PROBABILITÉS ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE

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PROBABILITÉS ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE

Objectif de la séance :

On se propose de simuler trois expériences aléatoires à l’aide du tableurOpenCalcdans le but d’illustrer l’espérance mathématique E(X) d’une variable aléatoire X.

Simulation 1:

On lance 2 dés. On note M la variable aléatoire égale au plus grand des chiffres obtenus.

Simulation 2:

La roue de loterie suivante est partagée en 3 secteurs angulaires : le rouge fait 150°, le vert 90° et le bleu 120°.

On tourne une fois la roue et si elle s’arrête sur "rouge" on gagne 2e; si elle s’arrête sur "bleu" on gagne 1e; si elle s’arrête sur "vert" on perd 4e.On note G la variable aléatoire égale au gain obtenu.

Simulation 3:

On dispose de 4 bâtonnets qui mesurent 3 cm, 4 cm, 7 cm et 8 cm. On tire au hasard un premier bâtonnet puis, sans le remettre, on en tire un deuxième. On note L la variable aléatoire égale à la longueur totale des 2 bâtonnets tirés mis bout à bout.

Simulation 1 :

1. Sur la première ligne indiquer dans les cellules A1 , B1 , C1 et D1 1er dé , 2ème dé , Max , Moyenne .

2. Compléter les cellules A2 et B2 à l’aide de l’instruction =ENT(6*ALEA()+1). 3. Compléter C2 avec =SI(A2<B2;B2;A2).

tAppeler le professeur ! 4. Recopier la ligne 2 jusque la ligne 2 001 pour simuler 2 000 lancers de deux dés.

5. Dans la cellule D2 faire apparaître la moyenne des cellules C2 jusque C2001 . 6. Calculer l’espérance mathématique E(M) et comparer avec la moyenne obtenue.

tAppeler le professeur !

Simulation 2 :

1. Sur la première ligne indiquer dans les cellules A1 et B1 , C1 et D1 Angle , Couleur , Gain , Moyenne .

1 http://rallymaths.free.fr/

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2. Compléter A2 à l’aide de l’instruction =360*ALEA() simulant le choix d’un angle entre 0 et 360°.

3. Compléter B2 avec =SI(A2<150;"R";SI(A2<240;"V";"B")).

Il est possible de changer la couleur de l’arrière plan de la cellule en définissant tout d’abord 3 styles de cellule "rouge", "vert" et "bleu" :

• Format/Styles et formatage/Styles de cellule/Nouveau style.

• Puis modifier le style par un clic droit sur le nom du style en indiquant la couleur correspondante de l’arrière plan.

• Enfin sélectionner la cellule B2 puis Format/Formatage conditionnel.... Compléter alors le tableau :

4. Compléter C2 avec =SI(B2="R";+2;SI(B2="B";+1;-4)).

tAppeler le professeur ! 5. Recopier la ligne 2 jusque la ligne 2 001 pour simuler 2 000 lancers de la roue.

6. Dans la cellule D2 faire apparaître la moyenne des cellules C2 jusque C2001 . 7. Calculer l’espérance mathématique E(G) et comparer avec la moyenne obtenue.

tAppeler le professeur !

Simulation 3 :

Pour simuler les tirages successifs de 2 bâtonnets sans remise, on utilise d’abord un nombre aléatoire entre 1 et 4 puis un nombre aléatoire entre 1 et 3.

1. Sur la première ligne indiquer dans les cellules A1 , B1 , C1 , D1 , E1 et F1 : 1er nombre , 2ème nombre , 1er bâtonnet , 2ème bâtonnet , Longueur totale et Moyenne .

2. Compléter les cellules A2 par =ENT(4*ALEA()+1). 3. Compléter les cellules B2 par =ENT(3*ALEA()+1). 4. Compléter la cellule C2 par :

=SI(A2=1;3;SI(A2=2;4;SI(A2=3;7;8))). 5. Coller l’instruction suivante dans la cellule D2 :

=SI(ET(A2=1;B2=1);4;SI(ET(A2=1;B2=2);7;SI(ET(A2=1;B2=3);

8;SI(ET(A2=2;B2=1);3;SI(ET(A2=2;B2=2);7;SI(ET(A2=2;B2=3);

8;SI(ET(A2=3;B2=1);3;SI(ET(A2=3;B2=2);4;SI(ET(A2=3;B2=3);

8;SI(ET(A2=4;B2=1);3;SI(ET(A2=4;B2=2);4;7))))))))))) .

(3)

6. Compléter la cellule E2 par =C2+D2.

tAppeler le professeur ! 7. Recopier la ligne 2 jusque la ligne 2 001 pour simuler 2 000 tirages de 2 bâtonnets.

8. Dans la cellule F2 faire apparaître la moyenne des cellules E2 jusque E2001 . 9. Calculer l’espérance mathématique E(L) et comparer avec la moyenne obtenue.

tAppeler le professeur ! Arbre de choix :

3

4 7 8

4

3 7 8

7

3 4 8

8

3 4 7

7 10 11 7 11 12 10 11 15 11 12 15 1er bâtonnet

2e bâtonnet Total

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À copier-coller :

=SI(ET(A2=1;

B2=1);4;SI(ET(A2=1;B2

=2);7;SI(ET(A2=1;B2=

3);8;SI(ET(A2=2;B2=1)

;3;SI(ET(A2=2;B2=2);7

;SI(ET(A2=2;B2=3);8;

SI(ET(A2=3;B2=1);3;SI (ET(A2=3;B2=2);4;SI(E

T(A2=3;B2=3);8;SI(ET (A2=4;B2=1);3;SI(ET(A

2=4;B2=2);4;7)))))))) )))