Cours de Calcul des Probabilités

Université Hassan II – Mohammedia

Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Mohammedia

Licence en Sciences Economiques Semestre 2

Cours de Calcul des Probabilités

Prof: NACIRI Abdelali

Année universitaire: 2019 – 2010

Lois de probabilité

Objectif des lois de probabilité:

Les lois de probabilité sont des modèles théoriques qui permettent d’étudier les phénomènes statistiques.

Quand les échantillons deviennent importants, les fréquences

observées réellement peuvent être remplacées par des probabilités.

Le travail statistique devient plus facile avec ces lois de probabilités.

Question importante:

Le bon choix de la loi de probabilité à appliquer à une variable aléatoire permet d’avoir des résultats statistiques proches des

résultats réels.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

Plan du chapitre :

1. Loi binomiale : - Définition

- Conditions d’application

- Formule de calcul des probabilités - Caractéristiques de la loi binomiale 2. Loi hypergéométrique

- Définition

- Formule de calcul des probabilités

- Caractéristiques de la loi hypergéométrique 3. Loi de Poisson

- Définition

- Conditions d’application

- Caractéristiques de la loi de poisson

- Lecture de la table de probabilité de la loi de Poisson

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.1. Définition

La loi binomiale est une loi de probabilité discrète qui correspond à une expérience aléatoire qui se répète d’une façon indépendante n fois, qui a deux résultats possibles (succès/échec) et avec une même probabilité p de réalisation du succès.

Pour appliquer la loi binomiale à une variable X, on doit avoir : - n répétitions indépendantes d’une expérience aléatoire,

- deux résultats possibles: succès ou échec,

- probabilité p du succès qui reste constante (tirage avec remise).

.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi binomiale :

1.1. Définition Loi de Bernoulli:

Si on réalise l’expérience une seule fois (n=1), on définit une loi de Bernoulli.

La loi de Bernoulli prend la valeur 1 avec une probabilité p et la valeur 0 avec une probabilité q. (q=1-p).

On pose Xi suit une loi de Bernoulli on a:

E(X) = ∑xi P(X=xi) = 0.q + 1.p = p

V(X) = E(X²) – E(X)² = (0.q + 1.p) – p² = p –p² = p(1 – p) = pq

Xi 0 1

P(X=xi) q p

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.1. Définition

Si on pose Xi des variables aléatoires qui suivent toutes des lois de Bernoulli.: X1, X2, X3,………Xn.

Chaque Xi correspond à une seule expérience.

Si on pose : X = X1 + X2 + X3 +……… +Xn.

Alors: La somme de ces variables Xi suit une loi binomiale.

X suit une loi binomiale.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.2. Conditions d’application de la loi binomiale:

La loi binomiale est appliquée quand on a ces conditions:

1 – n réalisations indépendantes d’une expérience aléatoire qui a deux résultats possibles (succès/échec) avec

probabilité p du succès qui est constante, 2 – Somme de n variables de Bernoulli,

3 – Approximation (remplacement) de la loi hypergéométrique.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.3. Formule de calcul des probabilités de la loi binomiale Si une variable aléatoire X suit une loi binomial on note:

X → B(n,p)

La loi binomiale dépend de deux paramètres:

- n : Nombre de répétitions de l’expérience, - p : Probabilité du succès.

P(X=x) = Probabilité d’avoir x succès pendant n expériences.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.3. Formule de calcul des probabilités de la loi binomiale - X= x signifie que pendant n expériences aléatoires réalisées

on a eu x succès et (n – x) échecs.

- La probabilité d’avoir x succès et (n – x) échecs pour une seule expérience est : .

- Le nombre de fois de placer ces x succès parmi les n expériences est : .

La formule de calcul des probabilités est:

P(X = xi) = .

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.4.

Caractéristiques de la loi binomiale :

Espérance mathématique de la loi binomiale :

L’espérance mathématique de la loi binomiale est déterminée à partir de l’espérance de la loi de Bernoulli.

Soit X = X21 + X2 + X3 + ………. + Xn E(X) = E(X1 + X2 + X3 + ………. + Xn)

= E(X1) + E(X2) + E(X3) + ………. +E(Xn)

= p + p + p + ………+ p E(X) = np

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi binomiale :

1.4.

Caractéristiques de la loi binomiale :

Variance et écart – type de la loi binomiale :

La variance de la loi binomiale est déterminée à partir de la variance de la loi de Bernoulli.

