A.D´etectionderayonnementinfrarouge Probl`emen 1–Lest´elescopesinfrarouges Devoirsurveill´edeSciencesPhysiquesn 2du14-10-2021

Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

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2 du 14-10-2021

— Dur´ee : 4 heures —

Calculatrice interdite

Probl` eme n

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1 – Les t´ elescopes infrarouges

Centrale MP 2014 Ce sujet traite de l’observation, `a l’aide de t´elescopes, des rayonnements infrarouges provenant de l’espace. Ces rayonnements sont ´emis par des corps tels que des ´etoiles jeunes ou des poussi`eres froides. L’observation dans ce domaine de longueurs d’onde se heurte `a plusieurs difficult´es. D’une part, ces rayonnements sont fortement absorb´es par l’atmosph`ere. D’autre part, l’atmosph`ere et les instruments de mesure sont ´egalement sources de rayonnement infrarouge. On peut s’affranchir du probl`eme de l’atmosph`ere en embarquant le t´elescope sur un satellite et de l’´emission thermique de l’instrument en refroidissant les diff´erents ´el´ements `a l’aide de puissants syst`emes cryog´eniques. Cependant, les dimensions des t´elescopes en orbite ´etant limit´ees, leur r´esolution th´eo- rique est moins bonne que celle de certains t´elescopes au sol comme ceux du Very Large Telescope array (VLT) de l’European Southern Observatory `a Paranal au Chili qui b´en´eficient d’un ciel tr`es pauvre en vapeur d’eau et d’une atmosph`ere tr`es stable.

A. D´ etection de rayonnement infrarouge

Les rayonnements infrarouges sont d´etect´es par des instruments appel´es bolom`etres. Le principe de la d´etection repose sur la variation de la r´esistance d’un mat´eriau lors de son ´echauffement suite `a une absorption de rayonnement ´electromagn´etique. La figure 1 pr´esente le sch´ema de principe du bolom`etre ´etudi´e dans cette partie.

b b

R(T) Cth T(t) I

Courant

Rayonnement incident PuissanceΦi

Poutre de conductance thermiqueGth

Source froide `aTS

Figure1 – Sch´ema d’un bolom`etre

Le bolom`etre, de capacit´e thermique Cth, absorbe le flux ´electromagn´etique incident Φi suppos´e constant. Il poss`ede par ailleurs une r´esistance ´electrique R(T) fonction de sa temp´erature T suppos´ee uniforme et est parcouru par un courant d’intensit´eI. Le bolom`etre est reli´e m´ecaniquement et thermiquement `a une source froide maintenue `a la temp´eratureTS par des poutres de conductance thermiqueGth. On mesure les variations de la tensionV `a ses bornes lorsque la r´esistanceRvarie. La r´esistance ´electrique Rdu mat´eriau varie avec la temp´erature en suivant la loi lin´eaire :

R(T) =R0+αR0(T −TS)

o`uαet R0 sont des constantes caract´eristiques du mat´eriau. On supposeα <0.

G´en´eralit´es sur les d´etecteurs

1. Citer des d´etecteurs d’ondes ´electromagn´etiques utilis´es en travaux pratiques et le domaine des ondes

Principe du bolom`etre

Un montage ´electrique permet d’assurer dans le bolom`etre la circulation d’un courant ´electrique d’intensit´eI.

La temp´erature du bolom`etre ob´eit `a une ´equation diff´erentielle issue de l’application du premier principe de la Thermodynamique :

Cth

dT dt =X

k

Pk

o`u X

k

Pk repr´esente l’ensemble des puissances re¸cues (Pk > 0) et des puissances perdues (Pk < 0) par le bolom`etre. On indique que le bolom`etre perd la puissance suivante par conduction thermique `a travers la poutre :

Pth =Gth(T(t)−TS)

4.Montrer que la temp´erature du bolom`etre v´erifie l’´equation diff´erentielle suivante : τdT

dt +T(t) =β(Φi) o`uτ= Cth

Gth−αR0I² etβ(Φi) est une fonction de Φi que l’on d´eterminera.

5.Expliquer pourquoi un coefficientαn´egatif garantit la stabilit´e du fonctionnement du dispositif.

6.D´eterminer la temp´eratureTp(Φi) du bolom`etre qui re¸coit un flux Φi en r´egime permanent.

B. Un t´ elescope unitaire du VLT

Deux objets ponctuels `a l’infiniAetBsont observ´es dans les directions faisant des anglesiA= 0 etiB6= 0 par rapport `a l’axe optique. Les deux directions dans lesquelles on observe `a travers le t´elescope leurs images font respectivement les anglesi^′Aeti^′Bavec l’axe optique. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets ´emettent une unique radiation de longueur d’ondeλ= 2,00µm. Le t´elescope est constitu´e de deux miroirs sph´eriques, le miroir primaire qui re¸coit le rayonnement infrarouge en premier et le miroir secondaire. Il est r´egl´e de telle sorte qu’il soit afocal.

