A.Untraˆıneausurlaglace Probl`emen 1–Glacearctique DevoirdeSciencesPhysiquesn 4du29-11-2021

Devoir de Sciences Physiques n

4 du 29-11-2021

— Solutions —

Probl` eme n

1 – Glace arctique

A. Un traˆıneau sur la glace

1. On consid`ere un petit morceau de corde de longueur infinit´esimale dx comprise entre les abscissesx et x+ dx de masse dmc =µcdxo`uµc est la masse lin´eique de la corde. Cette corde subit une force de tension exerc´ee `a sa gauche par le reste de la cordeT~g et une force de tension `a droite exerc´ee par l’autre partie de la cordeT~d. On ´etudie ce morceau de corde dans le r´ef´erentiel terrestre galil´een. On n´eglige le poids de la corde ainsi que tout autre force. On a donc µcdx~ac = T~g+T~d. On n´eglige la masse de la corde, doncµc ≃0 d’o`u T~g =−T~d. Si l’on applique le th´eor`eme du moment cin´etique au morceau de corde par rapport `a un point O origine du rep`ere attach´e au r´ef´erentiel terrestre, on a ^d_dt^~L =−−→OG∧T~g+−−→OD∧T~d =~0 car le moment cin´etique du morceau de corde est nul puisque l’on n´eglige sa masse :L~ =~0. Comme nous avons montr´e queT~g=−T~d, on en d´eduit que−−→

OG∧T~g+−−→

OD∧T~d=−−→

DG∧T~g=~0. Les vecteurs−−→

DGetT~gsont donc align´es. Par cons´equent, les tensions sont donc align´ees sur la corde. On va pouvoir poser : T~g =−T(x, t)~ex et T~d =T(x+ dx, t)~ex, ce qui va permettre d’´ecrire µcdx~ac =T(x+ dx, t)−T(x, t)~ex =~0. On a donc T(x, t) = T(x+ dx, t) = Tc. La

tensionTc exerc´ee par les chiens est transmise par la corde tendue au traˆıneau.

2.Dans le cas d’un mouvement horizontal, le poids est compens´e par la composante normale de l’action de contact, on aN =M g. La composante tangentielle de contact, oppos´ee au mouvement, est doncT =µdN = µdM g puisqu’il y a glissement. Si on effectue un mouvement ascendant d’un angleαavec l’horizontal, le poids n’est plus compens´e par la composante normaleN^′. On projette les forces sur la ligne de plus grande pente du plan parcouru et sur la perpendiculaire ce plan. Sur celle-ci, il n’y a pas d’acc´el´eration, on a doncN^′=N gcosα.

La composante tangentielle dirig´ee vers le bas de la pente estT^′ =µdN^′ =µdM gcosα. Cependant, il ne faut pas oublier que le poids poss`ede une composante sur la ligne de plus grande pente, dirig´ee elle-aussi, vers le bas : M gsinα. La force totale orient´ee vers le bas est doncTtot=µgM gcosα+M gsinα. On peut pr´esenter cette force selon la relation Ttot = (µdcosα+ sinα)M g. Finalement le mouvement ascendant d’angle αpeut ˆetre ´etudi´e comme si l’on avait affaire `a un mouvement horizontal avec un coefficient de frottement dynamique µ^′_d=µdcosα+ sinα. On pourra remarquer que si l’on revient `a l’horizontale en faisant α = 0, on retrouve bien le coefficient de frottement dynamiqueµd.

3.A l’horizontale et sans mouvement, on a une force de frottement tangentielle donn´ee par` µsM g. La force de traction avait que le traˆıneau d´emarre est F(v = 0) = F0. Pour arriver `a faire d´emarrer le traˆıneau, il est n´ecessaire d’avoirF0≥µsM g. La valeur minimale est donc : F₀^min=µsM g= 400 N .

4.On applique la relation de la Dynamique au traˆıneau dans le r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een. Le bilan des forces fait apparaˆıtre la force de traction F, la force de contact~ N~ +T~ et le poids N~ = M~g. Comme le traˆıneau glisse, on aT~ =−µgM g~expuisque la composante normale compense le poids `a l’horizontaleN =M g.

L’´equation diff´erentielle du mouvement projet´ee sur l’axe du mouvement donneM^dv_dt =−µdM g+F0−βv. On

´ecrit cela sous une forme traditionnelle : ^dv_dt+_M^βv= ^F_M⁰−µdg. Cette ´equation diff´erentielle poss`ede une solution g´en´erale de la formev1=Aexp−τ<sup>t</sup> avecτ =<sup>M</sup><sub>β</sub> et une solution particuli`ere - obtenue en r´egime stationnaire - v0= ^F0−µ_β^dMg. `A la datet= 0, on part sans vitesse. Cela permet de d´eterminer l’expression deA et d’arriver

`a v(t) = v0(1−exp−τ<sup>t</sup>). On est `a 5% de la valeur asymptotique lorsque t1 = 3τ. On a donc t1 = 3^M_β d’o`u β= <sup>3M</sup><sub>t1</sub> = 300 kg·s<sup>−1</sup> . `A partir de l’expression dev0, on peut en d´eduire la force de traction au d´emarrage : F0=βv0+µdM g= 1 150 N . On peut constater, heureusement, que cette valeur est sup´erieure au minimum que nous avions d´etermin´e `a la question pr´ec´edente.

