de récurrence de (𝑢𝑛) on conjecture que (𝑢𝑛) n’est ni
arithmétique ( en raison du coefficient 3
5 )ni géométrique (en raison du +1).
Ainsi un contre-exemple suffirait pour démontrer qu’elle ne l’est pas.
• D’une part 𝑢2− 𝑢1 = 58
25−11
5 = 3
25 et d’autre part 𝑢1− 𝑢0 = 11
5 − 2 =1
5
𝑢2 − 𝑢1 ≠ 𝑢1− 𝑢0 donc (𝑢𝑛) n’est pas arithmétique.
• D’une part 𝑢2
𝑢1 = 58
25/11
5 =58
55 et d’autre part 𝑢1
𝑢0 =
11 5 2 =11
10 𝑢2
𝑢1 ≠ 𝑢1
𝑢0 donc (𝑢𝑛) n’est pas géométrique.
3.
a. 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛−5
2 𝑣0 = 𝑢0−5
2= 2 −5
2= −1
2 𝑣1 = 𝑢1−5
2= 11
5 −5
2 = − 3
10
𝑣2 = 𝑢2−5
2 =58
25−5
2= − 9
50.
b. La question étant fermée , il n’est pas utile de vérifier que 𝑣2
𝑣1 et 𝑣1
𝑣0 sont égaux (ils le sont de plus cela ne constituera absolument pas une preuve car
ce n’est qu’un exemple contrairement à la question 2 où cela constituait un contre-exemple donc une preuve)
Il faudra ainsi à s’atteler à démontrer que 𝑣𝑛+1
𝑣𝑛 est égale à une constante quelle que soit la valeur de 𝑛 .
𝑣𝑛+1
𝑣𝑛 = 𝑢𝑛+1−5 2 𝑢𝑛−5
2 𝑣𝑛+1
𝑣𝑛 = 3
5𝑢𝑛 + 1−5 2 𝑢𝑛−5
2
𝑣𝑛+1 𝑣𝑛 =
3
5𝑢𝑛 −3 2 𝑢𝑛−5
2
𝑣𝑛+1 𝑣𝑛 =
3
5(𝑢𝑛 − 3 23 5 )
𝑢𝑛−5 2
𝑣𝑛+1 𝑣𝑛 =
3
5(𝑢𝑛 −5 2) 𝑢𝑛−5 𝑣𝑛+1 2
𝑣𝑛 = 3 5
Conclusion : (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 = 3
5.
c. (𝑣𝑛) Étant géométrique de raison 𝑞 = 3
5 et de premier terme 𝑣0 = −1
2
On peut l’écrire en fonction de n de la façon suivante : 𝑣𝑛 = 𝑣0× 𝑞𝑛 = −1
2× (3
5)𝑛 . d. Comme 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛−5
2 on peut écrire 𝑢𝑛en fonction de 𝑣𝑛 Ainsi 𝑣𝑛 +5
2 = 𝑢𝑛 et donc 𝑢𝑛 = −1
2× (3
5)𝑛 +5
2.
On écrit 𝑣𝑛 en fonction de 𝑢𝑛
On écrit 𝑢𝑛+1en fonction de 𝑢𝑛
On réduit 1 −5
2
On factorise par le coefficient de 𝑢𝑛.
On réduit (3/2)/(3/5)
On simplifie par (𝑢𝑛−5
2)
4. La question n’est pas à traiter . Elle le sera quand le chapitre variation des suites sera abordé.
5. C’est une question assez technique il faudra prendre le temps de la comprendre.
Il faut bien comprendre que nous ne connaissons que les sommes des termes d’une suite arithmétique ou géométrique.
Ainsi comme (𝑢𝑛) n’est ni l’une ni l’autre il faudra « passer » par la suite géométrique (𝑣𝑛).
On commence donc par calculer 𝑆′𝑛 = 𝑣0 + 𝑣1… … … + 𝑣𝑛 = ∑𝑘=𝑛𝑘=1𝑣𝑘
𝑆𝑛′ = 𝑣0×1 − 𝑞𝑛 1 − 𝑞
𝑆𝑛′ = −1
2×1 − (3 5)
𝑛
1 −3 5
= −1
2× 1 − (3 5)
𝑛
2 5
= −1 2×5
2× (1 − (3 5)
𝑛
)
𝑆𝑛′ = −5
4× (1 − (3 5)
𝑛
)
A présent il faut écrire 𝑆𝑛en fonction de 𝑆𝑛′ 𝑆′𝑛 = 𝑣0+ 𝑣1… … … + 𝑣𝑛
𝑆𝑛′ = (𝑢0−5
2) + (𝑢1−5
2) + (𝑢2−5
2) … … … … . . + (𝑢𝑛 −5 2) 𝑆′𝑛 = 𝑢0+ 𝑢1+ 𝑢2… . . +𝑢𝑛−5
2× (𝑛 + 1) 𝑆′𝑛+5
2× (𝑛 + 1) = 𝑢0 + 𝑢1+ 𝑢2… . . +𝑢𝑛
−5
4× (1 − (3 5)
𝑛
)+5
2× (𝑛 + 1) = 𝑢0+ 𝑢1+ 𝑢2… . . +𝑢𝑛
On remplace chaque terme 𝑣𝑛 en fonction de 𝑢𝑛
On rassemble les termes 𝑢𝑛et il y a (n+1) termes égaux à -5/2