7.Qu’est-ce que signifie le terme afocal pour un syst`eme optique ? Proposer un sch´ema d’un syst`eme afocal r´ealis´e avec des lentilles minces.

8.Repr´esenter, sur le sch´ema pr´ec´edent, les faisceaux infrarouges issus des points Aet B. Expliquer grˆace `a ce sch´ema la notion de grossissementG du syst`eme afocal, c’est-`a-dire du t´elescope. Le t´elescope poss`ede un grossissementG= 6,4.

On admet que les ph´enom`enes de diffraction sont dus `a la limitation du faisceau lumineux par le miroir primaire de diam`etreD= 8,20 m. Ce miroir poss`ede une distance focalef1= 14,4 m.

9. En assimilant, pour simplifier, le premier miroir `a une simple lentille convergente de distance focale f1, d´eterminer l’ordre de grandeur du rayonR de la tˆache de diffraction (ou tˆache d’Airy) qu’on observerait sur l’image interm´ediaire form´ee par le miroir primaire d’un objet ponctuel `a l’infini envoyant une unique radiation de longueur d’ondeλ.

10.En d´eduire l’ordre de grandeur de l’ouverture angulaire ∆θ du faisceau image, d´efinie par le fait que les rayons ´emergent du t´elescope avec des anglesi^′_A±∆θeti^′_B±∆θpar rapport `a l’axe optique.

11. En pr´ecisant le crit`ere retenu, ´etablir la relation que doivent v´erifier les angles i^′_A et i^′_B pour pouvoir discerner les images form´ees par le t´elescope.

12.En d´eduire la valeur num´erique de la limite de r´esolution angulaireimin du t´elescope, c’est-`a-dire l’angle minimal entre deux ´etoiles pour que le t´elescope les discerne.

C. Le t´ elescope interf´ erentiel VLTI

Pour surmonter le probl`eme pr´ec´edent, on peut faire interf´erer les signaux optiques re¸cus par deux t´elescopes (voir le sch´ema de la figure 2).

superposition

des faisceaux

t´elescope 1 t´elescope 2

ligne `a retard

Figure2 – T´elescope interf´erentiel : principe du VLTI

On assimile les deux t´elescopes distants dea(variable jusqu’`a 100 m) `a deux trousT1etT2de taille n´egligeable, de sorte que le VLTI sera ´equivalent au montage de la figure 3, o`u la lentille d’axe optique Oz, de centre O poss`ede une distance focalef^′. Le foyer image de la lentille est not´eF^′et le plan focal est le plan d’observation.

T1et T2sont `a une distancea/2 de l’axe optique.

z

b

b F^′

x

T2

T1

O

Figure3 – Sch´ema ´equivalent du VLTI Observation d’une source ponctuelle dans la direction de l’axe optique

Un unique objet ponctuel `a l’infiniAest observ´e dans la direction de l’axe optique. Pour simplifier, on supposera encore que cet objet ´emet une unique radiation de longueur d’ondeλ= 2,00µm.

13.O`u se trouve l’image g´eom´etriqueA<sup>′</sup> deA`a travers la lentille ?

14.Calculer la diff´erence de marcheδ0 entre les ondes provenant deA et se recombinant enA^′, passant par les deux trousT1et T2.

15.En d´eduire le rˆole de la ligne `a retard de la figure 2.

Observation d’une source ponctuelle dans une direction diff´erente de celle de l’axe optique Un unique objet ponctuel `a l’infini B est observ´e dans la directioniB 6= 0 par rapport `a l’axe optique dans le planxOz avec les mˆemes caract´eristiques queA.

21.A quelle distance` xB deF^′ se trouve l’image g´eom´etrique deB?

22.D´eterminer l’expression de l’intensit´e lumineuseIB(x) en un point d’abscissex.

23.L’interfrange est-il diff´erent de celui trouv´e pr´ec´edemment ? Observation de deux sources ponctuelles

Deux objets ponctuels `a l’infiniA et B sont observ´es dans les directionsiA= 0 etiB 6= 0 par rapport `a l’axe optique dans le planxOz. Pour simplifier, on supposera que ces deux objets ´emettent une unique radiation de longueur d’ondeλ= 2,00µm et la mˆeme puissance lumineuse.

24.Ces deux sources sont-elles coh´erentes ? Justifier la r´eponse.