5.On note~etle vecteur tangent `a la trajectoire qui porte la vitesse et~enun vecteur perpendiculaire `a ce dernier orient´e vers l’ext´erieur du cercle. Comme le mouvement est circulaire uniforme, l’acc´el´eration est seulement normale `a la trajectoire, on a~a =−^v

2 0

R~en. La relation de la Dynamique, toujours appliqu´ee au traˆıneau dans le r´ef´erentiel terrestre consid´er´e comme galil´een, est :M~a=M~g+N~ +F~ +T~. Le virage est pris sur un plan horizontal, on a doncN =M getT~ =−µdM g~et. La force de traction des chiens estF~ =−Fsinθ~en+Fcosθ~et. On en d´eduit queM^v

2 0

R =Fsinθ et Fcosθ=µdM g. On obtient les deux r´eponses voulues : tanθ= ^v

2 0

µdRg et T =

q

(^MV_R⁰²)²+ (µdM g)² .

B. Croissance hivernale de l’´ epaisseur de glace

6.On ´ecrit le bilan ´energ´etique de la tranche de glace comprise entre les abscissesz etz+ dz, on pr´ef´erera la notation dz`aδz. On a ^dE_dt =Pentre−Psort+Pcr´e´ee. Il n’y a, dans la glace, que de la conduction thermique sans terme de production local d’´energie, ni de disparition non plus :Pcr´e´ee= 0. On notejcond(z, t) le flux surfacique de transfert thermique enzetjcond(z+dz, t) celui enz+dz. On a doncµgSdzcg∂Tg

∂t =jcond(z, t)S−jcond(z+dz, t)S.

On arrive alors `a l’´equation locale du bilan ´energ´etique qui est une ´equation de conservation de l’´energie dans notre cas : ^∂j_∂z^cond +µgcg∂Tg

∂t = 0. Grˆace `a la loi deFourierde la conduction thermique, on ´ecrit~jcond(z, t) =

−λg∂Tg

∂z~ez. Cela conduit `a l’´equation de diffusion thermique : ^∂

2Tg

∂z² = ^µ_λ^gcg

g

∂Tg

∂t .

7. Par analyse dimensionnelle de l’´equation de diffusion thermique, on arrive _∆z¹² = ^µ_λ^g_g^cg_∆t¹ . La dur´ee ca- ract´eristique du ph´enom`ene de diffusion thermique sur une distance de ∆z est donc : ∆t=^µ_λ^gcg

g ∆z². Pour atteindre le r´egime permanent, il faut compter a minima quelques fois la dur´ee ∆t, il est pr´ef´erable, pour assurer, d’attendre une dur´ee grande devant ∆t.

8.Une r´esistance thermique se d´efinit en r´egime ind´ependant du temps. Elle ´evalue le rapport entre un ´ecart de temp´erature ∆T et la puissance thermique Pth traversant le milieu conducteur en raison de cet ´ecart de temp´erature : Rth = ^∆T_P

th. Ici, on a affaire `a un solide - la glace - et un liquide - l’eau - que l’on assimilera `a un solide comme l’´enonc´e nous y invite. Cela signifie que l’on oublie les ph´enom`enes de convection qui sont de nature `a modifier les transferts thermiques. En r´egime permanent, l’´equation de diffusion thermique devient

d²Tg

dz² = 0 ce qui signifie queTgest une fonction affine dez. On choisitz= 0 `a l’endroit o`u l’eau `aT0= 0<sup>◦</sup>C sous la glace, on noteTsla temp´erature de la glace `a son sommet comme le fait l’´enonc´e `a la question suivante. . . On a donc Tg(z) =T0+ (Ts−T0)_z^z

g. Ici, on consid`ere que l’´evolution de zg au cours du temps est suffisamment lente pour que l’on puisse se placer en r´egime permanent et continuer `a d´efinir une r´esistance thermique. On dit que l’on est en r´egime quasi-permanent. On a doncjcond=λgT0−Ts

zg , la puissance est le flux de la densit´e de courant de transfert thermique sur la surfaceS, on a Pth = ^λgS_zg (T0−Ts). La r´esistance thermique est donc :

Rg= _λ¹_g^zg_S^(t) . La r´esistance thermique de conduction dans l’eau est de la mˆeme forme : Re= _λ¹_eS^e . 9.La puissance estPth=hS(Ts−T2), la r´esistance thermique est imm´ediatement : Ri=_hS¹ .

10.On consid`ere une ´epaisseur dzg d’eau qui g`ele sur une surface S, cela repr´esente une masseρgSdzg. Ce changement d’´etat lib`ere de l’´energie que l’on peut mettre sous le titre d’´energie cr´e´ee localement `a l’endroit o`u l’eau g`ele : dEcr =lfρgSdzg. La puissance produite au niveau de la couche de solidification de l’eau est :