Soit X = X21 + X2 + X3 + ………. + Xn V(X) = V(X1 + X2 + X3 + ………. + Xn)

Les variables Xi sont indépendantes, on peut écrire:

V(Xi) = V(X1) + V(X2) + V(X3) + ………. +V(Xn)

= pq + pq + pq + ………+ pq E(X) = npq

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes Exemple:

Dans une entreprise, une machine produit des pièces électroniques. On a remarqué que 10% de ces pièces sont défectueuses. On a prélevé 100 pièces de la production totale d’une journée.

1 – Quelle est la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit égal à 5 ? 2 – Calculer l’espérance mathématique et la variance.

1 – Soit X: « Nombre de pièces défectueuses ».

L’expérience aléatoire consiste à prélever une pièce produite. L’expérience se répète 100 fois, et une pièce soit elle est bonne soit défectueuse avec une probabilité de 0,1.

X suit une loi binomiale : X →B(100, 0,1).

P(X = 5) = = 0,0338

2 – E(X) = np = 100. 0,1 = 10.

V(X) = npq = 100 . 0,1 . 0,9 = 9. Et σ(X) = = = 3.

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi hypergéométrique :

1. Définition :

La loi hypergéométrique est une loi de probabilité discrète qui correspond à une expérience aléatoire qui se répète n fois, avec deux résultats possibles « succès » ou « échec » et une probabilité du

« succès » qui change pour chaque nouvelle expérience (tirage sans remise).

La loi hypergéométrique est la plus proche de la réalité statistique avec des expériences dépendantes.

Remarque:

Dans toutes les lois de probabilité, les expériences sont indépendantes sauf dans le cas de la loi hypergéométrique.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi hypergéométrique :

2. Formule de la loi hypergéométrique :

Si une variable aléatoire X suit une loi hypergéométrique on peut noter : X → H(N, n, p)

Pour appliquer loi hypergéométrique, on doit avoir : - N : Population dans laquelle on réalise le tirage.

- n : Nombre d’éléments tirés (Echantillon).

- p : Probabilité du « succès ».

La formule de la loi hypergéométrique : P(X = xi) = Avec: - : cas possibles de tirer n parmi N.

- . cas favorables à x succès parmi n tirages.

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi hypergéométrique :

1.3. Caractéristiques de la loi hypergéométrique : Espérance mathématique : E(X) = np

Variance: V(X) = npq.

Avec : Coefficient d’exhaustivité qui indique que le tirage est sans remise (tirage exhaustif).

Remarque :

Quand la taille N devient grande par rapport à n, la loi

hypergéométrique est approximée par la loi binomiale plus facile.

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

Exemple:

Un étudiant doit préparer dix leçons pour passer l’examen d’une matière. Il n’a préparé que sept parmi les dix leçons.

Dans l’examen, on va lui poser quatre questions dans quatre leçons différents.

1. Calculer la probabilité de répondre correctement à trois questions de l’examen.

2. Calculer l’espérance el la variance des réponses correctes.

Réponse: Soit X: « Nombre de réponses correctes ».

On N = 10, on choisira n = 4, avec une probabilité de réponse correcte . Donc X → H(10, 4,

1. P(X = 3) = = .

2. E(X) = np = 4 . = = 2,8.

V(X) = npq. = 4 . . = 0,56 et σ(X) = 0,75.

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi de Poisson:

1.1. Définition:

La loi de Poisson est une loi de probabilité discrète utilisée pour étudier les phénomènes statistiques qui ont une faible

probabilité de réalisation.

La loi de poisson permet de calculer la probabilité qu’un événement, qui se réalise en moyenne m fois dans une période de temps, se réalise x fois pendant cette période.

Si une variable X suit une loi de Poisson, on note : X → P(m) La loi de Poisson dépend d’un seul paramètre qui est m.

P(X=xi) =

.

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi de Poisson:

1.2. Conditions d’application de la loi de Poisson:

La loi de Poisson peut être appliquée comme approximation de la loi binomiale ou comme application du processus de Poisson.

- Approximation de la loi binomiale :

La loi de Poisson remplace la loi binomiale quand n est grand et p est faible:

X→B(n,p) X→P(np)

n≥50 m=np

p≤0,1

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi de Poisson:

1.2. Conditions d’application de la loi de Poisson:

- Processus de Poisson:

- La probabilité de réalisation de l’événement pendant une période de temps (dt) dépend de la durée de cette période,

- Les réalisations de l’événement dans des périodes différentes sont indépendantes.

- La probabilité de réalisation de l’événement deux fois pendant une même période est nulle.

