Université Hassan II – Mohammedia
Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Mohammedia
Licence en Sciences Economiques Semestre 2
Cours de Calcul des Probabilités
Prof: NACIRI Abdelali al.naciri@yahoo.fr
Année universitaire: 2019 – 2010
Chapitre 3: Variables aléatoires
(Partie 1)
Chapitre 3: Variables aléatoires
Plan du chapitre :
1. Variables aléatoires :
1. Variable aléatoire discrète - Définition
- Loi de probabilité
- Fonction de répartition
2. Variable aléatoire continue - Définition
- Fonction de densité de probabilité - Fonction de répartition
2. Caractéristiques d’une variable aléatoire
1. Espérance mathématique d’une variable aléatoire 2. Variance et écart – type d’une variable aléatoire
Chapitre 3: Variables aléatoires
Notion de variable aléatoire:
- Une variable aléatoire (V.A) permet de donner aux événements d’une expérience aléatoire des valeurs numériques.
- A chaque résultat possible (événements) correspond un chiffre sur la base de la définition de la variable aléatoire.
- Si la valeur est entière (Exemple: 1, 2…), on parle de variable discrète, si la valeur ne peut qu’appartenir à un intervalle, on parle de variable continue
(Exemple: [1,2[).
- On note une variable aléatoire par une lettre en majuscule : Exp: X, Y.
- Les variables aléatoires permettent de faire tout le calcul statistique.
1. Variable aléatoire discrète
Définition:
Une variable aléatoire est discrète si on peut la représenter par des valeurs entières, exemple: 1, 2………. n.
Expérience aléatoire
Evénements (Résultats possibles): Ω Variable aléatoire: X: « Nombre de …. »
Valeurs de la variable aléatoire X = 0, 1,2,………….n
1. Variable aléatoire discrète Exemple:
Expérience aléatoire: « Lancer une pièce de monnaie trois fois».
Variable aléatoire: X : « Nombre de Piles obtenus ».
Résultats possibles: FFF, PFF, FPF, FFP, PPF, PFP, FPP, PPP
0 fois 1 fois 2 fois 3 fois
Valeurs de X: 0 1 2 3
On aura des valeurs simples :
X 0 1 2 3
1. Variable aléatoire discrète
Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète:
Déterminer la loi de probabilité de X : Quelle est la probabilité de chaque valeur de la V.A. X?
P(X = xi)
Remarque: La probabilité d’une valeur (xi) de la V.A. X est égale à la probabilité des événements qui ont donné la valeur (xi).
Exemple:
X 0 1 2 3 ∑P(X=xi)P(X =xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
1. Variable aléatoire discrète
Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète : La fonction de répartition de X représente les probabilités cumulées de X.
La fonction de répartition F(xi) pour une valeur (xi) est la somme des probabilités de toutes les valeurs inférieures à la valeur xi.
F(xi) = P(X<xi)
Remarque: F(xi) est déterminée pour chaque valeur xi de X.
F(= 0. : Première valeur de X.
F(= 1. : Dernière valeur de X.
1. Variable aléatoire discrète
Exemple:
Fonction de répartition de X:
- x = 0 : F(0) = P(X<0) == 0,
- x = 1 : F(1) = P(X<1) = P(X= 0) = 1/8
- x = 2 : F(2) = P(X<2) = P(X= 0) + P(X = 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
- x = 3 : F(3) = P(X<3) = P(X= 0) + P(X = 1) + P(X=2)=1/8+3/8+3/8 = 7/8 - x ≥ 3 : F(x) = P(X= 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 8/8 = 1.
X 0 1 2 3 ∑P(X=xi)
P(X =xi) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
X 0 1 2 3 x ≥ 3
P(X =xi) 1/8 3/8 3/8 1/8
F(xi) 0 1/8 4/8 7/8 1