25.En d´eduire l’intensit´e lumineuseIA∪B(x) en un point d’abscissex.

26.Pour quelle(s) distance(s)aentre les deux t´elescopes y a-t-il brouillage des interf´erences ? On exprimera le r´esultat en fonction deiB.

27.Proposer alors une m´ethode de d´etermination exp´erimentale de l’angle entre les deux ´etoiles composant une ´etoile double.

28.Quelle est la valeur num´erique (en secondes d’arc) de la limite de r´esolution angulaireimin du VLTI ?

Probl` eme n

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2 – Audition humaine

Adapt´e X PC 2019 Nous nous proposons d’´etudier les principaux m´ecanismes qui entrent en jeu dans l’audition. L’oreille humaine se d´ecompose en trois parties, voir la figure 4, que nous allons ´etudier successivement. Les diff´erentes parties de ce probl`eme sont ind´ependantes et peuvent donc ˆetre trait´ees s´epar´ement. Certaines questions ne requi`erent aucun calcul : vous serez alors ´evalu´e(e) sur la qualit´e de votre argumentation et votre sens physique. Tout au long de ce probl`eme, les grandeurs physiques sinuso¨ıdalement oscillantes seront repr´esent´ees par une grandeur complexe not´eex(t) =Xmexp−iωt.

Figure4 – Sch´ema de l’oreille humaine

A. L’oreille externe : un pavillon acoustique

On consid`ere l’air comme un fluide initialement au repos, c’est-`a-dire tel que les champs de vitesse, de pression et de masse volumique s’´ecrivent :

~v(~r, t) =~0 P(~r, t) =P0 ρ(~r, t) =ρ0

En pr´esence d’une petite perturbation, ces champs deviennent :

~v(~r, t)6=~0 P(~r, t) =P0+p(~r, t) ρ(~r, t) =ρ0+ρa(~r, t)

On fera l’hypoth`ese de petites perturbations par rapport `a l’´equilibre, c’est-`a-dire p/P0 ≪ 1 et ρa/ρ0 ≪ 1.

On dit que l’on se place dans le cadre de l’approximation acoustique. Dans le cadre de cette approximation, on travaille toujours `a l’ordre le plus bas. On appelle vitesse particulaire la vitesse~v(z, t) =v(z, t)~ezd’une particule d’air d´eplac´ee par l’onde acoustique dans le mod`ele unidimensionnel ´etudi´e ici.

L’oreille externe se comporte comme un pavillon acoustique qui intercepte les ondes planes acoustiques se propageant dans l’air pour les amener jusqu’au tympan. Pour comprendre son utilit´e, nous mod´elisons l’oreille externe par un tuyau circulaire d’axez et dont la sectionS(z) varie en fonction de l’abscissez, voir la figure 5.

On s’int´eresse alors au volume d’air situ´e entre les abscisseszet z+ dz.

S(z)

1.Pour ´etablir l’´equation qui r´egit la propagation dans ce conduit, on suppose tout d’abord que les diff´erentes grandeurs physiques ne d´ependent spatialement que de la variablez. Dans quelle condition cette hypoth`ese sera v´erifi´ee ?

2. Dans ce cadre, quelles conditions une transformation thermodynamique doit-elle satisfaire pour pouvoir ˆetre consid´er´ee comme isentropique ? Nous nous placerons dor´enavant dans cette situation.

3. La compressibilit´e isentropique de l’air intervient dans l’´etablissement de l’´equation de propagation des ondes acoustiques. L’air est caract´eris´e par son coefficient de compressibilit´e isentropique d´efinit par :

χisentropique=−1 V

∂V

∂P

entropie

Etablir une nouvelle expression de la d´efinition de´ χisentropique=χ0 faisant intervenir la masse volumiqueρde l’air.

4.Dans le cadre de l’approximation acoustique d´efinie au d´ebut de l’´enonc´e, apr`es lin´earisation, ´etablir une relation entrep(z, t),ρa(z, t),ρ0et χ0.

5.L’´equation de conservation de la masse conduit `a : 1

S(z)

∂(ρ v S)

∂z +∂ρ

∂t = 0 Que devient cette ´equation dans le cadre de l’approximation acoustique ?

6.L’application de la relation de la Dynamique `a une tranche de fluide situ´ee entrez etz+ dzconduit `a : ρ∂v

∂t =−∂P

∂z

Quelle lecture faites-vous de cette ´equation ? Que devient-elle dans le cadre de l’approximation acoustique ? 7. A partir des ´equations pr´ec´edentes, obtenir l’´equation de propagation des ondes v´erifi´ee par la vitesse` particulaire,v, dans un tel conduit :

∂²v

∂t² −c² ∂

∂z 1

S

∂(S v)

∂z

= 0 o`uc²ρ0χ0= 1.