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes 1. Loi de Poisson:

1.3. Caractéristiques de la loi de poisson:

La loi de Poisson est totalement caractérisée par son paramètre m. la valeur m est en même temps le paramètre de la loi, son espérance et sa variance.

Espérance mathématique:

- E(X) = ∑ xi P(X=xi) = m.

Variance:

- V(X) = E(X²) – E(X)² = ∑ x² . – m² = m.

Remarque:

Si X1 et X2 deux variables qui suivent des lois de Poisson P(m1) et P(m2), alors:

(X1 + X2) → P(m1+m2)

  

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes

1. Loi de Poisson:

1.4. Lecture de la probabilité sur la table de la loi de Poisson Le calcul des probabilités pour la loi de Poisson est fait soit à l’aide de la formule de la loi soit à l’aide de la table de la loi de Poisson.

La table de la loi de Poisson est à double entrée, elle prend en compte le paramètre m et la valeur xi de la variable aléatoire X.

Deux types de table:

- Tables des probabilités individuelles P(X=xi).

- Table de la fonction de répartition P(X≤xi).

Table de loi de Poisson pour des valeurs individuelles : P(X=xi)

Si X→P(4): P(X=5) = 0,1563

m ^{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10}

xi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,3679 0,3679 0,1839 0,0613 0,0153 0,0031 0,0005 0,0001

0,1353 0.2707 0.2707 0.1804 0.0902 0.0361 0.0120 0.0034 0.0009 0.0002

0,0498 0,1494 0,2240 0,2240 0,1680 0,1008 0,0504 0,0216 0,0081 0,0027 0,0008

0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053

00067 00337 00842 01404 01755 01755 01462 01044 00653 00363 00181

0,0025 0,0149 0,0446 0,0892 0,1339 0,1606 0,1606 0,1377 0,1033 0,0688 0,0413

0,0009 0,0064 0,0223 0,0521 0,0912 0,1277 0,1490 0,1490 0,1304 0,1014 0,0710

0,0003 0,0027 0,0107 0,0286 0,0573 0,0916 0,1221 0,1396 0,1396 0,1241 0,0993

0,0001 0,0011 0,0050 0,0150 0,0337 0,0607 0,0911 0,1171 0,1318 0,1318 0,1186

0,0000 0,0005 0,0023 0,0076 0,0189 0,0378 0,0631 0,0901 0,1126 0,1251 0,1251

Table de la fonction de répartition de loi de Poisson : P(X≤xi)

Si X→P(4): P(X=5) = P(X≤ 5) – P(X< 5)

= P(X ≤ 5) – P(X ≤ 4) = 0,7852 – 0,6289 = 0,1563

m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,3679 0,7358 0,9197 0,981 0,9963 0,9994 1

0,1353 0.406 0.6767 0.8571 0.9473 0.9834 0.9954 0.9988 0.9997 1

0,0498 0,1992 0,4232 0,6472 0,8152 0,916 0,9664 0,988 0,9961 0,9988 1

0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6289 0,7852 0,8894 0,9489 0,9787 0,9919 0,9972

0,0067 0,0404 0,1246 0,265 0,4405 0,616 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863

0,0025 0,0174 0,062 0,1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,744 0,8473 0,9161 0,9574

0,0009 0,0073 0,0296 0,0817 0,1729 0,3006 0,4496 0,5986 0,729 0,8304 0,9014

0,0003 0,003 0,0137 0,0423 0,0996 0,1912 0,3133 0,4529 0,5925 0,7166 0,8159

0,0001 0,0012 0,0062 0,0399 0,0736 0,1343 0,2254 0,3425 0,4743 0,6061 0,7247

0,0000 0,0005 0,0028 0,0104 0,0293 0,0671 0,1302 0,2203 0,3329 0,458 0,5831

Chapitre 4: Lois de probabilité discrètes Exemple:

Dans une banque, en moyenne, le nombre de clients qui utilisent le guichet bancaire, pendant une période de cinq minutes, est de 3.

1.Calculer la probabilité que 2 clients utilisent le guichet pendant cinq minutes ? 2. Calculer la probabilité que 2 clients utilisent le guichet pendant dix minutes ? Réponse:

1. Soit X : « Nombre de clients utilisant le guichet pendant cinq minutes ».

X → P(3)

P(X=2) = . = 0,224.

2. Soit Y : « Nombre de clients utilisant le guichet pendant dix minutes ».

Y = X1 + X2

Y → P(3+3) : Y → P(6): P(Y=2) = . = 0,0446