Φ =ρgSlfdzg

dt . On peut observer que l’´enonc´e n’attend pas la pr´esence deSdans l’expression de Φ. Cela n’est pas dramatique, tout d´epend si l’on raisonne par unit´e de surface ou bien pour une surface S. Sur ce plan, l’´enonc´e n’est pas tr`es clair. Mais comme dans le sch´ema, on voit figurer les r´esistances ´evalu´ees avantRe,Rget Ri et qu’elles l’ont ´et´e pour une surfaceSde banquise, on garderaS dans l’expression de Φ. Le sch´ema propos´e par l’´enonc´e est adapt´e puisqu’un courant d’´energie provient de la solidification de l’eau liquide par le biais de Φ, ce courant vient s’additionner `a celui qui provient de l’eau chaude - si l’on peut dire `a 4<sup>◦</sup>C - `a travers la r´esistanceRe. Ces deux courants traversent ensuite les r´esistancesRg et Ri pour ˆetre capt´es par l’air froid `a

−40^◦C. Le dispositif ne pr´elevant aucun courant et imposant la temp´eratureT0= 0^◦C fait immanquablement penser `a un amplificateur op´erationnel id´eal. Le parall`ele peut ˆetre r´ealisable car le changement d’´etat isobare s’effectue `a une temp´erature fix´ee `a 0^◦C ce qui est acceptable mˆeme si cela ne se produit que sous la pression de 1 bar avec de l’eau pure. . . .

11. On ´etablit l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par zg(t) en effectuant un bilan d’´energie en puissance sous la forme de la loi de nœuds en terme de potentiel (th´eor`eme de Millmann) : Φ +^T1_R^−T0

e +_R^T2−T0

g+Ri = 0. Avec la condition propos´ee par l’´enonc´e, on constate que Re ≫ Rg+Ri. Dans la loi pr´ec´edente, on peut n´egliger la contribution du terme venant de l’eau `a T1 = 4<sup>◦</sup>C pour ´ecrire apr`es avoir simplifier par la surface S : ρglfdzg

dt + ^Tzg^2−T0

λg+_h¹ = 0. On peut encore ´ecrire cette ´equation diff´erentielle sous la forme : zgdzg + ^λ_h^gdzg =

λg(T0−T2)

ρglf dt. On peut int´egrer facilement entre prenantzg= 0 `a la datet= 0. On a doncz_g²+^2λ_h^gzg= ^2λg(T_ρg⁰_l^−T2)

f t.

Il faut maintenant ´ecrire correctement cette ´equation par rapport `a la forme propos´ee par l’´enonc´e. On pose donc obligatoirement ℓg=^2λ_h^g . On a doncz_g²+ℓgzg= ^2λg(T_ρg⁰_l⁻_f^T2)t=ℓ²_gτ^t_g. On peut donc en d´eduire l’expression du temps caract´eristique : τg= _h^2λ2(T^g0^lf−^ρT^g2) .

12.Il est pr´ef´erable d’´ecrire l’´equation d’´evolution de l’´epaisseur de glace sous la forme _z

g

ℓg

2

+^z_ℓ^g_g =_τ^t_g . L’allure de l’´evolution de l’´epaisseur de la couche de glace est fournie `a la figure 1.

zg

t

b bb

bℓg

2τg

0

Figure1 – ´Evolution de l’´epaisseur de la couche de glace

On peut distinguer deux r´egimes de croissance de la couche de glace. Tout d’abord si zg ≪ℓg alors, on peut

´ecrire quezg≃ℓg t

τg, la croissance est lin´eaire avec le temps. `A l’oppos´e sizg≫ℓgalorszg≃ℓg

qt

τg, l’´evolution de la couche de glace est plus lente.

Probl` eme n

2 – Excitation d’un pendule

A. Excitation param´ etrique d’un pendule simple

1. Le pendule peut ˆetre consid´er´e comme un pendule simple si l’on peut n´egliger la masse de la barre par rapport `a la massemsitu´ee `a son extr´emit´e. En particulier, son moment d’inertie s’exprimera alors parJy=mℓ². Le calcul de son moment cin´etique s’effectuera `a l’aide de l’expression pour un point mat´eriel. Si on le calcule en A, cela donne : ~LA =−−→

AM∧m~vM tout en prenant de soin de d´efinir le r´ef´erentiel dans lequel on l’´evalue, r´ef´erentiel qui est celui dans lequel la vitesse~vM est elle-mˆeme d´efinie. Afin que le moment cin´etique du pendule soit le plus proche possible de celui d’un point, il faut encore que la taille caract´eristique de la masse m soit petite devant la longueur de la barre du pendule.

2.Dans la situation o`u le pointAest immobile dans le r´ef´erentielR⁰, on travaille dans un r´ef´erentiel galil´een.

La vitesse deM est alors~vM/R0 =ℓθ ~τ. Avec˙ −−→AM =ℓ ~n, on trouve~LA/R0=mℓ²θ~e˙ y. Les forces s’exer¸cant sur M sont l’action de la barreR~ de direction donn´ee par−−→

M A et le poids m~g. Le th´eor`eme du moment cin´etique s’´ecrit <sup>d~LA/</sup><sub>dt</sub><sup>R0</sup> =−−→AM∧(R~+m~g) =−−→AM∧m~gpuisqueR~ est colin´eaire `a−−→AM. Commem~g=mg(cosθ~n−sinθ~τ), on obtient facilement, en projection sur l’axeAy, l’´equationmℓ²θ¨ =−mgℓsinθ. L’´equation diff´erentielle est donc ¨θ+ω²₀sinθ= 0 o`u l’on a pos´eω₀²=g/ℓ.