On consid`ere d´esormais que la section du conduit a un profil exponentiel du type :S(z) =S0exp−z δ. 8.Obtenir l’´equation d’onde v´erifi´ee par la vitesse particulaire dans cette g´eom´etrie.

9.Quelle diff´erence a-t-on par rapport `a une ´equation d’onde en espace libre dans un fluide parfait ?

10.Dans le cas du pavillon acoustique, ´etablir la relation de dispersion des ondes en cherchant une solution sous la forme v(z, t) = v0expi(kz−ωt) o`u le vecteur d’onde k est ´eventuellement complexe, que l’on notera k=k^′+ik^′′.

11.A quelle condition a-t-on une solution dont le vecteur d’onde est imaginaire pur ? Est-ce v´erifi´e pour les` fr´equences caract´eristiques de la parole (100 Hz - 1 kHz), dans le cas de l’oreille humaine o`u l’on consid`ere que la longueur caract´eristique du pavillon estδ= 5 mm ? On rappellecair = 340 m·s⁻¹.

12. On consid`ere une onde plane venant de z = −∞ dans ce conduit. Au niveau de l’entr´ee de l’oreille (z1≃ −30 mm), l’amplitude est celle du seuil de l’audition, soitv1= 50 nm·s⁻¹. ´Evaluer la vitesse particulaire

`a 1 kHz au niveau du tympan (z= 0) ?

13.Tracer l’allure de la solutionv(z, t) retenue pour la fr´equence de 1 kHz en fonction dez, `a l’instantt o`u cette vitesse est extr´emale.

14.Conclure quant au rˆole de l’oreille externe dans ce mod`ele.

B. L’oreille moyenne

Les cellules sensorielles de l’audition sont situ´ees dans l’oreille interne et baignent dans un milieu aqueux, alors que l’oreille externe est quant `a elle situ´ee dans l’air. Il faut donc que les ondes acoustiques a´eriennes soient transform´ees en ondes se propageant dans un milieu aqueux. Pour rappel :ρair = 1,25 kg·m⁻³,cair= 340 m·s⁻¹, ρeau= 1 000 kg·m⁻³et ceau= 1 500 m·s⁻¹.

On mod´elise l’oreille moyenne (`a gauche) par un syst`eme masse-ressort qui relie rigidement un piston du cˆot´e de l’oreille externe de sectionSt`a un autre piston du cˆot´e de l’oreille interne de sectionSc. On notex(t) l’abscisse de ce second piston `a l’instant t. Voir le sch´ema de la figure 6. La surpression par rapport `a P0, la pression atmosph´erique, estpt(t) du cˆot´e de l’oreille externe etpc(t) du cˆot´e de l’oreille interne.

Figure6 – Sch´ema de l’oreille moyenne

L’oreille moyenne se trouve typiquement `a une interface air/eau. Elle est constitu´ee du tympan et de l’enchaˆıne- ment de 3 osselets (marteau, enclume et ´etrier). Son fonctionnement peut ˆetre mod´elis´e par un syst`eme de type masse-ressort. L’oreille interne ´evolue dans l’eau pour laquelle on donne la d´efinition de l’imp´edance acoustique ainsi que son expression :

Z0= pc(t)

˙

x =ρeauceau= 1,5×10⁶kg· m⁻²· s⁻¹ 15.Proposer une analogie entre l’imp´edance acoustique et l’imp´edance en ´electricit´e.

16.Appliquer le principe fondamental de la Dynamique pour ´etablir l’´equation v´erifi´ee par le d´eplacement x(t) de l’extr´emit´e de l’´etrier (remarque : on consid`ere qu’`a la positionx= 0 la force exerc´ee par le ressort est nulle).

17.En d´eduire l’expression du gain en pressionG(iω) =p_c/p_tlorsque le syst`eme est excit´e en r´egime sinuso¨ıdal (x(t) =x0exp(−iωt)).

18.Mettre le gainG(iω) sous la forme canonique :

G(iω) = Gmax

1−iQ ω

ω0

−ω0

ω

o`u Q est le facteur de qualit´e, ω0 la pulsation de r´esonance du filtre. On exprimera Gmax en fonction de St= 70 mm²et de Sc= 3,3 mm² et on effectuera l’application num´erique.

19.Donner l’allure de la courbe|G(iω)|=G(ω) en d´ecibels pour Q= 0,5 etQ= 5. Conclure sur la nature du filtre. ´Etudier les comportements haute fr´equence et basse fr´equence.

20.De nombreux poissons sont d´epourvus d’oreille moyenne. Voyez-vous une explication ?