G232
Considérons le graphe associé à l’un des projets de réseau autoroutier où lesn villes sont les sommets, et lesn−1 portions d’autoroutes, les arêtes. Il est par définition connexe et tout sommet est donc de degré non nul.
Un graphe connexe ànsommets comporte au moinsn−1arêtes. Pour n= 1,la propriété est triviale. Supposons la propriété prouvée pour n>1 et considérons un graphe connexe àn+ 1sommets etaarêtes.
S’il existe un sommet de degré 1, alors le sous-graphe obtenu en ôtant ce sommet et l’arête incidente, a n sommets et reste connexe ; l’hypothèse de récurrence implique alorsa>n−1 + 1 =n.
Sinon le sommetiest de degrédi>2,et nous avons2a=
n+1X
i=1
di>2 (n+ 1).
Un tel graphe est un arbre (graphe connexe et acyclique). Par l’absurde, supposons l’existence d’un cycle et ôtons l’une de ses arêtes. Par définition du cycle, le graphe devrait rester connexe. Mais avecn−2arêtes, il ne saurait être connexe d’après ce qui précède.
Formule de Cayley : an = |An| =nn−2 où An désigne l’ensemble des arbres à n sommets numérotés. Pour n= 1 ou 2, la propriété est vraie.
Supposons à présentn>3.
Il existe au moins un sommet de degré 1 car sinon2 (n−1) = Xn i=1
di>2n.
Pour16i6n, notonsAi l’ensemble des arbres deAn oùdi = 1.
AlorsAn= [n i=1
Aietan = Xn k=1
(−1)k+1 X
16i1<...<ik6n
¯¯¯¯
¯¯
\k j=1
Aij
¯¯¯¯
¯¯(formule de Poincaré).
D’oùan = Xn
k=1
(−1)k+1¡k
n
¢(n−k)kan−k = Xn
k=1
(−1)k+1¡k
n
¢(n−k)n−2 en util-
isant l’hypothèse de récurrence (même sia0n’a pas été défini, son poids est nul, ou encore,
\n
i=1
Ai=∅car sinon2 (n−1) = Xn
i=1
di=n>3.)
SoitP0(x) = (1 +x)net Pi(x) =xPi0−1(x)pour16i6n−1.Nous montrons aisément par récurrence quePi(x) =
Xn
k=0
¡k
n
¢kixk = (1 +x)n−iQ(x). AinsiPi(−1) = 0 =
Xn
k=0
¡k
n
¢ki(−1)k, d’oùni = Xn
k=1
(−1)k+1¡k
n
¢(n−k)i valable
pour06i6n−1.En particulier pouri=n−2,nous avons bien an=nn−2. Enfina6= 1296<2008< a7= 16807, donc n= 7.
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