3.Les oscillations dans la limite des petits angles correspondent au cas o`u l’on peut se contenter d’un d´evelop- pement limit´e au premier ordre de sinθ≃θ. L’´equation diff´erentielle devient celle d’un oscillateur harmonique : θ¨+ω²₀θ= 0. La p´eriode des oscillations estT0= ^2π_ω0 = 2πq

ℓ

g. Avec les valeurs fournies, on trouve T0= 0,89 s . 4.Le plus simple est de travailler dans le r´ef´erentielR1 qui n’est plus galil´een puisque son origineAposs`ede un mouvement a priori acc´el´er´e par rapportR0. CommeR1 poss`ede un mouvement de translation par rapport

`aR0, on a~ωR<sub>1</sub>/R<sub>0</sub>=~0. Par cons´equent, la force d’inertie de Coriolisest nulle, il suffit de prendre en compte la force d’inertie d’entraˆınement qui a pour d´efinition f~ent = −m~aent o`u ~aent = ~aMc/R₀ avec Mc un point coincident avecM `a une date quelconque, attach´e au r´ef´erentielR<sup>1</sup>. Comme le mouvement deR<sup>1</sup>par rapport `a R⁰est une translation rectiligne d’acc´el´eration ¨h~ez,Mcposs´edera aussi cette acc´el´eration par rapport `aR<sup>0</sup>. La th´eor`eme du moment cin´etique devient donc ^dL~A/_dt^R1 =−−→AM∧(R~+m~g−m~aent) =−m(g−¨h) sinθ~ey. L’´equation diff´erentielle du mouvement devient alors ¨θ+ω²₀sinθ−^¨h_gsinθ= 0. L’´enonc´e propose de poser ¨h=Gg o`u l’on n’oubliera pas queG=G(t) est une fonction du temps. Finalement, l’´equation du mouvement du pendule est :

θ¨+ω₀²(1−G(t)) sinθ= 0 .

5. On applique le principe fondamental de la Dynamique dans le r´ef´erentiel R⁰ soumis `a deux forces, son poids et la r´eaction d’axe : m ^d2

−−→ OM dt²

_/R

0

=R~ +m~g. Il faut donc exprimer l’acc´el´eration de M dans R0. On a −−→

OM = h~ez+ℓcosθ~ez+ℓsinθ~ex. On calcule la vitesse ~vM/R₀ = ( ˙h−ℓθ˙sinθ)~ez+ℓθ˙cosθ~ey. On passe `a l’acc´el´eration~aM/R0 = (¨h−ℓθ¨sinθ−ℓθ˙²cosθ)~ez+ (ℓθ¨cos−ℓθ˙²sinθ)~ex. En isolantR, en projetant le poids, on~ obtient dans un premier temps R~ =−mg[(1−G+_ω^θ¨2

0 +Ucosθ)~ez+ (−_ω^θ¨2₀cosθ+Usinθ)~ex]. Pour conclure,

il faut encore utiliser l’´equation diff´erentielle du mouvement pour utiliser le fait que _ω^θ¨2

0 =−sinθ(1−G). On arrive `a l’expression : R~ =−mg[((1−G) cos²θ+Ucosθ)~ez+ ((1−G) sinθcosθ+Usinθ)~ex] .

6.Les d´eveloppements limit´es propos´es conduisent `a ´ecrire que sinθ≃θet cosθ≃1−<sup>θ</sup><sub>2</sub><sup>2</sup>. Pour rester `a l’ordre indiqu´e par l’´enonc´e, on doit ´ecrire que sinθcosθ≃θet que cos²θ≃1−θ². On aU θqui est d’ordre 3 puisqueU est d´ej`a d’ordre 2. L’expression deR~ ´evolue pour devenir : R~ =−mg[((1−G)(1−θ<sup>2</sup>) +U)~ez+ (1−G)θ)~ex] . 7. La puissance instantan´ee P(t) que l’op´erateur agissant sur le pivotA fournit au pendule est donn´ee par P(t) = R~ ·~vA/R<sub>0</sub> = R~ ·h~e˙ z. Avec le travail effectu´e `a la question pr´ec´edente, on arrive bien `a l’expression :

P(t) =−mg

(1−G)(1−θ²) +Uh˙ .

8.On aθ² =A²sin²ω0t et ˙θ²=A²ω²₀cos²ω0t ce qui est ´equivalent `aU =A²cos²ω0t. On n´egligeGdevant 1 dans l’expression pr´ec´edente de la puissance, on remplace par l’expression propos´ee avec ˙h=aΩ cos(Ωt+φ).

On arrive `a l’expression P(t) =−mgaΩ(1 +A²cos 2ω0t) cos(Ωt+φ) .

9. Avant de proc´eder au calcul de la moyenne, il faut d´evelopper le produit des fonctions sinuso¨ıdales. En d´eveloppant, on a affaire `a trois termes. Le premier est en cos(Ωt+φ) dont on doit calculer la moyenne sur l’intervalle [t+t+T0[ avec T0 = 2π/ω0 ∀t. La moyenne sera nulle en g´en´eral puisque le calcul s’effectue sur une dur´ee longue devant la p´eriode propre de cette fonction sinuso¨ıdale. La second terme sera de la forme

A²

2 cos((Ω + 2ω0)t+φ). De la mˆeme fa¸con que pour la pr´ec´edente fonction, la moyenne sera nulle, en g´en´eral.

