Université Hassan II – Mohammedia
Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales Mohammedia
Licence en Sciences Economiques Semestre 2
Cours de Calcul des Probabilités
Prof: NACIRI Abdelali [email protected]
Année universitaire: 2019 – 2010
Chapitre3: Variables aléatoires
(Partie 2)
1. Variable aléatoire continue
Définition:
Une variable aléatoire X est continue si ses valeurs sont présentées dans des intervalles: X [a, b[.∈
Exemple: Taille, Poids, Temps……
La V. A. continue X prend donc ses valeurs dans des intervalles.
Les probabilités déterminées sont des probabilités pour des intervalles, X [a,b[, ∈ et non pour une valeur exacte de X, P(X=xi).
Les probabilités sont données par une fonction de densité
de probabilité : f(x).
P(a ≤ X ≤ b) =
Avec : = = F(b) – F(a)
1. Variable aléatoire continue
La fonction f(x) doit vérifier deux conditions pour qu’on dit que c’est une fonction de densité de probabilité de X:
- f(x) doit être une fonction positive pour toutes les valeurs du domaine de définition.
x [a, b[, f(x) ≥ 0 Ɐ ∈
- La somme de toutes les probabilités f(x) est égale à l’unité 1.
1. Variable aléatoire continue
Exemple :
Soit la fonction f(x) définie par : f(x) = si 0 ≤ ≤ 2
f(x) = 0 si < 0 ou > 2 Vérification des conditions:
- Sur l’intervalle [0, 2], f(x) = → f(x) ≥ 0.
- Somme des probabilités f(x) sur l’intervalle [0, 2]:
1. Variable aléatoire continue
Somme des probabilités f(x) sur l’intervalle [0, 2]:
+
= F(2) – F(0) = 1 – 0 = 1
La somme des probabilités est égale à l’unité 1.
La fonction f(x) vérifie les deux conditions:
f(x) est donc une fonction de densité de probabilité de X qui peut donner les probabilités pour les valeurs de X [0,2]. ∈
1. Variable aléatoire continue
Exemple :
On calcule la probabilité que X soit inférieure à 1: P(X < 1)
P(X < 1) = +
= F(1) – F(0) = – 0 =
1. Variable aléatoire continue
Fonction de répartition d’une variable aléatoire continue : La fonction de répartition F(x) est déterminée sur chaque
intervalle où f(x) prend une valeur différente:
Exemple:
- Pour x < 0 : F(0) = (on prend une valeur x proche de 0 et on change de variable: t).
= = 0 - Pour x < 2 : F(2) = = = = - Pour x ≥ 2 : F(x) = =
= = = 1
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
La définition d’une variable aléatoire permet d’effectuer tout le travail statistique pour déterminer les caractéristiques de tendance centrale (espérance mathématique) et de dispersion (écart-type) de X.
On doit avoir:
- Valeurs de X : Valeurs discrètes (X= xi), ou valeurs continues (X [a, b[);∈
- Probabilités de X : Loi de probabilité P(X=xi), ou fonction de densité de probabilité f(x).
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Espérance mathématique d’une variable aléatoire :
Définition:
L’espérance mathématique E(X) d’une variable aléatoire correspond à la moyenne arithmétique d’un caractère
statistique.
Elle est calculée en multipliant les valeurs de X et leurs probabilités.
- Variable discrète: E(X) = ∑ xi. P(X = xi) - Variable continue: E(X) =
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Espérance mathématique d’une variable aléatoire :
Calcul de l’E(X) pour une variable discrète:
E(X) = ∑ xi. P(X = xi)
E(X) = 0 . 1/8 + 1 . 3/8 + 2 . 3/8 + 3 . 1/8 = 12/8 = 1,5 Le nombre moyen de Piles est égal à 1,5.
X 0 1 2 3 ∑P(X=xi)
Pi 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Espérance mathématique d’une variable aléatoire :
Calcul de l’E(X) pour une variable continue : Pour f(x) = si 0 ≤ ≤ 2
f(x) = 0 si < 0 ou > 2 On a :
E(X) =
=
=
=
= = F(2) – F(0) = – 0 = .
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Propriétés de l’espérance mathématique :
Les propriétés de l’E(X) permettent de calculer les espérances
mathématiques de nouvelles variables aléatoires formées à partir de variables aléatoires dont les espérances sont connues.
- E(a) = a. (a: constante ).
- E(aX + b) = a.E(X) + b - E(X + Y) = E(X) + E(Y) - E(X – Y) = E(X) – E(Y)
- E(X.Y) = E(X) . E(Y) (Si X et Y sont indépendantes).
Remarque:
Les mêmes relations entre les variables aléatoires restent entre leurs espérances mathématiques.
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Variance et écart – type d’une variable aléatoire :
Définition:
La variance V(X) est un indicateur de dispersion qui mesure la distribution des valeurs d’une variable aléatoire autour d’une valeur centrale qui est l’E(X).
V(X) = E[X – E(X)]² = E(X²) – E(X)²
- Variable discrète: V(X) = ∑ [xi – E(X)]² . P(X = xi) - Variable continue: V(X) =
= E(X)²
L’écart – type σ(X) représente la distance moyenne qui sépare toutes les valeurs d’une variable aléatoire à l’E(X): σ(X) = .
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Variance et écart – type d’une variable aléatoire :
Exemple: Variable discrète:
Calcul de la variance: V(X) = E(X²) – E(X)²
On calcule E(X²): E(X²) = ∑xi² . P(X = xi)
= 0 . 1/8 + 1 . 3/8 + 4 . 3/8 + 9 . 1/8 = 24/8 Donc:
V(X) = 24/8 – (12/8)² = 24/8 – 18/8 = 6/8 L’écart – type de X est : σ(X) = = 0,87
X² 0 1 4 9 ∑P(X=xi)
Pi 1/8 3/8 3/8 1/8 1
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Variance et écart – type d’une variable aléatoire :
Exemple: Variable continue:
V(X) = E(X)²
On calcule E(X²) : E(X²) =
= + +
= + +
= = = F(2) – F(0) = – 0 = 2
Donc: V(X) = E(X²) – E(X)² = 2 – = L’écart – type de X est : σ(X) = = 0,82
Caractéristiques d’une variable aléatoire :
Propriétés de la variance :
Les relations entre les variables aléatoires ne sont pas toujours les mêmes entre leurs variances.
