TSpéMath Parcours 3 : Comment résoudre une équation ?

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TSpéMath Parcours 3 : Comment résoudre une équation ?

Cours : Dérivation et continuité des fonctions

I. Fonctions et compositions

Définition :

Unefonction f est un procédé qui à chaque valeur d’une variable réellexfait correspondre au plus uneimage notée f(x). On devrait donc écrire f :x7→f(x), mais on se contente souvent d’écrire f(x).

L’ensemble des réels qui ont une image par f est appelé ledomaine de définitionde f notéD_f.

Définition :

Soitg une fonction définie sur une partieEdeRà valeurs dansF (pour toutx∈E,g(x)∈F).

Soit f une fonction définie surF.

On appellecomposéedeg suivie de f la fonction, notée f og, définie surE par (f ◦g)(x)=f[g(x)].

x f ◦g f ◦g(x)

x g g(x) f f(g(x))

Exemple :

Soitg la fonction racineg(x)=p

xdéfinie sur [0 ;+∞[ à valeurs dansR;

Soitf la fonction affinef(x)=2x−10 définie surR; On peut enchaîner les fonctionsg puis f et définir ainsi la composée deg suivie def : f ◦g

g f

[0 ;+∞[ 7−→ R 7−→ R

9 7−→ 7−→

20.25 7−→ 7−→

100 7−→ 7−→

x 7−→ 7−→

Remarque :

En général, la composée deg suivie def n’est pas égale à la composée def suivie deg. Dans l’exemple précédent, l’image de 4 par f ◦g est : f[g(4)]=f(2)= −6.

Mais on ne peut pas définir l’image de 4 parg◦f : f(4)= −2 maisg(−2) n’existe pas.

Exercice :

• f(x)=5x+2 f ◦g(x)=...

• g(x)=x²+1 g◦f(x)=...

2020–2021 1 Lycée du Bois d’Amour - Poitiers

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II. Continuité

1. Définition

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalleIcontenantx₀. 1. On dit que f estcontinue enx₀

lorsque lim

x→x0

f(x)=f(x₀) 2. On dit que f est continue

sur l’intervalle I lorsque f est continue en tout réelxdeI.

Cf

c d

Fonction continue sur [c;d]

Cf

c s d

c

Fonction non continue ens.

f(s)= lim

x→s⁻f(x) maisf(s)6= lim

x→s⁺f(x)

Remarque :

Dans le tableau de variation d’une fonction, une flèche symbolisera le sens de variationet la continuité de la fonction sur un intervalle.

Théorème 1 :

1. Les fonctions polynômes, racine carrée, inverses sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.

2. Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continues.

3. Toute fonction dérivable surIest continue surI. La réciproque est fausse !

Exemples :

−2 −1 1 2 3 4 5

−1 1 2

Cf

Fonction continue sur [−2 ; 6]

mais non dérivable en−1, 0, 1, 2, et 3

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

y=E(x)

Fonction partie entière, non continue surR.

2. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 2 :

Théorème des valeurs intermédiaires : TVI

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalleI etaetbdeux réels deI. Pour tout réelkcompris entref(a) et f(b), il existeau moinsun réelc∈[a;b] tel que f(c)=k.

k

c f(a)

f(b)

a b

Cf

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Remarque :

L’intervalleIpeut être de la forme [a;b], [a;+∞[, ]− ∞;b] ou ]− ∞;+∞[.

On remplacera alors f(a) (respectivement f(b)) par lim

x→af(x) (respectivement lim

x→bf(x)).

Cas particulier :

"Corollaire du TVI" ou "Théorème de la bijection"

Si f est continue et strictement monotone surIalors pour tout réelk compris entre f(a) et f(b), il existeun unique réelc∈[a;b] tel que f(c)=k.

k

c f(a)

f(b)

a b

Cf

III. Dérivation

1. Nombre dérivé et fonction dérivée

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalleIetaun réel quelconque deI.

On dit que f estdérivable ena ou que f admet unnombre dérivéena, si la fonctionh7−→ f(a+h)−f(a) h

admet une limite`en 0. Le nombre`est lenombre dérivéde f enaet est notéf⁰(a).