Il reste le terme ^A₂²cos((Ω−2ω0)t+φ), on peut conclure, un peu rapidement, que la moyenne de ce terme sera aussi nulle en g´en´eral. Ce serait toutefois oublier qu’un cas particulier peut se produire `a savoir Ω = 2ω0 . Dans ce cas ce terme devient <sup>A</sup><sub>2</sub><sup>2</sup>cosφ: il ne d´epend pas du temps. Il est donc ´egal `a sa moyenne quel que soit l’intervalle de temps de calcul. On a donc une expression de la puissance moyennePm(t) =−^mgaA₂ ^2Ωcosφ. Pour transf´erer une puissance maximale au pendule, il faut que cosφ=−1 et donc φ=π. La puissance moyenne optimale est alors : P_m^∗ =mgaω0A² .

10.On aura deux termes suppl´ementaires `a ´evaluer. Le premier estGh˙ =−^a2g^Ω2cos(Ωt+φ) sin(Ωt+φ) =

−^a22g^Ω2sin 2(Ωt+φ). La moyenne de ce terme sera de toute ´evidence nulle. Enfin, il y a encore le termeGθ˙²h. Il˙ contiendra des termes de pulsation 2(Ω +ω0) = 6ω0 et 2(Ω−ω0) = 2ω0. Sur la p´eriodeT0 correspondant `a la pulsationω0, les moyennes seront nulles. Le terme n´eglig´e a une contribution nulle `a la puissance moyenne.

11. On travaille sur des dur´ees grandes devant l’´evolution p´eriodique du pendule. On peut raisonner uni- quement sur l’effet de la puissance moyenne calcul´ee `a la question pr´ec´edente. On pose θ(t) = A(t) sinω0t et une vitesse assimil´ee `a ˙θ = A(t)ω0cosω0t. La vitesse angulaire maximale obtenue lorsque l’amplitude du mouvement du pendule est A(t) est donc approximativement A(t)ω0, l’´energie cin´etique maximale du pen- dule associ´ee est donc Ec,max = ¹₂mℓ²A²(t)ω²₀ = ¹₂mgℓA²(t). Si l’amplitude du pendule augmente, c’est en raison de la puissance moyenne qui lui est fournie. Nous allons donc ´ecrire le th´eor`eme de la puissance ci- n´etique en valeur moyenne si l’on peut dire : <sup>dEc,max</sup><sub>dt</sub> = P<sub>m</sub><sup>∗</sup>. On obtient mgℓA(t)<sup>dA</sup><sub>dt</sub> = mgaω0A<sup>2</sup>(t). Cela conduit `a l’´equation diff´erentielle ^dA_dt = ^a_ℓω0A(t). La solution de cette ´equation diff´erentielle est de la forme A(t) =A0exp^a_ℓω0t=A0exp^2πa_ℓT0t=A0exp_τ^t_A. La dur´ee caract´eristique qui apparaˆıt dans l’´evolution de A(t) est donc :τA=T0 ℓ

2πa. Le rapport demand´e est : ^T_τA⁰ = ^2πa_ℓ .

12. On peut raisonner sur une dur´ee pendant laquelle l’amplitudeA(t) est doubl´ee. Si c’est le cas alors la dur´ee est telle que ∆t =τAln 2. On rep`ere sur la figure le maximum `a environt2 = 28 s, on cherche la date `a laquelle on a une amplitude moiti´e de la pr´ec´edente, on trouve que cela correspond `a une datet1= 22 s. On a doncτAln 2 = 6 s. On en d´eduit queτA≃8,5 s. Pour l’estimation deT0, on compte les p´eriodes des oscillations sur 10 s par exemple, on en trouve. On a donc 12T0≃10s. Cela signifie queT0≃0,83 s. Finalement, on obtient

T0

τA ≃10¹ .

13.L’hypoth`ese Hτ est acceptable mais c’est la limite basse de l’acceptabilit´e , il aurait ´et´e pr´ef´erable que le rapport soit plus petit.

14.Apr`es la phase de croissance attendue, il apparaˆıt un infl´echissement puis une phase de d´ecroissance. Cet effet est la cons´equence du poids qui prend de plus en plus d’importance lors θ augmente. Dans notre ´etude, nous avons lin´earis´e pour des petits angles. Le poids est responsable du terme de moment−mgℓsinθque nous avons lin´earis´e. De plus, nous avons calcul´e sur la puissance moyenne calibr´ee pour avoir un effet maximum avec un d´ephasage deφ=π, cela ne sera plus possible de maintenir cet accord compl´et´e par la condition sur la pulsation Ω = 2ω0. L’apport d’´energie ne sera pas effectu´e au bon moment. Il faudrait adapter l’´evolution du

pointAau cours du temps en fonction de l’´evolution de l’amplitude du pendule. C’est ce que l’on fait avec une balan¸coire d’ailleurs et c’est l’objet de la question suivante.

