H10489. Polyèdre résistant
Un réseau électrique est formé des arêtes (de même résistanceR) d’un po- lyèdre régulier. Quelle est la résistance équivalente, quand on applique une tension entre deux sommets du tétraèdre, de l’octaèdre, du cube ?
Solution
La loi des noeuds (conservation de l’intensité) et la loi des mailles (additivité des différences de potentiel) fournissent la résistance d’ensemble, qui estR/2 pour le tétraèdre et entre deux sommets opposés de l’octaèdre ; c’est 5R/12 entre deux sommets adjacents de l’octaèdre. Pour le cube, c’est 7R/12, 3R/4 ou 5R/6 selon que les points de branchement sont séparés par 1, 2 ou 3 arêtes.
Jean-Louis Legrand a traité les cas de l’icosaèdre (respectivement 11/30, 7/15 et 1/2 fois la résistance d’une arête, quand les bornes sont séparées par 1, 2 et 3 arêtes), et du dodécaèdre (19/30, 9/10, 16/15, 17/15 et 7/6, pour 1 à 5 arêtes).
Curieusement, entre deux sommets distants de 1, une formule simple com- mune aux 5 polyèdres réguliers est : le nombre de sommets moins 1 divisé par le nombre d’arêtes ; en trouver une preuve commune aux cinq cas est une question ouverte.