Graphiques :

Le rapport f(a+h)−f(a)

h est le

coefficient directeur de la sécante (AM).

0 a a+h

h f(a)

f(a+h)

Cf

A

M

Quand on fait tendrehvers 0, on rapproche la sécante de latangenterecherchée enA.

0

a a+h

f(a) f(a+h)

Cf

A M

0 a

f(a) Cf

T_a

A

On dit que la droite passant parAet de coefficient directeur f⁰(a) est latangente à la courbeCf enA.

Une équation de cettetangenteest donc : y=f⁰(a)(x−a)+f(a)

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Tableau des dérivées usuelles :

Intervalle de dérivabilité Fonction :x7→f(x)= Fonction dérivée :x7→f⁰(x)=

R k, constante

R mx+p

R x²

R xⁿ, avecn∈N

]0;+∞[ p

x ]− ∞; 0[ et ]0;+∞[ 1

x

Propriété 3 :

Toute fonctionpolynomialeestcontinueetdérivablesurR.

Théorème 4 :

Formules de calculs de dérivées

Soientuetvdeux fonctions dérivables surR(ou un intervalle deR).

Alorsu+v etu×v sont dérivables. Siv6=0 alors 1 v et u

v sont dérivables aussi.

f u+v u×v 1

v

u v

f⁰

2. Des formules complémentaires

Il nous manque des formules pour pouvoir calculer la dérivée de toutes les fonctions composées.

Théorème 5 :

Dérivée de x7→f(x)=u(ax+b)

Soituune fonction définie, dérivable sur un intervalleI,aetbdes réels.

La fonction f définie surI par f(x)=u(ax+b) est dérivable surIet pour toutx∈I,f⁰(x)=a×u⁰(ax+b).

Théorème 6 :

Dérivée de x7→f(x)=p u(x)

Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalleI. La fonctionf définie pour tout x∈Ipar f(x)=p

u(x) est dérivable surIet pour toutx∈I, f⁰(x)= u⁰(x) 2p

u(x).

Théorème 7 :

Dérivée de x7→f(x)=u(x)ⁿ

Soituune fonction définie, dérivable sur un intervalleIetnun entier naturel non nul.

La fonction f définie surI par f(x)=u(x)ⁿest dérivable surI et pour toutx∈I, f⁰(x)=n×u(x)ⁿ⁻¹×u⁰(x).

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Théorème 8 :

Cas général : Dérivée de x7→(g◦f)(x) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalleI.

Soitg une fonction définie et dérivable sur un intervalleJtel que pour toutx∈I alors f(x)∈J.

La fonctiong◦f est dérivable surI et pour toutx∈I: (g◦f)⁰(x)=f⁰(x)×g⁰(f(x))

Exemples :

• f(x)=p

5x+2 f⁰(x)=...

• f(x)=(5x+2)⁴ f⁰(x)=...

IV. Convexité

Définition :

Soient f une fonction définie sur un intervalleI etCf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

On dit que f estconvexesurI lorsqueCf est située en-dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection (corde).

Cf

Remarque :

On dit quef estconcavesurIlorsqueCf est située au-dessus de chacune de ses cordes.

Théorème 9 :

Soit f une fonction définie sur un intervalleIet deux fois dérivable surI.

Si f⁰⁰≥0 surIalors f est convexe surI.

Théorème 10 :

Soit f une fonction définie sur un intervalleIet deux fois dérivable surI.

On noteCf la courbe représentative de f.

Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : 1. f est convexe surI;

2. Cf est entièrement située au-dessus de ses tangentes ; 3. f⁰est croissante surI;

4. f⁰⁰est positive surI.

Cf

Définition :

Unpoint d’inflexionest un point où la courbe représentative d’une fonction traverse sa tangente.

Cf

Remarque :

Lorsque la courbe représentative d’une fonction admet un point d’inflexion, la fonction change de convexité : une fonction convexe devient concave ou inversement en ce point.