15.Il faut voir que l’on veut apporter `a chaque demi-p´eriode de l’oscillation du pendule de l’´energie. L’´energie cin´etique du pendule est maximale pour θ= 0, c’est-`a-dire quand il se situe `a la verticale. Si `a ce moment l`a, on fait brutalement diminuer la longueur du pendule, on le fait monter dans le champ de pesanteur. On lui donne donc de l’´energie potentielle de pesanteurmg∆ℓen notant ∆ℓ >0 le raccourcissement de la longueur du pendule. L’´energie m´ecanique du pendule augmente donc de ∆Em,1=mg∆ℓ. Lorsqu’ensuite le pendule atteint son angle maximal θmax, on rallonge la longueur du pendule de ∆ℓ. On consid`ere que l’on diminue l’´energie potentielle de pesanteur du pendule de−mg∆ℓcosθmaxen supposant que l’allongement s’effectue dans la direc- tion radiale rapidement lorsque le pendule est au voisinage de la positionθmax. Son ´energie m´ecanique diminue de ∆Em,2 = −mg∆ℓcosθmax. Sur l’ensemble des deux op´erations, le pendule a gagn´e l’´energie m´ecanique

∆Em=mgℓ(1−cosθmax)>0 . Quand il repassera par la verticale son ´energie cin´etique sera plus grande que la fois pr´ec´edente, il montera ensuite plus haut pour atteindre un nouvel angle maximal θ^′_max > θmax. C’est la mˆeme chose qui se produit lorsqu’un sonneur de cloches d´emarre les oscillations des cloches dans une ´eglise, il doit bien synchroniser ses actions `a la p´eriode d’´evolution du pendule. On retrouve aussi ce probl`eme avec les mouvements des jambes sur une balan¸coire pour gagner de l’amplitude de fa¸con autonome. Dans ce cas, en changeant la position des jambes, on modifie la position de son centre d’inertie G, ce qui revient `a modifier la longueur ℓ de notre pendule. L`a encore, une bonne synchronisation est indispensable. C’est ce que peine `a comprendre un tr`es jeune enfant qui va appr´ecier qu’un de ses parents le pousse dans le dos `a chaque p´eriode.

Ceci jusqu’`a ce qu’il ait un peu plus envie de se d´etacher de ses parents, de prendre son envol. . . avec les risques que cela comporte !

B. Stabilisation dynamique : pendule invers´ e

16.On peut rep´erer ais´ement les valeurs initiales des angles sur chacun des graphiques. La condition initiale CI1 correspond `a graphique de gauche alors que la condition initiale CI2 `a celui de droite. Les ´evolutions sont domin´ees par une basse fr´equence d’amplitude importante modul´ee par une haute fr´equence d’amplitude plus petite. On peut aussi constater que la valeur moyenne du graphique de CI1 est nulle, il s’agit d’oscillations autour de la position d’´equilibre naturelle du pendule. Dans le second cas, la valeur moyenne de l’angle estπ, on a des oscillations autour de la position d’´equilibre qui est instable lorsque le pendule pensant n’est pas excit´e.

L’´etude de ce mouvement est d’ailleurs celle que l’on va effectuer dans la seconde partie de ce probl`eme.

17. La p´eriode d’excitationTex = 2π/Ω apparaˆıt dans les oscillations rapides. On trouve, en comptant les p´eriodes, queT0= 16Text. On en d´eduit que Text≃56 ms .

Analyse qualitative

18.L’´equation diff´erentielle aura des solutions oscillantes autour de l’angleπsi cette valeur deθ correspond

`a un ´equilibre stable. On constate que pourθ=π, on a sinθ= 0 et donc ¨θ= 0 . Il y a bien un ´equilibre mais cela ´etait aussi le cas du pendule traditionnel. Il faut encore prouver que cet ´equilibre peut ˆetre stable. On pose θ=π+ε. On a alors sin(π+ε) =−sinε. L’´equation diff´erentielle du pendule est alors ¨ε−ω₀²(1 +G0sinψ)ε= 0.

Pour qu’il y ait des oscillations, il faut que le facteur 1 +G0sinψ soit n´egatif. Mˆeme s’il ne l’est pas tout le temps, il faut que cette possibilit´e existe. Comme sinψ = sin(Ωt+φ), il faut donc que G0 = ^aΩ_g² > 1. La condition ^aΩ_g² ≫1 serait nettement plus appropri´ee. Cela explique que l’excitation envisag´ee par l’´enonc´e soit de fr´equence ´elev´ee et donc que Ω soit ´elev´e pour esp´erer voir des oscillations autour de cette position d’´equilibre.

Il est donc possible d’envisager des oscillations autour deθ=π.

19.Par le th´eor`eme du moment cin´etique, on sait que <sup>dL</sup><sub>dt</sub> =mℓ<sup>2</sup>θ¨correspond `a la somme des moments des forces qui fait, ici, l’objet de la question. Nous allons noter Γ cette somme de moments. On a donc Γ =mℓ²θ.¨ D’apr`es l’´equation diff´erentielle du mouvement fournie par l’´enonc´e, on a ¨θ =−ω₀²(1 +G0sinψ) sinθ. On en d´eduit que Γ =−mℓ²ω₀²(1+G0sinψ) sinθ. On a donc Γ =−Γ^∗(1+G0sinψ) sin(θ0+θ1). On peut d´evelopper pour

´ecrire que sin(θ0+θ1) = sinθ0cosθ1+ cosθ0sinθ1. Commeθ1 ≪1, on va pouvoir effectuer un d´eveloppement limit´e pour ´ecrire que sin(θ0+θ1)≃sinθ0+θ1cosθ0 en consid´erant que le premier ordre et donc en ´ecrivant sinθ1≃θ1 et cosθ1≃1. On peut donc ´ecrire que Γ =−Γ^∗(1 +G0sinψ)(sinθ0−ε1sinψcosθ0). On ´evalue les deux valeurs particuli`eres du moment : Γ−π/2=−Γ^∗(1−G0)(sinθ0−ε1cosθ0) et Γπ/2=−Γ^∗(1 +G0)(sinθ0+ ε1cosθ0). En calculant la demi-somme de ces deux moments, on arrive au couple moyen fonction de θ0 :

Γ(θ0) =−Γ^∗(sinθ0+G0ε1cosθ0) .

20.Pourθ0 ∈]π/2;π[, le moment du poids est n´egatif. Il tend `a faire retomber le pendule versθ = 0. Pour contrebalancer cet effet, il faut donc que le couple total que subit le pendule soit positif. Pour avoir Γ(θ0)>0, on doit n´ecessairement avoir sinθ0+G0ε1cosθ0<0 .

21.Pla¸cons-nous pour ^π₂ < θ0< π. On a donc sinθ0>0 et cosθ0<0. La condition de la question pr´ec´edente

conduit `aG0ε1cosθ0<−sinθ0. En divisant parG0cosθ0<0, on obtientε1>−G¹0tanθ0. Or, ici−tanθ0>0.

On vient donc bien de voir que sur l’intervalle d’angle envisag´e ε1 est une fonction positive . Si l’on se place maintenant pour π < θ0 < ^3π₂ , on est pass´e de l’autre cˆot´e de la verticale, le poids va entraˆıner le pendule

`a continuer `a tourner dans le mˆeme sens pour rejoindre son point bas. Le moment du poids ´etant positif, il faut que le moment total devienne n´egatif. La condition est donc que sinθ0+G0ε1cosθ0 > 0. On a donc ε1G0cosθ0 >−sinθ0. On a toujours cosθ0 <0, en divisant on passe `a l’in´egalit´eε1 <−_G¹0tanθ0 mais avec, maintenant, tanθ0 >0. Cela montre clairement que ε1 <0. La fonction doit donc bien changer de signe au passage deθ0 par la valeurπ.

Interpr´etation ´energ´etique

22.Sur la figure propos´ee, on peut voir que ℓcosα = OMsinα0+havec h =asinψ mais aussi ℓcosα= OMcosα0. Cela permet donc d’´ecrireℓsinα=ℓtanα0cosα+h. Par la d´efinition des angles propos´es, on peut constater que tanα0 = −_tan¹_θ0. De plus, α = θ0+θ1− ^π₂. On peut donc ´ecrire que cosα = sin(θ0+θ1) et sinα = −cos(θ0+θ1). La relation ´etablie avant devient −ℓcos(θ0+θ1) = −ℓ^cos_sinθ^θ0₀sin(θ0+θ1) +h. Il faut maintenant d´evelopper les fonctions sinuso¨ıdales somme des angles θ0 et θ1 : cos(θ0+θ1) = cosθ0cosθ1− sinθ0sinθ1= cosθ0−θ1sinθ0en d´eveloppement limit´e au premier ordre. Pour l’autre terme, on a sin(θ0+θ1) = sinθ0cosθ1+ cosθ0sinθ1= sinθ0+θ1cosθ0. Apr`es simplification, on obtientθ1=<sup>h</sup><sub>ℓ</sub>sinθ0 ce qui correspond `a la formule attendue : θ1=^a_ℓsinθ0sinψ.

23.Avec la forme de solution pour l’angleθ, on obtient l’´equation diff´erentielle ¨θ0+ ¨θ1+ω₀²(1+G0sinψ) sin(θ0+ θ1) = 0. On utilise, une nouvelle fois, le fait que sin(θ0+θ1) = sinθ0+θ1cosθ0. On introduit cette relation dans l’expression de l’´equation diff´erentielle et on utilise aussi celle deψ. On obtient alors ¨θ0+ ¨θ1+ω₀²[sinθ0+ G0sinθ0asin(Ωt+φ)+^a_ℓcosθ0sinθ0sin(Ωt+φ)+G0a

ℓcosθ0sinθ0sin²(Ωt+φ)]. On passe `a la moyenne temporelle sur la p´eriodeTex= 2π/Ω. Sur cette dur´ee de r´ef´erence, ¨θ0est suppos´ee peu variable, elle est trait´ee comme une constante.hθ¨1i= 0. En effet, la primitive de ¨θ1est ˙θ1et comme celle-ci prend la mˆeme valeur aux deux dates du calcul qui sont s´epar´ees d’une p´eriode, la moyenne est bien nulle. Ensuite, il est ´evident quehsin(Ωt+φ)i= 0 et hsin²(Ωt+φ)i= ¹₂. Avec sin 2θ0= 2 sinθ0cosθ0, on obtient l’´equation diff´erentielle ¨θ0+ω²₀(sinθ0+^G_4ℓ^0asin 2θ0) = 0. On peut identifier avec la forme propos´ee par l’´enonc´e : Q= ^G_4ℓ^0a. Nous avons vu que G0 = ^aΩ_g², on peut donc conclure avec les variables souhait´ees : Q=¹₄ ^a_ℓ2

Ω ω0

2

.

24.L’´equation diff´erentielle obtenue pr´ec´edemment est raisonnable parce que si l’on effectue a= 0 , c’est-`a- dire si l’on revient au pendule pesant libre, on retrouve l’´equation diff´erentielle ¨θ+ω²₀sinθ= 0.

25.On multiplie l’´equation diff´erentielle fournie par ˙θ0. On obtient ˙θ0θ¨0+ω²₀( ˙θ0sinθ0+Qθ˙0sin 2θ0) = 0. On peut exprimer des primitives de chaque facteur et obtenir : ¹₂θ˙₀²+ω₀²(−cosθ0−^Q₂ cos 2θ0) = Cte. En multipliant parmℓ², on obtient l’´energie cin´etique du pendule ¹₂mℓ²θ˙²₀, l’autre terme ´etant ´evidemment l’´energie potentielle.

La somme - constante - correspond `a l’´energie m´ecanique. On a doncEc−mgℓ(cosθ0+^Q₂ cos 2θ0) = Cte^′. Avec le choix de l’origine des potentiels pour θ0 = 0 et Q= 0, on trouve que la forme de l’´energie potentielle est Eef f = mgℓ(1−(cosθ0+ ^Q₂cos 2θ0)). On peut en d´eduire l’expression de E_{ef f}^∗ = mgℓ = mω²₀ℓ² et celle de f(θ0) : f(θ0) = 1−(cosθ0+^Q₂ cos 2θ0) .

26. On utilise le graphique de la figure 2. On place le point initial `a θ0 = <sup>2π</sup><sub>5</sub>, c’est un point d’´elongation maximale puisqu’il n’y a pas de vitesse initiale. On raisonne sur le graphique en utilisant le fait queEc+Eef f = Cte avec Ec > 0. Les seuls angles accessibles au pendule sont ceux qui sont compris entre les deux points d’intersection de la valeur de l’´energie m´ecanique et de l’´energie potentielle. Sur le graphique, on voit que cela correspond bien `a une oscillation du pendule autour de θ0 = 0. On se reportera au graphique de la figure 2. Avec la seconde condition initiale (l’´energie m´ecanique n’est plus la mˆeme, elle est plus grande), on est maintenant confin´e dans une oscillation autour de π comme cela ´etait pr´evu au d´epart. On peut voir l’influence des conditions initiales comme cela a ´et´e ´evoqu´e d`es le d´ebut de l’´etude, ces conditions vont d´eterminer le puits de potentiel dans lequel le pendule sera pi´eg´e pour son mouvement. Dans la mod´elisation simplifi´ee que l’on a mis en place, il n’y a que 2 puits de potentiel possibles. La sensibilit´e aux conditions initiales n’est pas tr`es importante autour deθ0= 0 et autour deθ0=π, par contre `a proximit´e du sommet qui s´epare les deux puits, on peut facilement basculer d’un cˆot´e ou de l’autre.

27.Grˆace aux ´echelles du graphique, nous allons d´eterminer la valeur deQ. Le minimum du graphique est obtenu en θ0 = 0 et on lit f(θ0)≃0,9. On peut donc en d´eduire que 1−1−^Q₂ =−0,9 ce qui nous permet d’avoirQ= 1,8. Pour discuter de la p´eriode des oscillations, il faut ´evaluer le facteur sinθ0+^Q₂ sin 2θ0. Pour les conditions initiales CI1, on trouve qu’il vaut environ 1,5. Pour l’autre cas, on trouve 0,4. Cela revient donc

θ0/π

b b b b b b b

bbb

−1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2

−1 0 1 2

Eeff/E∗ eff

CI1

CI2

b

b b b

Figure2 – Repr´esentation graphique de la fonctionf(θ0).

dans le premier cas `a avoir une pulsation caract´eristique deω0√

1,5 alors que dans le second cas c’est plutˆot ω0√

0,4. La pulsation ´etant plus grande pour le premier cas, sa p´eriode sera plus petite : T1< T2 .

28. On effectue le changement de variable θ0 = π+ε. On obtient alors facilement l’´equation diff´erentielle

¨

ε+ω²₀(−sinε+Qsin 2ε) = 0 que l’on peut encore faire ´evoluer en ¨ε+ω₀²sinε(2Qcosε−1) = 0. Il y aura des oscillations lorsque le facteur 2Qcosε−1>0 quelle que soit la valeur deε. Cekla revient `a ´ecrire que 2Q >1.

On d´efinit donc une valeur critique du facteurQqui est : Qc= ¹₂ .

29.Nous avons calcul´e pr´ec´edemment Q= 1,8, on peut donc voir que l’on a bien Q > Qc .

30.Autour deθ0=π, on peut envisager des oscillations de petites amplitudes et donc telles queε≪π. On

´ecrit alors sinε≃εet cosε≃1. L’´equation diff´erentielle devient ¨ε+ω₀²(2Q−1)ε= 0. Cela permet de d´efinir la pulsation ω_b^∗=ω0√

2Q−1 . Si l’on travaille autour deθ0 = 0, on ´ecrit que sinθ0 ≃ θ0 et sin 2θ0 = 2θ0. L’´equation diff´erentielle est alors ¨θ0+ω²₀(1 + 2Q)θ0= 0. La pulsation est : ω_a^∗=ω0√

2Q+ 1 .

31. On ne peut pas ´etudier l’influence de φ car on a effectu´e une moyenne temporelle sur les fonctions trigonom´etriques deψ= Ωt+φ.